Уравнение Пеллса - Pells equation

Уравнение Пелла для п = 2 и шесть его целочисленных решений

Уравнение Пелла, также называемый Уравнение Пелля – Ферма, любой Диофантово уравнение формы ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$ куда п данный положительный неквадратный целое число и целочисленные решения ищутся для Икс и у. В Декартовы координаты, уравнение имеет вид гипербола; решения возникают везде, где кривая проходит через точку, Икс и у координаты являются целыми числами, например простое решение с Икс = 1 и у = 0. Жозеф Луи Лагранж доказал это, пока п это не идеальный квадрат, Уравнение Пелла имеет бесконечно много различных целочисленных решений. Эти решения могут быть использованы для точного приблизительный то квадратный корень изп к рациональное число формыИкс/у.

Это уравнение впервые было широко изучено. в Индии начиная с Брахмагупта,^[1] кто нашел целочисленное решение ${\displaystyle 92x^{2}+1=y^{2}}$ в его Брахмаспхунасиддханта около 628 г.^[2] Бхаскара II в двенадцатом веке и Нараяна Пандит в четырнадцатом веке оба нашли общие решения уравнения Пелла и других квадратных неопределенных уравнений. Бхаскаре II обычно приписывают разработку чакравала метод, опираясь на работу Джаядева и Брахмагупта. Решения конкретных примеров уравнения Пелла, таких как Числа Пелла возникающее из уравнения с п = 2, было известно гораздо дольше, со времен Пифагор в Греция и аналогичная дата в Индии. Уильям Браункер был первым европейцем, решившим уравнение Пелла. Название уравнения Пелла возникло из Леонард Эйлер ошибочно приписывая решение Браункера уравнения Джон Пелл.^{[3][4][примечание 1]}

История

Еще в 400 г. до н.э. в Индии и Греции математики изучали числа, возникающие из п = 2 случай уравнения Пелла,

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1}$

и из тесно связанного уравнения

${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=-1}$

из-за связи этих уравнений с квадратный корень из 2.^[5] Действительно, если Икс и у находятся положительные целые числа удовлетворяющее этому уравнению, то Икс/у является приближением √2. Цифры Икс и у появляющиеся в этих приближениях, называемые номера сторон и диаметров, были известны Пифагорейцы, и Прокл заметил, что в противоположном направлении эти числа подчиняются одному из этих двух уравнений.^[5] По аналогии, Баудхаяна обнаружил, что Икс = 17, у = 12 и Икс = 577, у = 408 - это два решения уравнения Пелла, а 17/12 и 577/408 - очень близкие приближения к квадратному корню из 2.^[6]

Потом, Архимед приблизился к квадратный корень из 3 рациональным числом 1351/780. Хотя он не объяснил свои методы, это приближение может быть получено таким же образом, как решение уравнения Пелла.^[5]Так же, Проблема архимеда о скоте - древний проблема со словом о поиске поголовья скота, принадлежащего богу солнца Гелиос - можно решить, переформулируя его в виде уравнения Пелла. В рукописи, содержащей проблему, говорится, что она была разработана Архимедом и записана в письме к Эратосфен,^[7] и приписывание Архимеду сегодня общепринято.^[8][9]

Около 250 г. Диофант рассмотрел уравнение

${\displaystyle a^{2}x^{2}+c=y^{2},}$

куда а и c фиксированные числа и Икс и у - переменные, которые необходимо решить. Это уравнение отличается по форме от уравнения Пелла, но эквивалентно ему. Диофант решил уравнение для (а, c) равные (1, 1), (1, −1), (1, 12) и (3, 9). Аль-Караджи Персидский математик X века работал над проблемами, подобными Диофанту.^[10]

В индийской математике Брахмагупта обнаружил, что

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}$

форма того, что сейчас известно как Личность Брахмагупты. Используя это, он умел «составлять» тройки ${\displaystyle (x_{1},y_{1},k_{1})}$ и ${\displaystyle (x_{2},y_{2},k_{2})}$ это были решения ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k}$, чтобы сгенерировать новые тройки

