Тета-функция Римана – Зигеля - Riemann–Siegel theta function

В математика, то Тета-функция Римана – Зигеля определяется в терминах гамма-функция так как

${\displaystyle \theta (t)=\arg \left(\Gamma \left({\frac {1}{4}}+{\frac {it}{2}}\right)\right)-{\frac {\log \pi }{2}}t}$

для реальных ценностейт. Здесь аргумент выбирается таким образом, чтобы получилась непрерывная функция и ${\displaystyle \theta (0)=0}$ выполняется, т. е. так же, как главный филиал из log-гамма функция определена.

Имеет асимптотическое разложение

${\displaystyle \theta (t)\sim {\frac {t}{2}}\log {\frac {t}{2\pi }}-{\frac {t}{2}}-{\frac {\pi }{8}}+{\frac {1}{48t}}+{\frac {7}{5760t^{3}}}+\cdots }$

который не сходится, но первые несколько членов которого дают хорошее приближение для ${\displaystyle t\gg 1}$. Его ряд Тейлора в 0, сходящийся при ${\displaystyle |t|<1/2}$ является

${\displaystyle \theta (t)=-{\frac {t}{2}}\log \pi +\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\psi ^{(2k)}\left({\frac {1}{4}}\right)}{(2k+1)!}}\left({\frac {t}{2}}\right)^{2k+1}}$

куда ${\displaystyle \psi ^{(2k)}}$ обозначает полигамма функция порядка ${\displaystyle 2k}$. Тета-функция Римана – Зигеля представляет интерес для изучения Дзета-функция Римана, поскольку он может повернуть дзета-функцию Римана так, чтобы она стала полностью действительной Z функция на критическая линия ${\displaystyle s=1/2+it}$ .

Кривая обсуждение

Тета-функция Римана – Зигеля является нечетной вещественная аналитическая функция для реальных ценностей т. Он имеет три корня в 0 и ${\displaystyle \pm 17.8455995405\ldots }$ и это возрастающая функция для значений |т| > 6,29, поскольку имеет ровно один минимум и один максимум на ${\displaystyle \pm 6.289835988\ldots }$ с абсолютным значением ${\displaystyle 3.530972829\ldots }$. Наконец, он имеет уникальную точку перегиба при t = 0 с ${\displaystyle \theta ^{\prime }(0)=-{\frac {\ln \pi +\gamma +\pi /2+3\ln 2}{2}}=-2.6860917\ldots }$ где тета-функция имеет минимум вывода.

Тета как функция комплексной переменной

У нас есть выражение в бесконечной серии для log-гамма функция

${\displaystyle \log \Gamma \left(z\right)=-\gamma z-\log z+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n}}-\log \left(1+{\frac {z}{n}}\right)\right),}$

куда γ является Постоянная Эйлера. Подстановка ${\displaystyle (2it+1)/4}$ за z почленно взяв мнимую часть, получаем следующий ряд для θ(т)

${\displaystyle \theta (t)=-{\frac {\gamma +\log \pi }{2}}t-\arctan 2t+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {t}{2n}}-\arctan \left({\frac {2t}{4n+1}}\right)\right).}$

Для значений с мнимой частью от -1 до 1 функция арктангенса равна голоморфный, и легко видеть, что ряд сходится равномерно на компактах в области с мнимой частью между −1/2 и 1/2, что приводит к голоморфной функции в этой области. Отсюда следует, что Z функция также голоморфна в этой области, являющейся критической полосой.

Мы можем использовать личности

${\displaystyle \arg z={\frac {\log z-\log {\bar {z}}}{2i}}\quad {\text{and}}\quad {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\bar {z}})}$

чтобы получить выражение в замкнутой форме

${\displaystyle \theta (t)={\frac {\log \Gamma \left({\frac {2it+1}{4}}\right)-\log \Gamma \left({\frac {-2it+1}{4}}\right)}{2i}}-{\frac {\log \pi }{2}}t=-{\frac {i}{2}}\left(\ln \Gamma \left({\frac {1}{4}}+{\frac {it}{2}}\right)-\ln \Gamma \left({\frac {1}{4}}-{\frac {it}{2}}\right)\right)-{\frac {\ln(\pi )t}{2}}}$

что расширяет наше первоначальное определение до голоморфной функции от т. Поскольку главная ветвь журнала Γ имеет единственную ветвь, разрезанную вдоль отрицательной действительной оси, θ(т) в этом определении наследует сечения ветвей вдоль мнимой оси выше я/ 2 и ниже -я/2.

