Сумма углов треугольника - Sum of angles of a triangle

«Постулат треугольника» перенаправляется сюда. Не следует путать с Неравенство треугольника.

В Евклидово пространство, то сумма углов треугольника равно прямой угол (180 градусы, π радианы, два прямые углы, или полу-повернуть ) .A треугольник имеет три угла, по одному на каждый вершина, ограниченный парой смежных стороны.

Долгое время было неизвестно, существуют ли другие геометрии, для которых эта сумма иная. Влияние этой проблемы на математику было особенно сильным в XIX веке. В конечном счете, ответ оказался положительным: в других пространствах (геометриях) эта сумма может быть больше или меньше, но тогда она должна зависеть от треугольника. Его отличие от 180 ° - это случай угловой дефект и служит важным отличием геометрических систем.

Эквивалентность постулата параллельности утверждению «сумма углов равна 180 °».

Случаи

Евклидова геометрия

В Евклидова геометрия, то постулат треугольника утверждает, что сумма углов треугольника равна двум прямые углы. Этот постулат эквивалентен параллельный постулат.[1] При наличии других аксиом евклидовой геометрии следующие утверждения эквивалентны:[2]

  • Постулат треугольника: Сумма углов треугольника равна двум прямым углам.
  • Аксиома Playfair: Дана прямая линия и точка не на ней, через точку, параллельную данной линии, можно провести ровно одну прямую.
  • Аксиома Прокла: Если линия пересекает одну из двух параллельных линий, она также должна пересекать другую.[3]
  • Постулат равноудаленности: Параллельные линии везде равноудалены (т.е. расстояние от каждой точки на одной линии до другой всегда одинаково.)
  • Свойство площади треугольника: The площадь треугольника может быть сколь угодно большим.
  • Свойство трех точек: Три точки либо лежат на линии, либо лежат на круг.
  • Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.[1]

Гиперболическая геометрия

Основная статья: Гиперболический треугольник

Сумма углов гиперболического треугольника меньше 180 °. Связь между угловым дефектом и площадью треугольника впервые была доказана Иоганн Генрих Ламберт.[4]

Легко увидеть, как гиперболическая геометрия нарушает аксиому Плейфэра, аксиому Прокла (параллелизм, определяемый как непересечение, нетранзитивен в гиперболической плоскости), постулат равноудаленности (точки на одной стороне и на одинаковом расстоянии от данной линии не образуют линию), и теорема Пифагора. Круг[5] не может быть сколь угодно малого кривизна,[6] поэтому свойство трех точек также не работает.

Сумма углов может быть сколь угодно малой (но положительной). Для идеальный треугольник, обобщение гиперболических треугольников, эта сумма равна нулю.

Сферическая геометрия

Смотрите также: Треугольник § Неплоские треугольники

Для сферический треугольник сумма углов больше 180 ° и может составлять до 540 °. В частности, сумма углов равна

180° × (1 + 4ж ),

куда ж - это доля площади сферы, заключенной в треугольник.

Обратите внимание, что сферическая геометрия не удовлетворяет некоторым из Аксиомы евклида (в том числе параллельный постулат.)

Внешние углы

На картинке показаны внешние углы вместе с внутренними, для самой правой вершины это показано как =/)
Основная статья: Внутренний и внешний угол

Углы между соседними сторонами треугольника называются интерьер углы в евклидовой и других геометриях. Внешний вид углы также могут быть определены, и постулат Евклидова треугольника может быть сформулирован как теорема о внешнем угле. Можно также считать сумму всех трех внешних углов, равную 360 °.[7] в евклидовом случае (как и для любого выпуклый многоугольник ), меньше 360 ° в сферическом случае и больше 360 ° в гиперболическом случае.

В дифференциальной геометрии

в дифференциальная геометрия поверхностей, вопрос об угловом дефекте треугольника понимается как частный случай Теорема Гаусса-Бонне где кривизна замкнутая кривая не функция, а мера с поддерживать ровно в трех точках - вершинах треугольника.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б Эрик В. Вайсштейн (2003). CRC краткая энциклопедия математики (2-е изд.). п. 2147. ISBN  1-58488-347-2. Постулат параллельности эквивалентен Постулат равноудаленности, Аксиома Playfair, Аксиома прокла, то Постулат треугольника и теорема Пифагора.
  2. ^ Кейт Дж. Девлин (2000). Язык математики: сделать невидимое видимым. Макмиллан. п. 161. ISBN  0-8050-7254-3.
  3. ^ По сути, транзитивность параллелизма.
  4. ^ Рэтклифф, Джон (2006), Основы гиперболических многообразий, Тексты для выпускников по математике, 149, Springer, стр. 99, ISBN  9780387331973, То, что площадь гиперболического треугольника пропорциональна его угловому дефекту, впервые появилось в монографии Ламберта. Theorie der Parallellinien, который был опубликован посмертно в 1786 году.
  5. ^ Определяется как набор точек на фиксированной расстояние от его центра.
  6. ^ Определен в дифференциально-геометрическом смысле.
  7. ^ Из определения внешнего угла он суммируется до прямого угла с внутренними углами. Таким образом, сумма трех внешних углов, добавленных к сумме трех внутренних углов, всегда дает три прямых угла.