Карта пентаграммы - Pentagram map

В математика, то карта пентаграммы дискретный динамическая система на пространство модулей из полигоны в проективная плоскость. В пентаграмма карта берет заданный многоугольник, находит пересечения кратчайших диагонали многоугольника и строит новый многоугольник из этих пересечений. Ричард Шварц представил карту пентаграммы для общего многоугольника в статье 1992 г. ^[1] хотя кажется, что частный случай, в котором карта определена для пятиугольники только восходит к статье 1871 г. Альфред Клебш^[2] и документ 1945 г. Теодор Моцкин.^[3] Карта пентаграммы по духу схожа с конструкциями, лежащими в основе Теорема дезарга и Пористость Понселе. Это перекликается с логикой и конструкцией, лежащей в основе гипотезы Бранко Грюнбаум относительно диагоналей многоугольника. ^[4]

Определение карты

Базовая конструкция

Предположим, что вершины из многоугольник P даются ${ Displaystyle P_ {1}, P_ {3}, P_ {5}, ldots}$ Образ п под картой пентаграммы находится многоугольник Q с вершинами ${ Displaystyle Q_ {2}, Q_ {4}, Q_ {6}, ldots}$ как показано на рисунке. Здесь ${ displaystyle Q_ {4}}$ пересечение диагоналей ${ displaystyle (P_ {1} P_ {5})}$ и ${ displaystyle (P_ {3} P_ {7})}$ , и так далее.

На базовом уровне можно представить карту пентаграммы как операцию, определенную на выпуклый полигоны в самолет. С более сложной точки зрения карта пентаграммы определяется для многоугольника, содержащегося в проективная плоскость через поле при условии, что вершины находятся в достаточно общая позиция. Карта пентаграммы ездит на работу с проективные преобразования и тем самым индуцирует отображение на пространство модулей проективных классы эквивалентности полигонов.

Правила маркировки

Карта ${ displaystyle P to Q}$ немного проблематично в том смысле, что индексы п-вершины - естественно нечетные целые числа, тогда как индексы Q-вершины, естественно, даже целые. Более традиционный подход к разметке заключался бы в том, чтобы пометить вершины P и Q целыми числами той же четности. Это можно сделать, прибавляя или вычитая 1 из каждого индекса Q-вершины. Любой выбор одинаково каноничен. Еще более традиционным выбором было бы пометить вершины п и Q последовательными целыми числами, но, опять же, есть два естественных выбора, как выровнять эти метки: Либо ${ displaystyle Q_ {k}}$ просто по часовой стрелке от ${ displaystyle P_ {k}}$ или просто против часовой стрелки. В большинстве статей по этой теме выбор делается раз и навсегда в начале статьи, а затем формулы настраиваются на этот выбор.

Существует совершенно естественный способ пометить вершины второй итерации карты пентаграммы последовательными целыми числами. По этой причине вторую итерацию карты пентаграммы более естественно рассматривать как итерацию, определенную на помеченных многоугольниках. Смотрите рисунок.

Скрученные полигоны

Карта пентаграммы также определяется на большом пространстве скрученных многоугольников.^[5]

Скрученный N-угольник - это бибесконечная последовательность точек проективной плоскости, которая N-периодический по модулю a проективное преобразование То есть какое-то проективное преобразование M несет ${ displaystyle P_ {k}}$ к ${ displaystyle P_ {N + k}}$ для всех k. Карта M называется монодромия скрученного N-гон. Когда M это личность, скрученная N-гон можно интерпретировать как обыкновенный N-угольник, вершины которого неоднократно перечислялись. Таким образом, скрученный N-gon - это обобщение обычного N-гон.

Два скрученных N-угольники эквивалентны, если проективное преобразование переносит один в другой. Пространство модулей скрученной N-угольников - это множество классов эквивалентности скрученных N-угольники. Пространство витого N-угольники содержат пространство обычных N-угольники как подмножество совместной размерности 8.^[5]^[6]

Элементарные свойства

Действие на пятиугольники и шестиугольники

Карта пентаграммы - это тождество на пространстве модулей пятиугольники.^[1]^[2]^[3] Это означает, что всегда есть проективное преобразование несущий пятиугольник к его изображению под картой пентаграммы.

Карта ${ displaystyle T ^ {2}}$ тождество на пространстве помеченных шестиугольники.^[1] Здесь Т является второй итерацией карты пентаграммы, которая естественным образом действует на помеченные шестиугольники, как описано выше. Это означает, что шестиугольники ${ displaystyle H}$ и ${ Displaystyle Т ^ {2} (Н)}$ эквивалентны сохраняющим метку проективное преобразование. Точнее шестиугольники ${ displaystyle H '}$ и ${ displaystyle T (H)}$ проективно эквивалентны, где ${ displaystyle H '}$ помеченный шестиугольник, полученный из ${ displaystyle H}$ сдвинув метки на 3. ^[1] Смотрите рисунок. Вполне возможно, что этот факт был известен и в XIX веке.

