Теорема фон Неймана о бикоммутанте - Von Neumann bicommutant theorem

В математика, конкретно функциональный анализ, то бикоммутант теорема фон Неймана связывает закрытие набора ограниченные операторы на Гильбертово пространство в определенных топологии к бикоммутант из этого набора. По сути, это связь между алгебраический и топологические стороны теория операторов.

Формальная формулировка теоремы следующая:

Теорема фон Неймана о бикоммутанте. Позволять

M

быть алгебра состоящий из ограниченных операторов в гильбертовом пространстве

ЧАС

, содержащую единичный оператор, и замкнутую примыкает. Затем закрытие из

M

в слабая операторная топология и сильная операторная топология равны, а в свою очередь равны бикоммутант

M''

из

M

.

Эта алгебра называется алгебра фон Неймана создано $M$ .

Есть несколько других топологий в пространстве ограниченных операторов, и можно спросить, какие * -алгебры замкнуты в этих топологиях. Если $M$ закрыт в топология нормы тогда это C * -алгебра, но не обязательно алгебру фон Неймана. Одним из таких примеров является C * -алгебра компактные операторы (на бесконечномерном гильбертовом пространстве). Для большинства других распространенных топологий замкнутые * -алгебры, содержащие 1, являются алгебрами фон Неймана; это относится, в частности, к слабому оператору, сильному оператору, * -сильному оператору, сверхслабый, сверхсильный, и * -сверхсильные топологии.

Это связано с Теорема плотности Джекобсона.

Доказательство

Позволять $ЧАС$ - гильбертово пространство и $L (ЧАС)$ ограниченные операторы на $ЧАС$ . Рассмотрим самосопряженную единицу подалгебра $M$ из $L (ЧАС)$ (это означает, что $M$ содержит сопряженные его члены, а тождественный оператор на $ЧАС$ ).

Теорема эквивалентна комбинации следующих трех утверждений:

(я)

cl W (M) \subseteq M''

(ii)

cl S (M) \subseteq cl W (M)

(iii)

M' ' \subseteq cl S (M)

где $W$ и $S$ нижние индексы означают закрытие в слабый и сильный операторные топологии соответственно.

Доказательство (i)

По определению слабой операторной топологии для любого $Икс$ и $у$ в $ЧАС$ , карта Т → <Tx, у> непрерывно в этой топологии. Поэтому для любого оператора $О$ (и заменив один раз $у \to О * у$ и однажды $Икс \to Бык$ ), так и карта

{ displaystyle T to langle Tx, O ^ {*} y rangle - langle TOx, y rangle = langle OTx, y rangle - langle TOx, y rangle.}

Позволять S быть любым подмножеством $L (ЧАС)$ , и S' это коммутант. Для любого оператора $Т$ не в S′, <OTx, у> - <TOx, у> отличен от нуля для некоторых О в S и немного Икс и у в $ЧАС$ . По непрерывности указанного отображения существует открытая окрестность $Т$ в слабой операторной топологии, для которой это не равно нулю, поэтому эта открытая окрестность также не входит в S′. Таким образом S' является закрыто в слабом операторе, т.е. S' является слабо закрытый. Таким образом, каждый коммутант слабо замкнуто, и так же $M''$ ; поскольку он содержит $M$ , он также содержит его слабое замыкание.

Доказательство (ii)

Это непосредственно следует из того, что слабая операторная топология грубее, чем сильная операторная топология: для каждой точки $Икс$ в $cl S (M)$ , каждый открытый район $Икс$ в слабой операторной топологии также открыта в сильной операторной топологии и поэтому содержит член $M$ ; следовательно $Икс$ также является членом $cl W (M)$ .

Доказательство (iii)

Исправить $Икс \in M''$ . Мы покажем $Икс \in cl S (M)$ .

Исправить открытый район $U$ из $Икс$ в сильной операторной топологии. По определению сильной операторной топологии U содержит конечное пересечение U(час₁, ε₁) ∩...∩U(час_п, ε_п) суббазовых открытых множеств вида U(час, ε) = {О ∈ L(ЧАС): ||ой - Xh|| <ε}, где час в ЧАС и ε> 0.

Исправить час в $ЧАС$ . Рассмотрим закрытие $cl (M час)$ из $M час = {Mh : M \in M$ } относительно нормы ЧАС и оснащен внутренним продуктом ЧАС. Это Гильбертово пространство (будучи замкнутым подпространством гильбертова пространства $ЧАС$ ), а значит, и соответствующий ортогональная проекция который мы обозначаем $п$ . $п$ ограничен, поэтому он находится в $L (ЧАС)$ . Далее мы докажем:

Лемма.

п \in M'

.

Доказательство. Исправить

Икс \in ЧАС

. потом

Px \in cl (M час)

, так что это предел последовательности

О п час

с

О п

в

M

для всех

п

. Тогда для всех

Т \in M

,

К п час

также в

M час

и, таким образом, его предел находится в

cl (M час)

. По преемственности

Т

(поскольку он находится в

L (ЧАС)

и поэтому Липшицева непрерывная ) этот предел равен

TPx

. С

TPx \in cl (M час)

, PTPx = TPx. Из этого следует, что PTP = TP для всех

Т

в

M

.

Используя закрытие

M

под сопряженным, далее, для каждого

Т

в

M

и все

Икс, у \in ЧАС

:

{ displaystyle langle x, TPy rangle = langle x, PTPy rangle = langle Px, TPy rangle = langle T ^ {*} Px, Py rangle = langle PT ^ {*} Px, y rangle = langle T ^ {*} Px, y rangle = langle Px, Ty rangle = langle x, PTy rangle}

таким образом TP = PT и п лежит в

M'

.

По определению бикоммутант XP = PX. С $M$ является единым, $час \in M час$ , следовательно $Xh = XPh = PXh \in cl (M час)$ . Таким образом, для каждого $ε > 0$ , Существует Т в $M$ с $|| Xh - Чт || < ε$ . потом Т лежит в U(час, ε).^{[требуется разъяснение ]}

Таким образом, в каждом открытом районе $U$ из $Икс$ в сильной операторной топологии есть член $M$ , и так $Икс$ находится в сильном операторном замыкании топологии $M$ .

Неунитальный случай

C * -алгебра $M$ действующий на ЧАС говорят, что действует невырожденно если для час в $ЧАС$ , $M час = {0}$ подразумевает $час = 0$ . В этом случае это можно показать с помощью приблизительная личность в $M$ что оператор идентичности я заключается в сильном закрытии $M$ . Следовательно, заключение теоремы о бикоммутанте верно для $M$ .

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки