Главный филиал - Principal branch

В математика, а главный филиал это функция, которая выбирает один ответвляться ("кусок") многозначная функция. Чаще всего это относится к функциям, определенным на комплексная плоскость.

Примеры

Основная ветвь arg (z)

Тригонометрические инверсии

Основные ветви используются в определении многих обратные тригонометрические функции, например, выбор, чтобы определить, что

${\displaystyle \arcsin :[-1,+1]\rightarrow \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}$

или это

${\displaystyle \arccos :[-1,+1]\rightarrow [0,\pi ]}$.

Возведение в степень в дробные степени

Более известная основная функция ветвления, ограниченная действительными числами, - это функция положительного действительного числа, возведенного в степень 1/2.

Например, возьмем соотношение у = Икс^1/2, куда Икс - любое положительное действительное число.

Этому соотношению может удовлетворять любое значение у равно квадратный корень из Икс (положительный или отрицательный). Условно, √Икс используется для обозначения положительного квадратного корня из Икс.

В этом случае функция положительного квадратного корня берется в качестве главной ветви многозначного отношения Икс^1/2.

Комплексные логарифмы

Один из способов увидеть основную ветвь - это конкретно посмотреть на экспоненциальная функция, а логарифм, как это определено в комплексный анализ.

Показательная функция однозначна, где е^z определяется как:

${\displaystyle e^{z}=e^{a}\cos b+ie^{a}\sin b}$

куда ${\displaystyle z=a+ib}$.

Однако периодический характер задействованных тригонометрических функций дает понять, что логарифм определяется не так однозначно. Один из способов увидеть это - взглянуть на следующее:

${\displaystyle \operatorname {Re} (\log z)=\log {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

и

${\displaystyle \operatorname {Im} (\log z)=\operatorname {atan2} (b,a)+2\pi k}$

куда k любое целое число и atan2 продолжает ценности арктан (б / а)-функция из их основного диапазона значений ${\displaystyle (-\pi /2,\;\pi /2]}$, соответствующий ${\displaystyle a>0}$ в основной диапазон значений arg (z)-функция ${\displaystyle (-\pi ,\;\pi ]}$, покрывающие все четыре квадранта комплексной плоскости.

Любой номер бревно z определяется такими критериями, обладает тем свойством, что е^{бревно z} = z.

Таким образом, функция журнала является многозначная функция (часто называемый «многофункциональным» в контексте комплексного анализа). Разрез ветви, обычно вдоль отрицательной действительной оси, может ограничить воображаемую часть, так что она находится между −π и π. Это избранные основные ценности.

Это основная ветвь функции журнала. Часто это определяется с помощью заглавной буквы, Бревно z.

Смотрите также

• Точка разветвления
• Срезанная ветка
• Комплексный логарифм
• Риманова поверхность

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Главный филиал». MathWorld.
• Ветви модуля сложных функций от Джона Х. Мэтьюза