Действие карты пентаграммы на пятиугольники и шестиугольники похоже по духу на классические теоремы конфигурации в проективной геометрии, такие как Теорема Паскаля, Теорема дезарга и другие. ^[7]

Экспоненциальное сжатие

Итерации карты пентаграммы сжимают любые выпуклый многоугольник экспоненциально быстро до точки. ^[1] Это означает, что диаметр n-й итерации выпуклого многоугольника меньше, чем ${ Displaystyle Ка ^ {п}}$ для констант ${ displaystyle K> 0}$ и ${ Displaystyle 0 <а <1}$ которые зависят от исходного многоугольника. Здесь мы говорим о геометрическом действии на самих многоугольниках, а не на пространстве модулей классов проективной эквивалентности многоугольников.

Мотивирующая дискуссия

Этот раздел предназначен для того, чтобы дать нетехнический обзор большей части оставшейся части статьи. Контекст для карты пентаграммы проективная геометрия. Проективная геометрия - это геометрия нашего видения. Если посмотреть на верхнюю часть стакана, круг, обычно видят эллипс. Когда смотрят на прямоугольный дверь, можно увидеть обычно непрямоугольную четырехугольник. Проективные преобразования преобразование между различными формами, которые можно увидеть, глядя на один и тот же объект с разных точек зрения. Вот почему он играет такую важную роль в старых темах, таких как перспективный рисунок и новые вроде компьютерное зрение. Проективная геометрия построена на том факте, что прямая линия выглядит как прямая с любой точки зрения. Прямые линии - это строительные блоки предмета. Карта пентаграммы полностью определяется в терминах точек и прямых линий. Это делает его адаптированным к проективной геометрии. Если посмотреть на карту пентаграммы с другой точки зрения (т.е., вы наклоняете бумагу, на которой она нарисована), то вы все еще смотрите на карту пентаграммы. Это объясняет утверждение, что отображение пентаграммы коммутирует с проективными преобразованиями.

Карта пентаграммы плодотворно рассматривается как отображение на пространстве модулей полигоны. А пространство модулей вспомогательное пространство, точки которого индексируют другие объекты. Например, в Евклидова геометрия, сумма углов треугольник всегда 180 градусов. Вы можете указать треугольник (до масштаба), задав 3 положительных числа, ${ displaystyle x, y, z}$ такой, что ${ displaystyle x + y + z = 180.}$ Итак, каждая точка ${ Displaystyle (х, у, г)}$ , удовлетворяя только что упомянутым ограничениям, индексирует треугольник (до масштаба). Можно сказать, что ${ Displaystyle (х, у, г)}$ являются координатами пространства модулей классов масштабной эквивалентности треугольников. Если вы хотите проиндексировать все возможные четырехугольники, в масштабе или без него, вам понадобятся дополнительные параметры. Это привело бы к многомерный модульное пространство. Пространство модулей, относящееся к отображению пентаграммы, - это пространство модулей классов проективной эквивалентности многоугольников. Каждая точка в этом пространстве соответствует многоугольнику, за исключением того, что два многоугольника, которые представляют собой разные виды друг друга, считаются одинаковыми. Поскольку отображение пентаграммы адаптировано к проективной геометрии, как упоминалось выше, оно индуцирует отображение на этом конкретном пространстве модулей. То есть, учитывая любую точку в пространстве модулей, вы можете применить карту пентаграммы к соответствующему многоугольнику и посмотреть, какую новую точку вы получите.

Причина рассмотрения того, что карта пентаграммы делает с пространством модулей, заключается в том, что она дает более характерные особенности карты. Если вы просто наблюдаете геометрически, что происходит с отдельным многоугольником, скажем, выпуклый многоугольник, затем повторное приложение сжимает многоугольник до точки.^[1] Чтобы увидеть вещи более ясно, вы можете расширить сжимающееся семейство полигонов так, чтобы все они имели, скажем, одинаковые площадь. Если вы сделаете это, то обычно вы увидите, что семейство полигонов становится длинным и тонким.^[1] Теперь вы можете изменить соотношение сторон чтобы попытаться еще лучше рассмотреть эти многоугольники. Если вы проделаете этот процесс как можно более систематично, вы обнаружите, что просто смотрите, что происходит с точками в пространстве модулей. Попытки увеличить изображение наиболее наглядным способом приводят к введению пространства модулей.