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},k_{1}k_{2})}$ и ${\displaystyle (x_{1}x_{2}-Ny_{1}y_{2},x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1},k_{1}k_{2}).}$

Это не только дало возможность генерировать бесконечно много решений для ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1}$ начиная с одного раствора, но также, разделив такой состав на ${\displaystyle k_{1}k_{2}}$часто можно было получить целочисленные или «почти целые» решения. Например, для ${\displaystyle N=92}$, Брахмагупта составил тройку (10, 1, 8) (поскольку ${\displaystyle 10^{2}-92(1^{2})=8}$) с собой, чтобы получить новую тройку (192, 20, 64). Разделив на 64 ('8' для ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$) дала тройку (24, 5/2, 1), которая при составлении сама с собой дала желаемое целочисленное решение (1151, 120, 1). Брахмагупта решил этим методом многие уравнения Пелла, доказав, что он дает решения, начинающиеся с целочисленного решения ${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=k}$ за k = ± 1, ± 2 или ± 4.^[11]

Первый общий метод решения уравнения Пелла (для всех N) был предоставлен Бхаскара II в 1150 году, расширив методы Брахмагупты. Называется чакравала (циклический) метод, он начинается с выбора двух относительно простых целых чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, затем составив тройку ${\displaystyle (a,b,k)}$ (то есть тот, который удовлетворяет ${\displaystyle a^{2}-Nb^{2}=k}$) с тривиальной тройкой ${\displaystyle (m,1,m^{2}-N)}$ получить тройку ${\displaystyle (am+Nb,a+bm,k(m^{2}-N))}$, который можно уменьшить до

${\displaystyle \left({\frac {am+Nb}{k}},{\frac {a+bm}{k}},{\frac {m^{2}-N}{k}}\right).}$

Когда ${\displaystyle m}$ выбирается так, чтобы ${\displaystyle {\frac {a+bm}{k}}}$ является целым числом, как и два других числа в тройке. Среди таких ${\displaystyle m}$, метод выбирает тот, который минимизирует ${\displaystyle {\frac {m^{2}-N}{k}}}$, и повторяет процесс. Этот метод всегда заканчивается решением (доказано Жозеф-Луи Лагранж в 1768 г.). Бхаскара использовал это, чтобы дать решение Икс = 1766319049, у = 226153980 к N = 61 случай.^[11]

Несколько европейских математиков заново открыли, как решить уравнение Пелла в 17 веке, по-видимому, не подозревая, что оно было решено почти пятьсот лет назад в Индии. Пьер де Ферма нашел, как решить уравнение, и в письме от 1657 года бросил его английским математикам.^[12] В письме к Кенельм Дигби, Бернар Френкл де Бесси сказал, что Ферма нашел наименьшее решение для N до 150, и оспаривается Джон Уоллис решать дела N = 151 или 313. И Уоллис, и Уильям Браункер дал решения этих проблем, хотя Уоллис предполагает в письме, что решение было связано с Браункером.^[13]

Джон Пелл связь с уравнением заключается в том, что он пересмотрел Томас Бранкер перевод^[14] из Иоганн Ран книга 1659 г. Тойческая алгебра^{[заметка 2]} на английский язык, с обсуждением решения Браункера уравнения. Леонард Эйлер ошибочно думал, что это решение принадлежит Пеллу, в результате чего он назвал уравнение в честь Пелла.^[4]

Общая теория уравнения Пелла, основанная на непрерывные дроби и алгебраические манипуляции с числами вида ${\displaystyle P+Q{\sqrt {a}},}$ был разработан Лагранжем в 1766–1769 гг.^[15]

Решения

Фундаментальное решение через непрерывные дроби

Позволять ${\displaystyle {\tfrac {h_{i}}{k_{i}}}}$ обозначим последовательность сходящиеся к правильная непрерывная дробь за ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$. Эта последовательность уникальна. Тогда пара (Икс₁,у₁) решение уравнения Пелла и минимизация Икс удовлетворяет Икс₁ = час_я и у₁ = k_я для некоторых я. Эта пара называется фундаментальное решение. Таким образом, фундаментальное решение можно найти, выполнив расширение непрерывной дроби и протестировав каждую последующую сходящуюся дробь, пока не будет найдено решение уравнения Пелла.^[16]

