Сингулярные интегральные операторы на замкнутых кривых - Singular integral operators on closed curves

В математика, сингулярные интегральные операторы на замкнутых кривых возникают проблемы в анализ, особенно комплексный анализ и гармонический анализ. Два основных сингулярных интегральных оператора, преобразование Гильберта и преобразование Коши, могут быть определены для любой гладкой жордановой кривой на комплексной плоскости и связаны простой алгебраической формулой. В частном случае Ряд Фурье для единичной окружности операторы становятся классическими Преобразование Коши, то ортогональная проекция на Харди космос, а Преобразование Гильберта настоящий ортогональный линейная сложная структура. В общем случае преобразование Коши не является самосопряженным идемпотент и преобразование Гильберта неортогональной сложная структура. Диапазон преобразования Коши - это пространство Харди ограниченной области, заключенной жордановой кривой. Теорию исходной кривой можно вывести из теории единичной окружности, где из-за симметрии вращения оба оператора являются классическими. сингулярные интегральные операторы типа свертки. Преобразование Гильберта удовлетворяет скачут отношения Племеля и Сохоцкого, которые выражают исходную функцию как разность граничных значений голоморфных функций на области и ее дополнении. Сингулярные интегральные операторы изучались на различных классах функций, включая пространства Гёльдера, L^п пространства и пространства Соболева. В случае L² пробелы - случай, подробно рассматриваемый ниже - другие операторы, связанные с замкнутой кривой, такие как Сегу проекция на пространство Харди и Оператор Неймана – Пуанкаре, можно выразить через преобразование Коши и сопряженное к нему.

Операторы на единичном круге

Основная статья: Сингулярные интегральные операторы типа свертки

Если ж находится в L²(Т), то он имеет разложение в ряд Фурье^[1][2]

${\displaystyle \displaystyle {f(\theta )=\sum _{n\in {\mathbf {Z} }}a_{n}e^{in\theta }.}}$

Харди космос ЧАС²(Т) состоит из функций, для которых отрицательные коэффициенты обращаются в нуль, а_п = 0 для п <0. Это в точности интегрируемые с квадратом функции, которые возникают как граничные значения голоморфных функций в единичном круге |z| <1. Действительно, ж - граничное значение функции

${\displaystyle \displaystyle {F(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n},}}$

в том смысле, что функции

${\displaystyle \displaystyle {f_{r}(\theta )=F(re^{i\theta })},}$

определяется ограничением F к концентрическим окружностям |z| = рудовлетворить

${\displaystyle \displaystyle {\|f_{r}-f\|_{2}\rightarrow 0.}}$

Ортогональная проекция п из L²(Т) на H²(Т) называется Сегу проекция. Это ограниченный оператор на L²(Т) с норма оператора 1.

По теореме Коши

${\displaystyle \displaystyle {F(z)={1 \over 2\pi i}\int _{|\zeta |=1}{f(\zeta ) \over \zeta -z}\,d\zeta ={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\theta ) \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\theta .}}$

Таким образом

${\displaystyle \displaystyle {F(re^{i\varphi })={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\varphi -\theta ) \over 1-re^{i\theta }}\,d\theta .}}$

Когда р равно 1, то подынтегральное выражение в правой части имеет особенность при θ = 0. усеченное преобразование Гильберта определяется

${\displaystyle \displaystyle {H^{\varepsilon }f(\varphi )={i \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |\theta |\leq \pi }{f(\varphi -\theta ) \over 1-e^{i\theta }}\,d\theta ={1 \over \pi }\int _{|\zeta -e^{i\varphi }|\geq \delta }{f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta ,}}$

где δ = | 1 - е^яε|, Поскольку он определяется как свертка с ограниченной функцией, это ограниченный оператор на L²(Т). Сейчас же

${\displaystyle \displaystyle {H^{\varepsilon }{1}={i \over \pi }\int _{\varepsilon }^{\pi }2\Re (1-e^{i\theta })^{-1}\,d\theta ={i \over \pi }\int _{\varepsilon }^{\pi }1\,d\theta =i-{i\varepsilon \over \pi }.}}$