Чтобы объяснить, как карта пентаграммы действует на пространство модулей, нужно сказать несколько слов о тор. Один из способов приблизительно определить тор - сказать, что это поверхность идеализированного пончик. Другой способ состоит в том, что это игровое поле для Астероиды видео игра. Еще один способ описать тор - сказать, что это экран компьютера с обтеканием как слева направо, так и сверху вниз. В тор является классическим примером того, что в математике называется многообразие. Это пространство, которое несколько похоже на обычное Евклидово пространство в каждой точке, но так или иначе связаны вместе по-разному. А сфера еще один пример многообразия. Вот почему людям потребовалось так много времени, чтобы понять, что земной шар не был плоским; на малых масштабах сложно отличить сферу от самолет. То же самое и с многообразиями типа тора. Существуют и многомерные торы. Вы можете представить, что играете в Asteroids в своей комнате, где вы можете свободно проходить сквозь стены и потолок / пол, выскакивая на противоположной стороне.

Можно провести эксперименты с картой пентаграммы, где можно посмотреть, как это отображение действует на пространство модулей многоугольников. Каждый начинает с точки и просто отслеживает, что с ней происходит, когда карта применяется снова и снова. Можно увидеть удивительную вещь: кажется, что эти точки выстраиваются вдоль многомерных торов.^[1] Эти невидимые торы заполняют пространство модулей примерно так же, как слои луковицы заполняют саму луковицу или как отдельные карты в колоде заполняют колоду. Техническое утверждение состоит в том, что торы образуют слоение пространства модулей. Торы имеют половину размерности пространства модулей. Например, пространство модулей ${ displaystyle 7}$ -угольники ${ displaystyle 6}$ размерность и торы в этом случае ${ displaystyle 3}$ размерный.

Торы невидимы подмножества пространства модулей. Они раскрываются только тогда, когда вы делаете карту пентаграммы и наблюдаете, как точка движется по кругу, заполняя один из торов. Грубо говоря, когда динамические системы имеют эти инвариантные торы, они называются интегрируемые системы. Большинство результатов в этой статье связано с установлением того, что отображение пентаграммы является интегрируемой системой, что эти торы действительно существуют. Обсуждаемые ниже инварианты монодромии оказываются уравнениями для торов. Скобка Пуассона, обсуждаемая ниже, представляет собой более сложный математический гаджет, который как бы кодирует локальную геометрию торов. Что приятно, так это то, что различные объекты точно подходят друг к другу и вместе составляют доказательство того, что движение тора действительно существует.

Координаты пространства модулей

Перекрестное соотношение

Когда поле, лежащее в основе всех конструкций, F, то аффинная линия это просто копия F. Аффинная линия - это подмножество проективная линия. Любой конечный список точек проективной прямой можно переместить на аффинную прямую подходящим проективное преобразование.

Учитывая четыре очка ${ displaystyle t_ {1}, t_ {2}, t_ {3}, t_ {4}}$ в аффинной строке определяется (обратный) перекрестное соотношение

{ displaystyle X = { frac {(t_ {1} -t_ {2}) (t_ {3} -t_ {4})} {(t_ {1} -t_ {3}) (t_ {2} - t_ {4})}}.}

Большинство авторов считают 1 /Икс быть перекрестное соотношение, и вот почему Икс называется обратным поперечным отношением. Обратное поперечное отношение инвариантно относительно проективных преобразований и поэтому имеет смысл для точек проективной прямой. Однако приведенная выше формула имеет смысл только для точек на аффинной прямой.

В немного более общей схеме ниже, перекрестное отношение имеет смысл для любых четырех коллинеарных точек в проективное пространство Просто отождествляют прямую, содержащую точки, с проективной прямой подходящим проективное преобразование а затем использует формулу выше. Результат не зависит от выбора, сделанного при идентификации. Обратное поперечное отношение используется для определения системы координат в пространстве модулей многоугольников, как обычных, так и скрученных.

Координаты угла

Угловые инварианты - это базовые координаты на пространстве скрученных многоугольников.^[5]^[6]^[8] Предположим, что P является многоугольник. А флаг из п пара (п,L), куда п является вершиной п и L смежная линия п. Каждая вершина п участвует в двух флагах, а также каждый край п участвует в двух флагах. Флаги п заказываются в соответствии с ориентацией п, как показано на рисунке. На этом рисунке флаг представлен толстой стрелкой. Таким образом, есть 2N флаги, связанные с N-угольником.