Время нахождения фундаментального решения методом непрерывных дробей с помощью Алгоритм Шёнхаге – Штрассена для быстрого целочисленного умножения находится в пределах логарифмического множителя размера решения, количество цифр в паре (Икс₁,у₁). Однако это не алгоритм полиномиального времени потому что количество цифр в решении может достигать √п, намного больше, чем многочлен по количеству цифр во входном значении п.^[17]

Дополнительные решения из фундаментального решения

Как только фундаментальное решение найдено, все оставшиеся решения могут быть вычислены алгебраически из

${\displaystyle x_{k}+y_{k}{\sqrt {n}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}})^{k},}$^[17]

расширяя правую сторону, приравнивание коэффициентов из ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ с обеих сторон и приравнивая остальные члены с обеих сторон. Это дает повторяющиеся отношения

${\displaystyle \displaystyle x_{k+1}=x_{1}x_{k}+ny_{1}y_{k},}$

${\displaystyle \displaystyle y_{k+1}=x_{1}y_{k}+y_{1}x_{k}.}$

Краткое представление и более быстрые алгоритмы

Хотя выписывая принципиальное решение (Икс₁, у₁), поскольку для пары двоичных чисел может потребоваться большое количество битов, во многих случаях она может быть представлена ​​более компактно в форме

${\displaystyle x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}}=\prod _{i=1}^{t}(a_{i}+b_{i}{\sqrt {n}})^{c_{i}}}$

используя гораздо меньшие целые числа а_я, б_я, и c_я.

Например, Проблема архимеда о скоте эквивалентно уравнению Пелла ${\displaystyle x^{2}-410286423278424y^{2}=1}$, фундаментальное решение которого имеет 206545 цифр, если выписано явно. Однако решение также равно

${\displaystyle x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}}=u^{2329},}$

куда

${\displaystyle u=x'_{1}+y'_{1}{\sqrt {4729494}}=(300426607914281713365{\sqrt {609}}+84129507677858393258{\sqrt {7766}})^{2}}$

и ${\displaystyle x'_{1}}$ и ${\displaystyle y'_{1}}$ имеют только 45 и 41 десятичную цифру соответственно.^[17]

Методы, относящиеся к квадратное сито подход для целочисленная факторизация может использоваться для сбора отношений между простыми числами в числовом поле, созданном √п, и объединить эти отношения, чтобы найти представление продукта этого типа. Полученный алгоритм решения уравнения Пелла более эффективен, чем метод непрерывной дроби, хотя он все равно занимает больше, чем полиномиальное время. При предположении обобщенная гипотеза Римана, это может занять время

${\displaystyle \exp O({\sqrt {\log N\log \log N}}),}$

куда N = журналп - входной размер, аналогично квадратному решету.^[17]

Квантовые алгоритмы

Халлгрен показал, что квантовый компьютер может найти представление продукта, как описано выше, для решения уравнения Пелла за полиномиальное время.^[18] Алгоритм Холлгрена, который можно интерпретировать как алгоритм нахождения группы единиц реального поле квадратичных чисел, была распространена на более общие поля Шмидтом и Фёльмером.^[19]

Пример

В качестве примера рассмотрим пример уравнения Пелла для п = 7; то есть,

${\displaystyle x^{2}-7y^{2}=1.}$

Последовательность подходящих дробей для квадратного корня из семи:

час / k (Сходящийся)	час^2 − 7k^2 (Приближение типа Пелля)
2 / 1	−3
3 / 1	+2
5 / 2	−3
8 / 3	+1

Следовательно, фундаментальное решение составляет пара (8, 3). Применение рекуррентной формулы к этому решению порождает бесконечную последовательность решений

(1, 0); (8, 3); (127, 48); (2024, 765); (32257, 12192); (514088, 194307); (8193151, 3096720); (130576328, 49353213); ... (последовательность A001081 (Икс) и A001080 (у) в OEIS )

Самое маленькое решение может быть очень большим. Например, наименьшее решение для ${\displaystyle x^{2}-313y^{2}=1}$ это (32188120829134849, 1819380158564160), и это уравнение, которое Френикл призвал Уоллиса решить.^[20] Ценности п такое, что наименьшее решение ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$ больше наименьшего решения для любого меньшего значения п находятся

1, 2, 5, 10, 13, 29, 46, 53, 61, 109, 181, 277, 397, 409, 421, 541, 661, 1021, 1069, 1381, 1549, 1621, 2389, 3061, 3469, 4621, 4789, 4909, 5581, 6301, 6829, 8269, 8941, 9949, ... (последовательность A033316 в OEIS ).