Если ж является многочленом от z тогда

${\displaystyle \displaystyle {H^{\varepsilon }f(z)-{i(1-\varepsilon ) \over \pi }f(z)={1 \over \pi i}\int _{|\zeta -z|\geq \delta }{f(\zeta )-f(z) \over \zeta -z}\,d\zeta .}}$

По теореме Коши правая часть стремится к 0 равномерно при ε, а значит, δ стремится к 0. Таким образом,

${\displaystyle \displaystyle {H^{\varepsilon }f\rightarrow if}}$

равномерно для многочленов. С другой стороны, если ты(z) = z немедленно, что

${\displaystyle \displaystyle {{\overline {H^{\varepsilon }f}}=-u^{-1}H^{\varepsilon }(u{\overline {f}}).}}$

Таким образом, если ж является многочленом от z⁻¹ без постоянного срока

${\displaystyle \displaystyle {H^{\varepsilon }f\rightarrow -if}}$ равномерно.

Определить Преобразование Гильберта по кругу

${\displaystyle \displaystyle {H=i(2P-I).}}$

Таким образом, если ж является тригонометрическим полиномом

${\displaystyle \displaystyle {H^{\varepsilon }f\rightarrow Hf}}$ равномерно.

Отсюда следует, что если ж любой L² функция

${\displaystyle \displaystyle {H^{\varepsilon }f\rightarrow Hf}}$ в L² норма.

Это следствие результата для тригонометрических полиномов, поскольку ЧАС_ε равномерно ограничены в норма оператора: действительно, их коэффициенты Фурье равномерно ограничены.

Отсюда также следует, что для непрерывной функции ж по кругу, ЧАС_εж равномерно сходится к Hf, так что, в частности, поточечно. Поточечный предел - это Главное значение Коши, написано

${\displaystyle \displaystyle {Hf=\mathrm {P.V.} \,{1 \over \pi }\int {f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta .}}$

Преобразование Гильберта имеет естественную совместимость с сохраняющими ориентацию диффеоморфизмами окружности.^[3] Таким образом, если ЧАС является диффеоморфизмом окружности с

${\displaystyle \displaystyle {H(e^{i\theta })=e^{ih(\theta )},\,\,\,h(\theta +2\pi )=h(\theta )+2\pi ,}}$

тогда операторы

${\displaystyle \displaystyle {H_{h}^{\varepsilon }f(e^{i\varphi })={1 \over \pi }\int _{|e^{ih(\theta )}-e^{ih(\varphi )}|\geq \varepsilon }{f(e^{i\theta }) \over e^{i\theta }-e^{i\varphi }}\,e^{i\theta }\,d\theta ,}}$

равномерно ограничены и стремятся в сильной операторной топологии к ЧАС. Более того, если Vf(z) = ж(ЧАС(z)), тогда VHV⁻¹ – ЧАС - оператор с гладким ядром, поэтому Оператор Гильберта – Шмидта.

Пространства Харди

Смотрите также: Харди космос

Пространство Харди на единичной окружности можно обобщить на любую многосвязную ограниченную область Ω с гладкой границей ∂Ω. Пространство Харди H²(∂Ω) можно определить несколькими эквивалентными способами. Самый простой способ определить это как замыкание в L²(∂Ω) пространства голоморфных функций на Ω, которые непрерывно продолжаются до гладких функций на замыкании Ω. В качестве Уолш доказано, в результате это было предшественником Теорема Мергеляна, любая голоморфная функция на Ω, непрерывно продолжающаяся до замыкания, может быть аппроксимирована по равномерной норме рациональной функцией с полюсами в дополнительной области Ω^c. Если Ω односвязно, то рациональную функцию можно считать полиномом. Есть аналог этой теоремы о границе, Теорема Гартогса – Розенталя, который утверждает, что любую непрерывную функцию ∂Ω можно аппроксимировать в равномерной норме рациональными функциями с полюсами в дополнении к ∂Ω. Отсюда следует, что для односвязной области, когда ∂Ω - простая замкнутая кривая, H²(∂Ω) - это просто замыкание многочленов; в общем случае это замыкание пространства рациональных функций с полюсами, лежащими вне границы ∂Ω.^[4]