Тета-функция Римана – Зигеля на комплексной плоскости

${\displaystyle -1<\Re (t)<1}$	${\displaystyle -5<\Re (t)<5}$	${\displaystyle -40<\Re (t)<40}$

Грамм

Дзета-функцию Римана на критической прямой можно записать

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=e^{-i\theta (t)}Z(t),}$

${\displaystyle Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right).}$

Если ${\displaystyle t}$ это настоящий номер, то Z функция ${\displaystyle Z(t)}$ возвращается настоящий значения.

Следовательно, дзета-функция на критической линии будет настоящий когда${\displaystyle \sin \left(\,\theta (t)\,\right)=0}$. Положительные реальные значения ${\displaystyle t}$ где это происходит, называются Грамм, после Дж. П. Грам, и, конечно, также могут быть описаны как точки, где ${\displaystyle {\frac {\theta (t)}{\pi }}}$ целое число.

А Точка грамма это решение ${\displaystyle g_{n}}$ из

${\displaystyle \theta (g_{n})=n\pi .}$

Эти решения аппроксимируются последовательностью:

${\displaystyle g'_{n}={\frac {2\pi \left(n+1-{\frac {7}{8}}\right)}{W\left({\frac {1}{e}}\left(n+1-{\frac {7}{8}}\right)\right)}},}$

куда ${\displaystyle W}$ это W функция Ламберта.

Вот самые маленькие неотрицательные Грамм

${\displaystyle n}$	${\displaystyle g_{n}}$	${\displaystyle \theta (g_{n})}$
−3	0	0
−2	3.4362182261...	−π
−1	9.6669080561...	−π
0	17.8455995405...	0
1	23.1702827012...	π
2	27.6701822178...	2π
3	31.7179799547...	3π
4	35.4671842971...	4π
5	38.9992099640...	5π
6	42.3635503920...	6π
7	45.5930289815...	7π
8	48.7107766217...	8π
9	51.7338428133...	9π
10	54.6752374468...	10π
11	57.5451651795...	11π
12	60.3518119691...	12π
13	63.1018679824...	13π
14	65.8008876380...	14π
15	68.4535449175...	15π

Выбор индекса п немного грубо. Исторически он выбирается таким образом, чтобы индекс был равен 0 при первом значении, которое больше наименьшего положительного нуля (в мнимой части 14,13472515 ...) дзета-функции Римана на критической линии. Обратите внимание, это ${\displaystyle \theta }$-функция осциллирует для абсолютно малых вещественных аргументов и, следовательно, не является однозначно обратимой в интервале [-24,24]! Таким образом странный у тета-функции есть симметричная точка Грама со значением 0 при индексе -3. Точки Грама полезны при вычислении нулей ${\displaystyle Z\left(t\right)}$. В точке Грама ${\displaystyle g_{n},}$

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+ig_{n}\right)=\cos(\theta (g_{n}))Z(g_{n})=(-1)^{n}Z(g_{n}),}$

и если это положительный в два последовательные точки Грама, ${\displaystyle Z\left(t\right)}$ в интервале должен быть ноль.

Согласно с Закон Грама, то реальная часть является обычно положительный, в то время как мнимая часть чередуется с точками Грама, между положительный и отрицательный значения через несколько регулярные интервалы.

${\displaystyle (-1)^{n}Z(g_{n})>0}$

Количество корней, ${\displaystyle N(T)}$, в полосе от 0 до Т, можно найти по

${\displaystyle N(T)={\frac {\theta (T)}{\pi }}+1+S(T),}$

куда ${\displaystyle S(T)}$ это член ошибки, который растет асимптотически как ${\displaystyle \log T}$.

Только если ${\displaystyle g_{n}}$ подчиняться закону Грама, то определение количества корней в полосе просто становится

${\displaystyle N(g_{n})=n+1.}$

Сегодня мы знаем, что в конечном итоге Закон грама не может содержать ровно 1 нуль дзета-функции Римана примерно для 1/4 всех интервалов Грама. Грам опасался, что он может потерпеть неудачу для более крупных индексов (первый промах находится в индексе 126 перед 127-м нулем) и поэтому утверждал это только для не слишком высоких индексов. Позже Хатчинсон придумал фразу Закон грама для (ложного) утверждения, что все нули на критической прямой будут разделены точками Грама.

Смотрите также

• Z функция

Рекомендации

• Эдвардс, Х.М. (1974), Дзета-функция Римана, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  978-0-486-41740-0, Г-Н  0466039
• Габке, В. (1979), Neue Herleitung und Expizierte Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel. Тезис, Геттингенский университет. Исправленная версия (eDiss Göttingen 2015)
• Грам, Дж. П. (1903), "Note sur les zéros de la fonction ζ (s) de Riemann" (PDF), Acta Mathematica, 27 (1): 289–304, Дои:10.1007 / BF02421310

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Функции Римана-Зигеля». MathWorld.
• Wolfram Research - Тета-функция Римана-Зигеля (включает построение и оценку функций)