(Эти записи см. OEIS: A033315 за Икс и OEIS: A033319 за у.)

Наименьшее решение уравнений Пелла

Ниже приводится список наименьшего решения (фундаментального решения) для ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$ с п ≤ 128. Для квадрата п, кроме (1, 0) решения нет. Ценности Икс последовательность A002350 и те из у последовательность A002349 в OEIS.

п	Икс	у
1	–	–
2	3	2
3	2	1
4	–	–
5	9	4
6	5	2
7	8	3
8	3	1
9	–	–
10	19	6
11	10	3
12	7	2
13	649	180
14	15	4
15	4	1
16	–	–
17	33	8
18	17	4
19	170	39
20	9	2
21	55	12
22	197	42
23	24	5
24	5	1
25	–	–
26	51	10
27	26	5
28	127	24
29	9801	1820
30	11	2
31	1520	273
32	17	3

п	Икс	у
33	23	4
34	35	6
35	6	1
36	–	–
37	73	12
38	37	6
39	25	4
40	19	3
41	2049	320
42	13	2
43	3482	531
44	199	30
45	161	24
46	24335	3588
47	48	7
48	7	1
49	–	–
50	99	14
51	50	7
52	649	90
53	66249	9100
54	485	66
55	89	12
56	15	2
57	151	20
58	19603	2574
59	530	69
60	31	4
61	1766319049	226153980
62	63	8
63	8	1
64	–	–

п	Икс	у
65	129	16
66	65	8
67	48842	5967
68	33	4
69	7775	936
70	251	30
71	3480	413
72	17	2
73	2281249	267000
74	3699	430
75	26	3
76	57799	6630
77	351	40
78	53	6
79	80	9
80	9	1
81	–	–
82	163	18
83	82	9
84	55	6
85	285769	30996
86	10405	1122
87	28	3
88	197	21
89	500001	53000
90	19	2
91	1574	165
92	1151	120
93	12151	1260
94	2143295	221064
95	39	4
96	49	5

п	Икс	у
97	62809633	6377352
98	99	10
99	10	1
100	–	–
101	201	20
102	101	10
103	227528	22419
104	51	5
105	41	4
106	32080051	3115890
107	962	93
108	1351	130
109	158070671986249	15140424455100
110	21	2
111	295	28
112	127	12
113	1204353	113296
114	1025	96
115	1126	105
116	9801	910
117	649	60
118	306917	28254
119	120	11
120	11	1
121	–	–
122	243	22
123	122	11
124	4620799	414960
125	930249	83204
126	449	40
127	4730624	419775
128	577	51

Подключения

Уравнение Пелла связано с несколькими другими важными математическими предметами.

Алгебраическая теория чисел

Уравнение Пелля тесно связано с теорией алгебраические числа, как формула

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=(x+y{\sqrt {n}})(x-y{\sqrt {n}})}$

это норма для звенеть ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$ и для тесно связанных квадратичное поле ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {n}})}$. Таким образом, пара целых чисел ${\displaystyle (x,y)}$ решает уравнение Пелла тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x+y{\sqrt {n}}}$ это единица измерения с нормой 1 в ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$.^[21] Теорема Дирихле о единицах, что все единицы ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$ можно выразить как степень одного основная единица (и умножение на знак), является алгебраическим подтверждением того факта, что все решения уравнения Пелля могут быть получены из фундаментального решения.^[22] Фундаментальная единица, как правило, может быть найдена путем решения уравнения, подобного Пеллу, но она не всегда напрямую соответствует фундаментальному решению самого уравнения Пелля, поскольку основная единица может иметь норму -1, а не 1, а ее коэффициенты могут быть половинными целыми числами. а не целые числа.