На единичной окружности L² функция ж с разложением в ряд Фурье

${\displaystyle \displaystyle {f(e^{i\theta })=\sum a_{n}e^{in\theta }}}$

имеет уникальное продолжение до гармонической функции в единичном круге, задаваемой интегралом Пуассона

${\displaystyle \displaystyle {f(re^{i\theta })=P_{r}f(e^{i\theta })=\sum a_{n}r^{|n|}e^{in\theta }.}}$

Особенно

${\displaystyle \displaystyle {\|P_{r}f\|^{2}=\sum |a_{n}|^{2}r^{2|n|},}}$

так что нормы увеличиваются до значения при р = 1, норма ж. Аналогично в дополнении к единичному диску, где гармоническое расширение задается формулой

${\displaystyle \displaystyle {F_{R}(e^{i\theta })=F(Re^{i\theta })=\sum a_{n}R^{-|n|}a_{n}e^{in\theta }.}}$

В этом случае нормы увеличиваются от значения на р = ∞ к норме ж, значение при р = 1.

Аналогичный результат верен для гармонической функции ж на односвязной области с гладкой границей при условии, что L² нормы берутся по линиям уровня в трубчатой ​​окрестности границы.^[5] Использование векторной записи v(т) = (Икс(т), у(т)) для параметризации граничной кривой длиной дуги справедливы следующие классические формулы:

${\displaystyle \displaystyle {{\dot {\mathbf {v} }}\cdot {\dot {\mathbf {v} }}=1,\,\,\,{\ddot {\mathbf {v} }}\cdot {\dot {\mathbf {v} }}=0.}}$

Таким образом, единичный касательный вектор т(т) в т и ориентированный нормальный вектор п(т) даны

${\displaystyle \displaystyle {\mathbf {t} ={\dot {\mathbf {v} }},\,\,\,\,\,\,\mathbf {n} =(-{\dot {y}},{\dot {x}}).}}$

Константа, связывающая вектор ускорения с вектором нормали, является кривизна кривой:

${\displaystyle \displaystyle {{\ddot {\mathbf {v} }}=\kappa (t)\,\mathbf {n} (t),\,\,\,\,\,\kappa (t)={\ddot {\mathbf {v} }}\cdot \mathbf {n} ={\ddot {y}}{\dot {x}}-{\ddot {x}}{\dot {y}}.}}$

Есть еще две формулы Frenet:

${\displaystyle \displaystyle {{\dot {\mathbf {n} }}=-\kappa \mathbf {t} ,\,\,\,{\ddot {\mathbf {n} }}={\dot {\kappa }}\mathbf {n} -\kappa ^{2}\mathbf {t} .}}$

Трубчатая окрестность границы задается формулой

${\displaystyle \displaystyle {\mathbf {v} _{s}(t)=\mathbf {v} (t)+s\mathbf {n} (t),}}$

так что кривые уровня ∂Ω_s с s постоянные связанные области Ω_s. более того^[6]

${\displaystyle \displaystyle {{\dot {\mathbf {v} }}_{s}(t)=(1-s\kappa )\mathbf {t} ,\,\,\,\,\partial _{s}|{\dot {\mathbf {v} }}_{s}|=-\kappa .}}$

Следовательно, дифференцируя интегральные средние по s, производная по направлению внутрь указывает нормально, дает

${\displaystyle \displaystyle {\partial _{s}\int _{\partial \Omega _{s}}|f|^{2}=-\int _{\partial \Omega _{s}}(\partial _{n}f{\overline {f}}+f{\overline {\partial _{n}f}})-\int _{\partial \Omega _{s}}\kappa (1-\kappa s)^{-1}|f|^{2}=-2\iint _{\Omega _{s}}|\nabla f|^{2}-\int _{\partial \Omega _{s}}\kappa (1-\kappa s)^{-1}|f|^{2},}}$