Позволять п быть N-угольник, с флажками ${ Displaystyle F_ {1}, ldots, F_ {2N}}$ Каждому флагу F сопоставим обратное поперечное отношение точек ${ displaystyle t_ {1}, t_ {2}, t_ {3}, t_ {4}}$ показано на рисунке слева. Таким образом связываются числа ${ Displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {2n}}$ к н-угольнику. Если два n-угольника связаны проективным преобразованием, они получают одинаковые координаты. Иногда переменные ${ Displaystyle x_ {1}, y_ {1}, x_ {2}, y_ {2}, ldots}$ используются вместо ${ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, ldots ,.}$

Угловые инварианты имеют смысл на пространстве модулей скрученных многоугольников. Когда задаются угловые инварианты скрученного многоугольника, получается 2N-периодическая бибесконечная последовательность чисел. Взяв один период этой последовательности, можно определить скрученный N-угольник с точкой в ${ displaystyle F ^ {2N}}$ куда F - основное поле. Наоборот, при почти любом (в смысле теория меры ) точка в ${ displaystyle F ^ {2N}}$ можно построить скрученный N-gon, имеющий этот список угловых инвариантов. Из такого списка не всегда получается обычный многоугольник; есть еще 8 уравнений, которым список должен удовлетворять, чтобы из него возникла обычная N-гон.

(ab) координаты

Существует второй набор координат для пространства модулей скрученных многоугольников, разработанный Сергей Табачников и Валентин Овсиенко. ^[6] Один описывает многоугольник в проективная плоскость последовательностью векторов ${ Displaystyle ldots V_ {1}, V_ {2}, V_ {3}, ldots}$ в ${ displaystyle R ^ {3}}$ так что каждая последовательная тройка векторов охватывает параллелепипед имеющий единичный объем. Это приводит к соотношению

{ displaystyle V_ {я + 3} = a_ {i} V_ {i + 2} + b_ {i} V_ {i + 1} + V_ {i}}

Координаты ${ displaystyle a_ {1}, b_ {1}, a_ {2}, b_ {2}, ldots}$ служат координатами пространства модулей скрученных N-гоны до тех пор, пока N не делится на 3.

Координаты (ab) демонстрируют близкую аналогию между скрученными многоугольниками и решениями линейного порядка 3-го порядка. обыкновенные дифференциальные уравнения, нормализовано, чтобы иметь единицу Вронскиан.

Формула карты пентаграммы

Как бирациональное отображение

Вот формула карты пентаграммы, выраженная в угловых координатах.^[5] Уравнения работают более изящно, если рассматривать вторую итерацию карты пентаграммы, благодаря канонической схеме разметки, описанной выше. Вторая итерация карты пентаграммы - это сочинение ${ Displaystyle B circ A}$ . Карты ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ находятся бирациональные отображения порядка 2 и выполните следующие действия.

{ Displaystyle A (x_ {1}, ldots, x_ {2N}) = (a_ {1}, ldots, a_ {2N})}

{ Displaystyle B (x_ {1}, ldots, x_ {2N}) = (b_ {1}, ldots, b_ {2N})}

куда

{ displaystyle { begin {align} a_ {2k-1} & = { frac {(1-x_ {2k + 1} x_ {2k + 2})} {(1-x_ {2k-3} x_ { 2k-2})}} x_ {2k + 0} [4pt] a_ {2k + 0} & = { frac {(1-x_ {2k-3} x_ {2k-2})} {(1 -x_ {2k + 1} x_ {2k + 2})}} x_ {2k-1} [4pt] b_ {2k + 1} & = { frac {(1-x_ {2k-2} x_ { 2k-1})} {(1-x_ {2k + 2} x_ {2k + 3})}} x_ {2k + 0} [4pt] b_ {2k + 0} & = { frac {(1 -x_ {2k + 2} x_ {2k + 3})} {(1-x_ {2k-2} x_ {2k-1})}} x_ {2k-1} end {align}}}

(Примечание: индекс 2k + 0 это всего 2k. Для выравнивания формул добавляется 0.) В этих координатах карта пентаграммы является бирациональным отображением ${ displaystyle F ^ {2N}}$

Как отношения совместимости сетки

Формула карты пентаграммы имеет удобную интерпретацию как определенное правило совместимости надписей на края треугольной сетки, как показано на рисунке.^[5] В этой интерпретации угловые инварианты многоугольника P помечают негоризонтальные ребра одной строки, а затем негоризонтальные ребра последующих строк помечаются угловыми инвариантами ${ Displaystyle A (P)}$ , ${ Displaystyle В (А (Р))}$ , ${ Displaystyle А (В (А (Р)))}$ , и так далее. правила совместимости

{ displaystyle c = 1-ab}

{ displaystyle wx = yz}

Эти правила предназначены для всех конфигураций, которые конгруэнтный к показанным на рисунке. Другими словами, фигуры, участвующие в отношениях, могут находиться во всех возможных положениях и ориентациях. Метки на горизонтальных краях - это просто вспомогательные переменные, введенные для упрощения формул. Как только предоставляется одна строка негоризонтальных ребер, остальные строки однозначно определяются правилами совместимости.