Полиномы Чебышева

Демейер упоминает связь между уравнением Пелла и Полиномы Чебышева:Если Т_я (Икс) и U_я (Икс) являются многочленами Чебышева первого и второго рода соответственно, то эти многочлены удовлетворяют форме уравнения Пелля в любом кольцо многочленов р[Икс], с п = Икс² − 1:^[23]

${\displaystyle T_{i}^{2}-(x^{2}-1)U_{i-1}^{2}=1.}$

Таким образом, эти полиномы могут быть сгенерированы стандартной техникой для уравнений Пелля взятия степеней фундаментального решения:

${\displaystyle T_{i}+U_{i-1}{\sqrt {x^{2}-1}}=(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{i}.}$

Далее можно заметить, что если (Икс_я,у_я) являются решениями любого целочисленного уравнения Пелла, то Икс_я = Т_я (Икс₁) и у_я = у₁U_я − 1(Икс₁).^[24]

Непрерывные дроби

Общее развитие решений уравнения Пелля. ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=1}$ с точки зрения непрерывные дроби из ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ можно представить, как решения Икс и у приближаются к квадратному корню из п и, таким образом, являются частным случаем приближений цепной дроби для квадратичные иррациональные числа.^[16]

Связь с непрерывными дробями подразумевает, что решения уравнения Пелла образуют полугруппа подмножество модульная группа. Так, например, если п и q удовлетворяют уравнению Пелла, то

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\nq&p\end{pmatrix}}}$

матрица единицы детерминант. Произведения таких матриц принимают точно такую ​​же форму, и поэтому все такие произведения дают решения уравнения Пелла. Частично это можно понять из того факта, что последовательные подходящие дроби непрерывной дроби обладают одним и тем же свойством: если п_k−1/q_k−1 и п_k/q_k две последовательные дроби непрерывной дроби, то матрица

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{k-1}&p_{k}\\q_{k-1}&q_{k}\end{pmatrix}}}$

имеет определитель (−1)^k.

Гладкие числа

Теорема Стёрмера применяет уравнения Пелла, чтобы найти пары последовательных гладкие числа, целые положительные числа, все простые множители которых меньше заданного значения.^[25][26] В рамках этой теории Стёрмер также исследовал отношения делимости между решениями уравнения Пелла; в частности, он показал, что каждое решение, кроме фундаментального, имеет главный фактор что не разделяетп.^[25]

Отрицательное уравнение Пелла

Отрицательное уравнение Пелла дается формулой

${\displaystyle x^{2}-ny^{2}=-1.}$

Это также было тщательно изучено; оно может быть решено тем же методом непрерывных дробей и будет иметь решения тогда и только тогда, когда период непрерывной дроби имеет нечетную длину. Однако неизвестно, какие корни имеют нечетную длину периода и, следовательно, неизвестно, когда отрицательное уравнение Пелла разрешимо. Необходимым (но не достаточным) условием разрешимости является выполнение п не делится на 4 или на простое число формы 4k + 3.^{[заметка 3]} Так, например, Икс² − 3нью-йорк² = −1 никогда не разрешимо, но Икс² − 5нью-йорк² = −1 может быть.^[27]

Первые несколько чисел п для которого Икс² − нью-йорк² = −1 разрешимы

1, 2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 37, 41, 50, 53, 58, 61, 65, 73, 74, 82, 85, 89, 97, ... (последовательность A031396 в OEIS ).