с помощью Теорема Грина. Таким образом, для s маленький

${\displaystyle \displaystyle {\partial _{s}\|f|_{\partial \Omega _{s}}\|^{2}\leq M\|f|_{\partial \Omega _{s}}\|^{2},}}$

для некоторой постоянной M независим от ж. Отсюда следует, что

${\displaystyle \displaystyle {\partial _{s}e^{-Ms}\|f|_{\partial \Omega _{s}}\|^{2}\leq 0,}}$

так что при интегрировании этого неравенства нормы ограничены вблизи границы:

${\displaystyle \displaystyle {\|f|_{\partial \Omega _{s}}\|\leq e^{Ms/2}\|f|_{\partial \Omega }\|.}}$

Это неравенство показывает, что функция из L² Пространство Харди H²(Ω) приводит через интегральный оператор Коши C, к голоморфной функции на Ω, удовлетворяющей классическому условию, что интеграл означает

${\displaystyle \displaystyle {\int _{\partial \Omega _{s}}|f|^{2}}}$

ограничены. Кроме того, ограничения ж_s из ж к ∂Ω_s, которые естественным образом отождествляются с ∂Ω, стремятся в L² к исходной функции в пространстве Харди.^[7] Фактически H²(Ω) было определено как замыкание в L²(Ω) рациональных функций (которые можно рассматривать как полиномы, если Ω односвязно). Любая рациональная функция с полюсами только в Ω^c восстанавливается внутри Ω по граничному значению грамм по интегральной формуле Коши

${\displaystyle \displaystyle {Cg(a)={1 \over 2\pi i}\int _{\partial \Omega }{g(z) \over z-a}\,dz.}}$

Приведенные выше оценки показывают, что функции Cg|_∂Ωs постоянно зависеть от Cg|_∂Ω. Более того, в этом случае функции равномерно стремятся к граничному значению, а значит, и в L², используя естественное отождествление пространств L²(∂Ω_s) с L²(∂Ω). С Ch можно определить для любого L² функция как голоморфная функция на Ω, поскольку час интегрируема на ∂Ω. С час предел в L² рациональных функций грамм, те же результаты справедливы для час и Ch, с такими же неравенствами для интегральных средних. Одинаково хорошо час предел в L²(∂Ω) функций Ch|_∂Ωs.

Приведенные выше оценки интегральных средних вблизи границы показывают, что Cf лежит в L²(Ω) и что его L² норма может быть ограничена в терминах нормы ж. С Cf также голоморфен, он лежит в Пространство Бергмана А²(Ω) области Ω. Таким образом, интегральный оператор Коши C определяет естественное отображение пространства Харди границы в пространство Бергмана внутренней части.^[8]

Пространство Харди H²(Ω) имеет естественного партнера, а именно замыкание в L²(∂Ω) граничных значений рациональных функций исчезновение в ∞ с полюсами только в Ω. Обозначив это подпространство H²₊(∂Ω), чтобы отличить его от исходного пространства Харди, которое мы также будем обозначать через H²₋(∂Ω) можно применить те же рассуждения, что и выше. Применительно к функции час в H²₊(∂Ω) интегральный оператор Коши определяет голоморфную функцию F в Ω^c обращающиеся в нуль на ∞ такие, что вблизи границы ограничение F к линиям уровня, каждая из которых отождествляется с границей, стремятся в L² к час. В отличие от случая круга, H²₋(∂Ω) и H²₊(∂Ω) не являются ортогональными пространствами. По теореме Хартогса - Розенталя их сумма плотна в L²(∂Ω). Как показано ниже, это собственные подпространства ± i преобразования Гильберта на ∂Ω, поэтому их сумма фактически прямая и все L²(∂Ω).