Инвариантные структуры

Угловые координатные изделия

Непосредственно из формулы для карты пентаграммы в терминах угловых координат следует, что две величины

{ Displaystyle O_ {N} = x_ {1} x_ {3} cdots x_ {2N-1}}

{ Displaystyle E_ {N} = x_ {2} x_ {4} cdots x_ {2N}}

инвариантны относительно отображения пентаграммы. Это наблюдение тесно связано с работой Джозефа Закса 1991 г. ^[4] относительно диагоналей многоугольника.

Когда N = 2k четно, функции

{ Displaystyle O_ {k} = x_ {1} x_ {5} x_ {9} cdots x_ {2N-3} + x_ {3} x_ {7} x_ {11} cdots x_ {2N-1}}

{ Displaystyle E_ {k} = x_ {2} x_ {6} x_ {10} cdots x_ {2N-2} + x_ {4} x_ {8} x_ {12} cdots x_ {2N}}

точно так же, как видно непосредственно из формулы, как инвариантные функции. Все эти продукты оказываются Инварианты Казимира относительно инвариантной скобки Пуассона, обсуждаемой ниже. В то же время функции ${ displaystyle O_ {k}}$ и ${ displaystyle E_ {k}}$ являются простейшими примерами инвариантов монодромии, определенных ниже.

В наборы уровней функции ${ displaystyle f = O_ {N} E_ {N}}$ находятся компактный, когда f ограничивается пространством модулей действительных выпуклые многоугольники. ^[1] Следовательно, каждая орбита карты пентаграммы, действующей в этом пространстве, имеет компактный закрытие.

Форма объема

Карта пентаграммы при воздействии на пространство модулей Икс выпуклых многоугольников, имеет инвариант объемная форма. ^[9] При этом, как уже было сказано, функция ${ displaystyle f = O_ {N} E_ {N}}$ имеет компактный наборы уровней на Икс. Эти два свойства сочетаются с Теорема Пуанкаре о возвращении означать, что действие карты пентаграммы на Икс рекуррентно: орбита почти любого класса эквивалентности выпуклого многоугольника п бесконечно часто возвращается в каждый район п.^[9] Это означает, что по модулю проективных преобразований каждый, как правило, снова и снова видит почти одну и ту же форму при повторении карты пентаграммы. (Важно помнить, что мы рассматриваем классы проективной эквивалентности выпуклых многоугольников. Тот факт, что отображение пентаграммы заметно сжимает выпуклый многоугольник, не имеет значения.)

Стоит отметить, что результат рекуррентности относится к результатам полной интегрируемости, обсуждаемым ниже.^[6]^[10]

Инварианты монодромии

Так называемые инварианты монодромии представляют собой набор функции на пространство модулей которые инвариантны относительно карты пентаграммы. ^[5]

С целью определения инвариантов монодромии скажем, что блок - это либо одно целое, либо тройка последовательных целых чисел, например 1 и 567. Скажем, что блок является нечетным, если он начинается с нечетного целого числа. Скажем, два блока хорошо разделены, если между ними есть как минимум 3 целых числа. Например, 123 и 567 плохо разделены, но 123 и 789 хорошо разделены. Скажем, что нечетная допустимая последовательность - это конечная последовательность целых чисел, которая распадается на хорошо разделенные нечетные блоки. Когда мы берем эти последовательности из набора 1, ..., 2N, понятие отделения скважины подразумевается в циклическом смысле. Таким образом, 1 и 2N - 1 не очень хорошо разделены.

Каждая нечетная допустимая последовательность порождает одночлен в угловых инвариантах. Лучше всего это проиллюстрировать на примере

1567 рождает ${ displaystyle -x_ {1} x_ {5} x_ {6} x_ {7}}$
123789 дает начало ${ displaystyle + x_ {1} x_ {2} x_ {3} x_ {7} x_ {8} x_ {9}}$

Знак определяется паритет количества однозначных блоков в последовательности. Инвариант монодромии ${ displaystyle O_ {k}}$ определяется как сумма всех одночленов, полученных из нечетных допустимых последовательностей, состоящих из k блоков. Инвариант монодромии ${ displaystyle E_ {k}}$ определяется таким же образом, с заменой четного нечетного в определении.

Когда N нечетно, допустимые значения k равны 1, 2, ..., (п - 1) / 2. Когда N четно, допустимые значения k равны 1, 2, ...,п/ 2. Когда k = п/ 2 восстанавливаются описанные выше инварианты произведения. В обоих случаях инварианты ${ displaystyle O_ {N}}$ и ${ displaystyle E_ {N}}$ считаются инвариантами монодромии, даже если они не порождаются приведенной выше конструкцией.