Доля бесквадратных п делится на k простые числа вида 4м +1, для которого разрешимо отрицательное уравнение Пелла, составляет не менее 40%.^[28] Если отрицательное уравнение Пелла действительно имеет решение для определенного п, его фундаментальное решение приводит к фундаментальному решению для положительного случая, возводя в квадрат обе части определяющего уравнения:

${\displaystyle (x^{2}-ny^{2})^{2}=(-1)^{2}}$

подразумевает

${\displaystyle (x^{2}+ny^{2})^{2}-n(2xy)^{2}=1.}$

Как указано выше, если отрицательное уравнение Пелла разрешимо, решение может быть найдено с использованием метода непрерывных дробей, как в положительном уравнении Пелла. Однако отношение рекурсии работает несколько иначе. С ${\displaystyle (x+{\sqrt {n}}y)(x-{\sqrt {n}}y)=-1}$, следующее решение определяется через ${\displaystyle \imath (x_{k}+{\sqrt {n}}y_{k})=(\imath (x+{\sqrt {n}}y))^{k}}$ всякий раз, когда есть совпадение, т.е. когда k нечетно. В результате получается рекурсивное соотношение (по модулю знака минус, который несущественен из-за квадратичной природы уравнения)

${\displaystyle x_{k}=x_{k-2}x_{1}^{2}+nx_{k-2}y_{1}^{2}+2ny_{k-2}y_{1}x_{1}}$

${\displaystyle y_{k}=y_{k-2}x_{1}^{2}+ny_{k-2}y_{1}^{2}+2x_{k-2}y_{1}x_{1}}$

что дает бесконечную башню решений отрицательного уравнения Пелля.

Обобщенное уравнение Пелла

Уравнение

${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=N}$

называется обобщенный^{[нужна цитата ]} (или же Общее^[16]) Уравнение Пелла. Уравнение ${\displaystyle u^{2}-dv^{2}=1}$ соответствующий Резольвента Пелля.^[16] Рекурсивный алгоритм был дан Лагранжем в 1768 году для решения уравнения, сводя проблему к случаю ${\displaystyle \left\vert N\right\vert <{\sqrt {d}}}$.^[29][30] Такие решения могут быть получены с использованием метода непрерывных дробей, как описано выше.

Если ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ это решение ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=N}$ и ${\displaystyle (u_{n},v_{n})}$ это решение ${\displaystyle u^{2}-dv^{2}=1}$ тогда ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$ такой, что ${\displaystyle x_{n}+y_{n}{\sqrt {d}}=(x_{0}+y_{0}{\sqrt {d}})(u_{n}+v_{n}{\sqrt {d}})}$ это решение ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=N}$, принцип, названный мультипликативный принцип.^[16]

Решения обобщенного уравнения Пелля используются для решения некоторых Диофантовы уравнения и единицы определенных кольца,^[31][32] и они возникают при изучении SIC-POVMs в квантовая теория информации.^[33]

Уравнение

${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}$

похож на резольвенту ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=1}$ в том, что если минимальное решение ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}$ можно найти, то все решения уравнения могут быть сгенерированы аналогично случаю ${\displaystyle N=1}$. Для некоторых ${\displaystyle d}$, решения ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=1}$ могут быть созданы из тех, у кого ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}$, в том, что если ${\displaystyle d\equiv 5{\pmod {8}}}$ затем каждое третье решение ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=4}$ имеет х, у даже, создавая решение ${\displaystyle x^{2}-dy^{2}=1}$.^[16]

Примечания

1. У Эйлера Vollständige Anleitung zur Algebra (стр. 227 и далее), он представляет решение уравнения Пелла, взятое из книги Джона Уоллиса. Commercium epistolicum, в частности, Письмо 17 (Эпистола XVII) и Письмо 19 (Эпистола XIX) из:
   • Уоллис, Джон, изд. (1658). Commercium epistolicum, de Quaestionibus quibusdam Mathematicis nuper Gabbusum [Переписка о некоторых недавно проведенных математических исследованиях.] (на английском, латинском и французском языках). Оксфорд, Англия: А. Личфилд. Буквы на латинице. Письмо 17 появляется на стр. 56–72. Письмо 19 появляется на стр. 81–91.
   • Французские переводы писем Уоллиса: Ферма, Пьер де (1896). Кожевник, Пол; Генри, Чарльз (ред.). Oeuvres de Fermat (на французском и латыни). 3-й т. Париж, Франция: Gauthier-Villars et fils. Письмо 17 появляется на стр. 457–480. Письмо 19 появляется на стр. 490–503.
   Письма Уоллиса, показывающие решение уравнения Пелла, также появляются во 2 томе Уоллиса. Опера математика (1693), который включает статьи Джона Пелла:
   • Уоллис, Джон (1693). Opera Mathematica: de Algebra Tractatus; Historicus и Practicus [Математические труды: Трактат по алгебре; исторические и действующие в настоящее время] (на латинском, английском и французском языках). 2-й т. Оксфорд, Англия. Письмо 17 на стр. 789–798; письмо 19 на стр. 802–806. Также статьи Пелла, в которых упоминается Уоллис (стр.235, 236, 244), что методы Пелла применимы к решению диофантовых уравнений:

   • Де Алгебра Д. Иоганнис Пелли; & speciatim de Problematis imperfecteterminatis. (Об алгебре доктора Джона Пелла и особенно о не полностью определенной проблеме), стр. 234–236.
   • Methodi Pellianae Образец. (Пример метода Пелла), стр. 238–244.
   • Экземпляр aliud Methodi Pellianae. (Другой пример метода Пелла), стр. 244–246.

   Смотрите также:
   • Уитфорд, Эдвард Эверетт (1912) "Уравнение Пелла", докторская диссертация, Колумбийский университет (Нью-Йорк, Нью-Йорк, США), п. 52.
   • Хит, Томас Л. (1910). Диофант Александрийский: исследование по истории греческой алгебры. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. п. 286.
2. Teutsch это устаревшая форма Deutsch, что означает «немецкий». Бесплатная электронная книга: Тойческая алгебра (Google Книги)
3. Это потому, что уравнение Пелла подразумевает, что −1 является квадратичный вычет по модулю п.

Рекомендации

1. О'Коннор, Дж. Дж .; Робертсон, Э. Ф. (февраль 2002 г.). «Уравнение Пелла». Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия. Получено 13 июля 2020.
2. Данэм, Уильям. «Теория чисел - теория чисел на Востоке». Энциклопедия Британника. Получено 4 января 2020.
3. Еще в 1732–1733 годах Эйлер считал, что Джон Пелл разработал метод решения уравнения Пелла, хотя Эйлер знал, что Уоллис разработал метод его решения (хотя на самом деле большую часть работы проделал Уильям Броункер):
   • Эйлер, Леонард (1732–1733). "De solutione problematum Diophantaeorum per numeros integros" [О решении диофантовых задач целыми числами]. Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (Воспоминания Императорской Академии наук в Санкт-Петербурге). 6: 175–188. С п. 182: "В Си а huiusmodi fuerit numerus, qui nullo modo ad illas Formulas potest reduci, specificis ad invenienda п et q adhibenda est methodus, qua olim iam usi sunt Пеллий et Ферматиус." (Но если такой а быть числом, которое никак не может быть сведено к этим формулам, конкретный метод нахождения п и q применяется который Пелл и Ферма уже какое-то время привыкли.) С п. 183: "§. 19. Methodus haec extat descripta in operibus Wallisii, et hanc ob rem eam hic fusius non-expono. " (§ 19. Этот метод существует, описанный в работах Уоллиса, и по этой причине я не представляю его здесь более подробно.)
   • Lettre IX. Euler à Goldbach от 10 августа 1750 г. в: Фасс, П.Х., изд. (1843). Соответствие Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle… [Математическое и физическое соответствие некоторых известных геометров 18 века…] (на французском, латинском и немецком языках). Санкт-Петербург, Россия. п. 37. Со страницы 37: "Pro hujusmodi quaestionibus resolndis excogitavit D. Pell Anglus peculiarem methodum в Wallisii operibus expositam". (Для решения таких вопросов англичанин доктор Пелл разработал особый метод, [который] показан в работах Уоллиса.)
   • Эйлер, Леонард (1771). Vollständige Anleitung zur Algebra, II. Тейл [Полное введение в алгебру, часть 2] (на немецком). Kayserlichen Akademie der Wissenschaften (Императорская Академия наук): Санкт-Петербург, Россия. п. 227. С п. 227: "§98. Hierzu hat vormals ein gelehrter Engländer, Namens Pell, eine ganz sinnreiche Methode erfunden, welche wir hier erklären wollen." (§.98 Что касается этого, ученый англичанин по имени Пелл ранее нашел довольно гениальный метод, который мы объясним здесь.)