Преобразование Гильберта на замкнутой кривой

Для ограниченной односвязной области Ω на комплексной плоскости с гладкой границей ∂Ω теория преобразования Гильберта может быть выведена прямым сравнением с преобразованием Гильберта для единичной окружности.^[9]

Чтобы определить преобразование Гильберта ЧАС_∂Ω на L²(∂Ω), пусть ∂Ω параметризуется длиной дуги и, следовательно, является функцией z(т). Преобразование Гильберта определяется как предел в сильная операторная топология усеченных операторов ЧАС_∂Ω^ε определяется

${\displaystyle \displaystyle {H_{\partial \Omega }^{\varepsilon }f(s)={1 \over \pi i}\int _{|s-t|\geq \varepsilon }\,\,\,\,{f(t) \over z(t)-z(s)}\,{\dot {z}}(t)\,dt.}}$

Для сравнения будет удобно применить преобразование масштабирования в C так что длина ∂Ω равна 2π. (Это меняет только указанные выше операторы на фиксированный положительный множитель.) Тогда существует канонический унитарный изоморфизм L²(∂Ω) на L²(Т), так что эти два пространства можно идентифицировать. Усеченные операторы ЧАС_∂Ω^ε можно сравнить непосредственно с усеченным преобразованием ГильбертаЧАС^ε:

${\displaystyle \displaystyle {H_{\partial \Omega }^{\varepsilon }g(s)-H^{\varepsilon }g(s)={1 \over \pi i}\int _{|t-s|\geq \varepsilon }K(s,t)\cdot g(t)\,dt,}}$

куда

${\displaystyle \displaystyle {K(u,v)={{\dot {z}}(t) \over z(t)-z(s)}-{ie^{it} \over e^{it}-e^{is}}=\partial _{t}\log \left({z(t)-z(s) \over e^{it}-e^{is}}\right).}}$

Ядро K таким образом гладко на Т × Т, поэтому указанная выше разница в сильной топологии стремится к оператору Гильберта – Шмидта, определяемому ядром. Отсюда следует, что усеченные операторы ЧАС_∂Ω^ε равномерно ограничены по норме и имеют предел в сильной операторной топологии, обозначаемой ЧАС_∂Ω и назвал Преобразование Гильберта на ∂Ω.

${\displaystyle \displaystyle {H_{\partial \Omega }g=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}H_{\partial \Omega }^{\varepsilon }g.}}$

Устремляя ε к 0 выше, получаем

${\displaystyle \displaystyle {H_{\partial \Omega }g(s)-Hg(s)={1 \over \pi i}\int _{0}^{2\pi }K(s,t)\cdot g(t)\,dt.}}$

С ЧАС кососопряженный и ЧАС_∂Ω отличается от ЧАС оператором Гильберта – Шмидта с гладким ядром следует, что ЧАС_∂Ω + ЧАС_∂Ω* - оператор Гильберта-Шмидта с гладким ядром. Ядро также можно вычислить явно с помощью усеченных преобразований Гильберта для ∂Ω:

${\displaystyle \displaystyle {C(s,t)={1 \over \pi i}\left({{\dot {z}}(t) \over z(t)-z(s)}-{{\overline {{\dot {z}}(s)}} \over {\overline {z(t)}}-{\overline {z(s)}}}\right),}}$

и непосредственно проверяется, что это гладкая функция на Т × Т.^[10]

Соотношение Племеля – Сохоцкого

Смотрите также: Теорема Сохоцкого – Племеля.

Позволять C₋ и C₊ - интегральные операторы Коши для Ω и Ω^c. потом

${\displaystyle \displaystyle {C_{\pm }\circ H=\pm iC_{\pm }.}}$

Поскольку операторы C₋, C₊ и ЧАС ограничены, достаточно проверить это на рациональных функциях F с полюсами вне ∂Ω и равными нулю на ∞ по теореме Хартогса – Розенталя. Рациональную функцию можно записать как сумму функций F = F₋ + F₊ куда F₋ имеет полюсы только в Ω^c и F₊ имеет полюса только в Let ж, ж_± быть ограничениями ж, ж_± к ∂Ω. К Интегральная формула Коши

${\displaystyle \displaystyle {C_{\pm }f_{\pm }=F_{\pm },\,\,\,C_{\pm }f_{\mp }=0.}}$

С другой стороны, несложно проверить, что^[11]