Инварианты монодромии определены на пространстве скрученных многоугольников и ограничены, чтобы дать инварианты на пространстве замкнутых многоугольников. Имеют следующую геометрическую интерпретацию. Монодромия M скрученного многоугольника - это некоторая рациональная функция в угловых координатах. Инварианты монодромии по существу являются однородными частями след изM. Также имеется описание инвариантов монодромии в терминах (ab) координат. В этих координатах инварианты возникают как определенные детерминанты 4-х диагонального матрицы. ^[6]^[8]

В любое время п все его вершины находятся на коническая секция (например, круг) есть ${ Displaystyle O_ {k} (P) = E_ {k} (P)}$ для всехk. ^[8]

Скобка Пуассона

А Скобка Пуассона антисимметричный линейный оператор ${ Displaystyle { cdot, cdot }}$ на пространстве функций, удовлетворяющем Идентичность Лейбница и Личность Якоби. В статье 2010 г.^[6] Валентин Овсиенко, Ричард Шварц и Сергей Табачников подготовили Скобка Пуассона на пространстве скрученных многоугольников, инвариантном относительно отображения пентаграммы. Они также показали, что инварианты монодромии коммутируют относительно этой скобки. Это значит, что

{ displaystyle {O_ {i}, O_ {j} } = {O_ {i}, E_ {j} } = {E_ {i}, E_ {j} } = 0}

по всем показателям.

Вот описание инвариантной скобки Пуассона в переменных.

{ Displaystyle x_ {1}, y_ {1}, x_ {2}, y_ {2}, ldots ,.}

{ displaystyle {x_ {i}, x_ {i + 1} } = - x_ {i} , x_ {i + 1}}

{ Displaystyle {х_ {я}, х_ {я-1} } = х_ {я} , х_ {я-1}}

{ displaystyle {y_ {i}, y_ {i + 1} } = y_ {i} , y_ {i + 1}}

{ displaystyle {y_ {i}, y_ {i-1} } = - y_ {i} , y_ {i-1}}

{ displaystyle {x_ {i}, x_ {j} } = {y_ {i}, y_ {j} } = {x_ {i}, y_ {j} } = 0}

для всех остальных

{ displaystyle i, j.}

Также есть описание в терминах координат (ab), но более сложное.^[6]

Вот альтернативное описание инвариантной скобки. Учитывая любую функцию ${ displaystyle f}$ на пространстве модулей имеем так называемый Гамильтоново векторное поле

{ displaystyle H (f) = left (x_ {i + 1} { frac { partial f} { partial x_ {i + 1}}}} - x_ {i-1} { frac { partial f} } { partial x_ {i-1}}} right) x_ {i} { frac { partial} { partial x_ {i}}} + left (y_ {i-1} { frac { partial f} { partial y_ {i-1}}} - y_ {i + 1} { frac { partial f} { partial y_ {i + 1}}} right) y_ {i} { frac { partial} { partial y_ {i}}}}

где понимается суммирование по повторяющимся индексам. потом

{ Displaystyle Н (е) г = {е, г }}

Первое выражение - это производная по направлению из ${ displaystyle g}$ в направлении векторного поля ${ displaystyle H (f)}$ . На практике тот факт, что инварианты монодромии коммутируют по Пуассону, означает, что соответствующий гамильтониан векторные поля определить коммутирующие потоки.

Полная интегрируемость

Интегрируемость Арнольда – Лиувилля.

Инварианты монодромии и инвариантная скобка вместе устанавливают интегрируемость по Арнольду – Лиувиллю отображения пентаграммы на пространстве скрученных N-угольники. ^[6] Ситуацию проще описать для нечетного N. В этом случае два продукта

{ Displaystyle O_ {n} = x_ {1} cdots x_ {n}}

{ displaystyle E_ {n} = y_ {1} cdots y_ {n}}

находятся Инварианты Казимира для скобки, что означает (в данном контексте), что

{ displaystyle {O_ {n}, f } = {E_ {n}, f } = 0}

для всех функций f. Казимир набор уровней - это набор всех точек в пространстве, имеющих указанное значение для обоих ${ displaystyle O_ {n}}$ и ${ displaystyle E_ {n}}$ .

Каждый набор уровней Казимира имеет изомонодромию слоение, а именно разложение на общие множества уровня остальных функций монодромии. Гамильтоновы векторные поля, связанные с оставшимися инвариантами монодромии, в общем случае покрывают касательное распределение к слоению изомонодромии. Тот факт, что монодромия инвариантна по Пуассону, означает, что эти векторные поля определяют коммутирующие потоки. Эти потоки, в свою очередь, определяют локальные карты координат на каждом уровне изомонодромии, так что карты перехода являются евклидовыми переводами. То есть гамильтоновы векторные поля придают плоскую евклидову структуру уровням изомонодромии, заставляя их быть плоскими торами, когда они гладкий и компактный коллекторы. Это происходит почти для каждого набора уровней. Поскольку все, что находится в поле зрения, инвариантно к пентаграмме, отображение пентаграммы, ограниченное листом изомонодромии, должно быть переводом. Этот вид движения известен как квазипериодическое движение. Это объясняет интегрируемость Арнольда-Лиувилля.