${\displaystyle \displaystyle {Hf_{\pm }=\pm if_{\pm }.}}$

Действительно, по теореме Коши, поскольку F₋ голоморфна в Ω,

${\displaystyle \displaystyle {\int _{\partial \Omega ,\,\,|z-w|\geq \varepsilon }{f_{-}(z) \over z-w}\,dz=-\int _{|z-w|=\varepsilon ,\,\,z\in \Omega }{F_{-}(z) \over z-w}\,dz.}}$

При стремлении ε к 0 последний интеграл стремится к πя ж₋(ш) посредством остаток. Аналогичный аргумент применим к ж₊, переводя круговой контур справа внутрь Ω^c.^[12]

По непрерывности следует, что ЧАС действует как умножение на я на H²₋ и как умножение на -я на H²₊. Поскольку эти пространства замкнуты и их сумма плотна, отсюда следует, что

${\displaystyle \displaystyle {H^{2}=-I.}}$

Кроме того, H²₋ и H²₊ должно быть ±я собственные подпространства ЧАС, поэтому их сумма - это все L²(∂Ω). В Соотношение Племеля – Сохоцкого за ж в L²(∂Ω) - соотношение

${\displaystyle \displaystyle {-iHf=C_{-}f|_{\partial \Omega }-C_{+}f|_{\partial \Omega }.}}$

Это было проверено для ж в пространствах Харди H²_±(∂Ω), то же верно и для их суммы. В Идемпотент Коши E определяется

${\displaystyle \displaystyle {H=i(2E-I).}}$

Диапазон E таким образом, H²₋(∂Ω) и я − E это H²₊(∂Ω). Из вышеизложенного^[13]

${\displaystyle \displaystyle {Ef=C_{-}f|_{\partial \Omega },\,\,\,\,(I-E)f=C_{+}f|_{\partial \Omega }.}}$

Операторы на замкнутой кривой

Смотрите также: Ядро сегу и Оператор Неймана – Пуанкаре

Два других оператора, определенные на замкнутой кривой ∂Ω, можно выразить через преобразования Гильберта и Коши ЧАС и E.^[14]

В Сегу проекция п определяется как ортогональная проекция на пространство Харди H²(∂Ω). С E идемпотент с диапазоном H²(∂Ω), п дается Формула Керцмана – Стейна:

${\displaystyle \displaystyle {P=E(I+E-E^{*})^{-1}.}}$

Действительно, поскольку E − E* является кососопряженным, его спектр чисто мнимый, поэтому оператор я + E − E* обратимо.^[15] Немедленно, что

${\displaystyle \displaystyle {EP=P,\,\,\,PE=E.}}$

Следовательно PE* = п. Так

${\displaystyle \displaystyle {P(I+E-E^{*})=P+E-P=E.}}$

Поскольку оператор ЧАС + ЧАС* это Оператор Гильберта – Шмидта с гладким ядром то же самое верно и для E − E*.^[16]

Более того, если J - сопряженно-линейный оператор комплексного сопряжения и U оператор умножения на единичный касательный вектор:

${\displaystyle \displaystyle {Jf(t)={\overline {f(t)}},\,\,\,Uf(t)={\dot {z}}(t)\cdot f(t).}}$

то формула для усеченного преобразования Гильберта на ∂Ω немедленно дает следующее тождество для сопряженных соединений

${\displaystyle \displaystyle {(H^{\varepsilon })^{*}=JUH^{\varepsilon }U^{*}J.}}$

Устремляя ε к 0, получаем

${\displaystyle \displaystyle {H^{*}=JUHU^{*}J}}$

и поэтому

${\displaystyle \displaystyle {I-E^{*}=JUEU^{*}J.}}$

Сравнение с преобразованием Гильберта для окружности показывает, что коммутаторы ЧАС и E с диффеоморфизмами окружности - операторы Гильберта – Шмидта. Аналогичны своим коммутаторам с оператором умножения, соответствующим гладкой функции ж на окружности также есть операторы Гильберта – Шмидта. С точностью до константы ядро ​​коммутатора с ЧАС задается гладкой функцией

${\displaystyle \displaystyle {A(s,t)={f(s)-f(t) \over z(s)-z(t)}.}}$

В Оператор Неймана – Пуанкаре Т определен на реальных функциях ж в качестве

${\displaystyle \displaystyle {Tf(w)={1 \over 2\pi }\int _{\partial \Omega }\partial _{n}(\log |z-w|)f(z)={1 \over 2}\Re (Hf)(w).}}$

Письмо час = ж + ig,^[17]

${\displaystyle \displaystyle {2Th=\Re (Hf)+i\Re (Hg)={1 \over 2}(Hf+JHf+iHg+iJHg)={1 \over 2}(H+JHJ)h}}$

так что

${\displaystyle \displaystyle {T={1 \over 4}(H+JHJ)={1 \over 4}(H+UH^{*}U^{*}),}}$

оператор Гильберта – Шмидта.

Классическое определение пространства Харди

Классическое определение пространства Харди - это пространство голоморфных функций. F на Ω, для которой функции F_s = F|_∂Ωs имеют ограниченную норму в L²(∂Ω). Аргумент, основанный на Теорема о ядре Каратеодори показывает, что это условие выполняется всякий раз, когда существует семейство жордановых кривых в Ω, в конечном итоге содержащее любое компактное подмножество внутри, на котором интегральные средние F ограничены.^[18]

Чтобы доказать, что классическое определение пространства Харди дает пространство H²(∂Ω) возьмем F как указано выше. Некоторая подпоследовательность час_п = F_sп слабо сходится в L²(∂Ω) на час сказать. Следует, что Ch = F в Ω. Фактически, если C_п - интегральный оператор Коши, соответствующий Ω_sп, тогда^[19]

${\displaystyle \displaystyle {Ch(a)-F(a)=Ch(a)-C_{n}h_{n}(a)=C(h-h_{n})(a)+[(C-C_{n})h_{n}](a).}}$

Поскольку первый член в правой части определяется спариванием час − час_п с фиксированной L² функция стремится к нулю. Если z_п(т) - комплексное число, соответствующее v_sп, тогда

${\displaystyle \displaystyle {[(C-C_{n})h_{n}](a)={1 \over 2\pi i}\int h_{n}(t)\left({{\dot {z}}(t) \over z(t)-a}-{{\dot {z}}_{n}(t) \over z_{n}(t)-a}\right)\,dt.}}$

Этот интеграл стремится к нулю, поскольку L² нормы час_п равномерно ограничены, тогда как выражение в квадратных скобках в подынтегральном выражении стремится к 0 равномерно и, следовательно, в L².

Таким образом F = Ch. С другой стороны, если E - идемпотент Коши с образцом H²(∂Ω), то C ∘ E = C. Следовательно F =Ch = C (Эх). Как уже было показано F_s как правило Ch в L²(∂Ω). Но подпоследовательность слабо стремится к час. Следовательно Ch = час и, следовательно, два определения эквивалентны.^[20]

Обобщения

Теория многосвязных ограниченных областей с гладкой границей легко следует из односвязного случая.^[21] Есть аналоги операторов ЧАС, E и п. На заданном компоненте границы сингулярные вклады в ЧАС и E происходят из сингулярного интеграла на этом граничном компоненте, поэтому технические части теории являются прямым следствием односвязного случая.

Сингулярные интегральные операторы на пространствах Гёльдер непрерывный функции обсуждаются в Гахов (1992) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFGakhov1992 (помощь). Их действие на L^п и соболевских пространств обсуждается в Михлин и Прёссдорф (1986).