С точки зрения симплектическая геометрия скобка Пуассона дает симплектическая форма на каждом наборе уровней Казимира.

Алгебро-геометрическая интегрируемость

В препринте 2011 г. ^[10] Федор Соловьев показал, что карта пентаграммы имеет Слабое представление со спектральным параметром и доказал его алгебро-геометрическую интегрируемость. Это означает, что пространство многоугольников (скрученных или обычных) параметризуется в терминах спектральной кривой с отмеченными точками и делитель. Спектральная кривая определяется инвариантами монодромии, а дивизор соответствует точке на торе - многообразию Якоби спектральной кривой. Алгебро-геометрические методы гарантируют, что отображение пентаграммы квазипериодическое движение на торе (как в скрученном, так и в обычном случае), и они позволяют строить явные формулы решений с использованием Римана тета-функции (т.е. переменные, которые определяют многоугольник как явные функции времени). Соловьев также получает инвариантную скобку Пуассона из универсальной формулы Кричевера – Фонга.

Связь с другими темами

Октаэдрическая повторяемость

Октаэдрическая рекуррентность - это динамическая система, определенная на вершинах октаэдрической мозаики пространства. Каждый октаэдр имеет 6 вершин, и эти вершины помечены таким образом, что

{ displaystyle a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2} = a_ {3} b_ {3}}

Здесь ${ displaystyle a_ {i}}$ и ${ displaystyle b_ {i}}$ - метки противоположных вершин. Обычно принято, что ${ displaystyle a_ {2}, b_ {2}, a_ {3}, b_ {3}}$ всегда лежат в центральной горизонтальной плоскости, а a_1, b_1 - верхняя и нижняя вершины. Октаэдрическая повторяемость тесно связана с К. Л. Доджсона метод конденсации для вычислений детерминанты.^[5] Обычно маркируют два горизонтальных слоя мозаики, а затем используют основное правило, позволяющее меткам распространяться динамически.

Макс Глик использовал кластерная алгебра формализм для поиска формул для итераций карты пентаграммы в терминах знакопеременные матрицы.^[11] Эти формулы аналогичны по духу формулам, найденным Дэвид П. Роббинс и Гарольд Рамси для итераций октаэдрической повторяемости.

Альтернативно, следующая конструкция связывает октаэдрическое повторение непосредственно с картой пентаграммы. ^[5] Позволять ${ displaystyle T}$ быть октаэдрической мозаикой. Позволять ${ displaystyle pi: T to R ^ {2}}$ быть линейная проекция который отображает каждый октаэдр в ${ displaystyle T}$ конфигурации из 6 точек, показанной на первом рисунке. Скажите, что адаптированная маркировка ${ displaystyle T}$ это разметка, так что все точки в (бесконечном) обратное изображение любой точки в ${ Displaystyle G = pi (T)}$ получить такую же числовую метку. Октаэдрическое повторение, применяемое к адаптированной разметке, такое же, как повторение на ${ displaystyle G}$ в котором то же правило, что и для октаэдрического повторения, применяется к каждой конфигурации точек конгруэнтный конфигурации на первом рисунке. Назовите это повторением плоского октаэдра.

Учитывая маркировку ${ displaystyle G}$ который подчиняется плоской октаэдрической повторяемости, можно создать разметку ребер ${ displaystyle G}$ применяя правило

{ Displaystyle v = AD / BC}

до каждого края. Это правило относится к рисунку справа и предназначено для применения к каждой конфигурации, которая конгруэнтный к двум показанным. Когда эта разметка выполнена, разметка ребер G удовлетворяет отношениям для карты пентаграммы.

Уравнение Буссинеска

Непрерывный предел выпуклого многоугольника - это параметризованная выпуклая кривая на плоскости. При подходящем выборе параметра времени непрерывный предел карты пентаграммы является классическим Уравнение Буссинеска.^[5]^[6] Это уравнение является классическим примером интегрируемый уравнение в частных производных.