Примечания

1. Торчинский 2004, стр. 65–66
2. Белл 1992, стр. 14–15
3. Видеть:
   • Михлин и Прёссдорф 1986
   • Сегал 1981
   • Прессли и Сигал 1986
4. Видеть:
   • Белл 1992
   • Гамелен 2005
   • Дюрен 1970
   • Конвей 1995
   • Конвей 2000
5. Белл 1992, стр. 19–20
6. Белл 1992, стр. 19–22
7. Белл 1992, стр. 16–21
8. Белл 1992, п. 22
9. Видеть:
   • Гохберг и Крупник, 1992 г.
   • Гахов 1990
10. Белл 1992, стр. 15–16
11. Видеть:
    • Гахов 1990
    • Белл 1992
    • Голузин 1969
    • Гохберг и Крупник, 1992 г.
12. Титчмарш 1939 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFTitchmarsh1939 (помощь)
13. Белл 1992
14. Видеть:
    • Керцман и Штейн 1978
    • Белл 1992
    • Шапиро 1992
15. Шапиро 1992, п. 65
16. Белл 1992
17. Шапиро 1992, стр. 66–67
18. Дюрен 1970, п. 168
19. Белл 1992, стр. 17–18
20. Белл 1992, стр. 19–20
21. Видеть:
    • Гахов 1990
    • Михлин и Прёссдорф 1986

Рекомендации

• Белл, С. Р. (1992), Преобразование Коши, теория потенциала и конформное отображение, Исследования по высшей математике, CRC Press, ISBN  0-8493-8270-X
• Белл, С. Р. (2016), Преобразование Коши, теория потенциала и конформное отображение, Исследования в области высшей математики (2-е изд.), CRC Press, ISBN  9781498727211
• Конвей, Джон Б. (1995), Функции одной комплексной переменной II, Выпускные тексты по математике, 159, Springer, стр. 197, ISBN  0387944605
• Конвей, Джон Б. (2000), Курс теории операторов, Аспирантура по математике, 21, Американское математическое общество, стр. 175–176, ISBN  0821820656
• Дэвид, Гай (1984), "Opérateurs intégraux singuliers sur surees courbes du plan complexe", Анна. Sci. École Norm. Как дела., 17: 157–189
• Дурен, Питер Л. (1970), Теория H^п пробелы, Чистая и прикладная математика, 38, Academic Press
• Гахов, Ф. Д. (1990), Краевые задачи. Перепечатка перевода 1966 года, Dover Publications, ISBN  0-486-66275-6
• Гамлен, Теодор В. (2005), Равномерные алгебры (2-е изд.), Американское математическое общество, стр. 46–47, ISBN  0821840495
• Гарнетт, Дж. Б. (2007), Ограниченные аналитические функции, Тексты для выпускников по математике, 236, Спрингер, ISBN  978-0-387-33621-3
• Гохберг, Израиль; Крупник, Наум (1992), Одномерные линейные сингулярные интегральные уравнения. Введение, Теория операторов: достижения и приложения, 53, Биркхойзер, ISBN  3-7643-2584-4
• Голузин, Г. М. (1969), Геометрическая теория функций комплексного переменного, Переводы математических монографий, 26, Американское математическое общество
• Кацнельсон, Ицхак (2004), Введение в гармонический анализ, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-54359-0
• Керзман, Н .; Штейн, Э. М. (1978), "Ядро Коши, ядро ​​Сеге и функция отображения Римана", Математика. Анна., 236: 85–93, Дои:10.1007 / bf01420257
• Мусхелишвили, Н. И. (1992), Сингулярные интегральные уравнения. Краевые задачи теории функций и их приложения к математической физике, Дувр, ISBN  0-486-66893-2
• Михлин, Соломон Г.; Prössdorf, Зигфрид (1986), Сингулярные интегральные операторы, Springer-Verlag, ISBN  3-540-15967-3
• Прессли, Эндрю; Сегал, Грэм (1986), Группы петель, Издательство Оксфордского университета, ISBN  0-19-853535-X
• Сигал, Грэм (1981), "Унитарные представления некоторых бесконечномерных групп", Comm. Математика. Phys., 80: 301–342, Дои:10.1007 / bf01208274
• Шапиро, Х.С. (1992), Функция Шварца и ее обобщение на высшие измерения, Конспект лекций по математическим наукам в Университете Арканзаса, 9, Wiley-Interscience, ISBN  0-471-57127-X
• Торчинский, Альберто (2004), Методы действительных переменных в гармоническом анализе, Дувр, ISBN  0-486-43508-3