Вот описание геометрического действия уравнения Буссинеска. Учитывая локально выпуклый изгиб ${ displaystyle C: R to R ^ {2}}$ , и действительные числа x и t, рассмотрим аккорд соединение ${ Displaystyle С (х-т)}$ к ${ Displaystyle С (х + т)}$ . Огибающая всех этих аккордов - новая кривая ${ Displaystyle C_ {т} (х)}$ . Когда t очень мало, кривая ${ Displaystyle C_ {т} (х)}$ является хорошей моделью для временной t эволюции исходной кривой ${ Displaystyle C_ {0} (х)}$ по уравнению Буссинеска. Это геометрическое описание делает довольно очевидным, что B-уравнение является непрерывным пределом отображения пентаграммы. В то же время инвариантная скобка пентаграммы представляет собой дискретизацию известной инвариантной скобки Пуассона, связанной с уравнением Буссинеска. ^[6]

Недавно была проведена некоторая работа по многомерным обобщениям отображения пентаграммы и его связи с дифференциальными уравнениями в частных производных типа Буссинеска. ^[12]

Проективно естественная эволюция

Карта пентаграммы и уравнение Буссинеска являются примерами проективно естественных геометрических эволюционных уравнений. Такие уравнения возникают в различных областях математики, таких как проективная геометрия и компьютерное зрение. ^[13] ^[14]

Кластерные алгебры

В статье 2010 г. ^[11] Макс Глик определил карту пентаграммы как частный случай кластерная алгебра.

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм ^час ^я Шварц, Ричард Эван (1992). "Карта пентаграммы". Экспериментальная математика. 1: 90–95.
^ ^а ^б А. Клебш (1871). "Ueber das ebene Funfeck". Mathematische Annalen. 4 (3): 476–489. Дои:10.1007 / bf01455078. S2CID 122093180.
^ ^а ^б Чт. Моцкин (1945). «Пентагон в проективной плоскости с комментарием к правилу Непьера». Бюллетень Американского математического общества. 51 (12): 985–989. Дои:10.1090 / S0002-9904-1945-08488-2.
^ ^а ^б Закс, Джозеф (1996). «О произведении соотношений на диагоналях многоугольников». Geometriae Dedicata. 60 (2): 145–151. Дои:10.1007 / BF00160619. S2CID 123626706.
^ ^а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм ^час ^я Шварц, Ричард Эван (2008). «Дискретная монодромия, пентаграммы и метод конденсации». Журнал теории фиксированной точки и приложений (2008). 3 (2): 379–409. arXiv:0709.1264. Дои:10.1007 / s11784-008-0079-0. S2CID 17099073.
^ ^а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм ^час ^я ^j Овсиенко, Валентин; Шварц, Ричард Эван; Табачников, Серж (2010). «Карта пентаграммы, дискретная интегрируемая система» (PDF). Comm. Математика. Phys. 299 (2): 409–446. arXiv:0810.5605. Bibcode:2010CMaPh.299..409O. Дои:10.1007 / s00220-010-1075-у. S2CID 2616239. Получено 26 июня, 2011.
^ Шварц, Ричард Эван; Табачников Серж (Октябрь 2009 г.). «Элементарные сюрпризы в проективной геометрии». arXiv:0910.1952 [math.DG ].
^ ^а ^б ^c Шварц, Ричард Эван; Табачников, Сергей (октябрь 2009 г.). «Интегралы пентаграммы для вписанных многоугольников». Электронный журнал комбинаторики. arXiv:1004.4311. Bibcode:2010arXiv1004.4311S.
^ ^а ^б Шварц, Ричард Эван (2001). «Повторение карты пентаграммы» (PDF). Экспериментальная математика. 10 (4): 519–528. Дои:10.1080/10586458.2001.10504671. S2CID 4454793. Архивировано из оригинал (PDF) 27 сентября 2011 г.. Получено 30 июня, 2011.
^ ^а ^б Соловьев, Федор (2011). «Интегрируемость карты пентаграммы». Математический журнал герцога. 162 (15): 2815–2853. arXiv:1106.3950. Дои:10.1215/00127094-2382228. S2CID 119586878.
^ ^а ^б *Глик, Макс (2010). «Карта пентаграммы и Y-образные узоры». arXiv:1005.0598v2 [math.CO ].
^ Беффа, Глория Мару. «Об обобщениях карты пентаграммы: дискретизация потоков AGD» (PDF). Мэдисон, Висконсин: Университет Висконсина. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
^ Bruckstein, Альфред М .; Shaked, Дорон (1997). «О проективном инвариантном сглаживании и эволюции плоских кривых и многоугольников». Журнал математической визуализации и зрения. 7 (3): 225–240. Дои:10.1023 / А: 1008226427785. S2CID 2262433.
^ Питер Дж. Олвер; Гильермо Сапиро; Аллен Танненбаум; МИННЕСОТА УНИВ МИННЕАПОЛИС ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИКИ. «Дифференциальные инвариантные сигнатуры и потоки в компьютерном зрении: подход группы симметрии». Получено 2010-02-12. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)