   • Английский перевод: Эйлер, Леонард (1810). Элементы алгебры…. 2-й т. (2-е изд.). Лондон, Англия: Дж. Джонсон. п. 78.
   • Хит, Томас Л. (1910). Диофант Александрийский: исследование по истории греческой алгебры. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета. п. 286. См. Особенно сноску 4.
4. Таттерсолл, Джеймс (2000). «Элементарная теория чисел в девяти главах» (PDF). Выбор обзоров в Интернете. Кембридж. 37 (10): 274. Дои:10.5860 / выбор.37-5721. S2CID  118948378.
5. Кнорр, Уилбур Р. (1976), «Архимед и измерение круга: новая интерпретация», Архив истории точных наук, 15 (2): 115–140, Дои:10.1007 / bf00348496, МИСТЕР  0497462, S2CID  120954547.
6. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., "Баудхаяна", Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
7. Варди, И. (1998). «Проблема архимеда о скоте». Американский математический ежемесячный журнал. Математическая ассоциация Америки. 105 (4): pp. 305–319. CiteSeerX  10.1.1.33.4288. Дои:10.2307/2589706. JSTOR  2589706.
8. Фрейзер, Питер М. (1972). Птолемеевская Александрия. Издательство Оксфордского университета.
9. Вайль, Андре (1972). Теория чисел, исторический подход. Birkhäuser.
10. Изади, Фарзали (2015). «Конгруэнтные числа через уравнение Пелла и его аналог» (PDF). Заметки по теории чисел и дискретной математике. 21: 70–78.
11. Джон Стиллвелл (2002), Математика и ее история (2-е изд.), Springer, стр. 72–76, ISBN  978-0-387-95336-6
12. В феврале 1657 года Пьер де Ферма написал два письма об уравнении Пелля. Одно письмо (на французском) было адресовано Бернару Френклю де Бесси, а другое (на латыни) было адресовано Кенелму Дигби, которому оно было доставлено через Томаса Уайта, а затем Уильяма Браункера.
    • Ферма, Пьер де (1894). Кожевник, Пол; Генри, Чарльз (ред.). Oeuvres de Fermat (на французском и латыни). 2-й т. Париж, Франция: Gauthier-Villars et fils. С. 333–335. Письмо к Френклю появляется на стр. 333–334; письмо Дигби, стр. 334–335.
    Письмо Дигби на латыни переводится на французский язык:
    • Ферма, Пьер де (1896). Кожевник, Пол; Генри, Чарльз (ред.). Oeuvres de Fermat (на французском и латыни). 3-й т. Париж, Франция: Gauthier-Villars et fils. С. 312–313.
    Оба письма переведены (частично) на английский язык на:
    • Струик, Дирк Ян, изд. (1986). Справочник по математике, 1200–1800 гг.. Принстон, Нью-Джерси, США: Princeton University Press. С. 29–30. ISBN  9781400858002.
13. В январе 1658 г., в конце Эпистола XIX (письмо 19) Уоллис горячо поздравил Браункера с его победой в битве умов против Ферма относительно решения уравнения Пелла. С п. 807 из (Wallis, 1693): "Et quidem cum Vir Nobilissimus, utut hac sibi suisque tam specificia putaverit, & altis impervia, (quippe non omnis fert omnia tellus) ut ab Anglis haud speraverit solutionem; profiteatur tamen qu'il sera pourtant ravi d'estre destrompé par cet ingenieux & scavant Signieur; erit cur & ipse tibi gratuletur. Me quod attinet, humillimas est quod Rependam gratias, quod in Victoriae tuae partem seek dignatus es,… " (И действительно, благороднейший сэр [то есть виконт Браункер], он [то есть Ферма] мог подумать [иметь] все в себе такой эзотерический [предмет, то есть уравнение Пелла] с его непостижимой глубиной (ибо вся земля не несет всего [т.е. не каждая нация может преуспеть во всем]), так что вряд ли он ожидал решения от англичан; тем не менее, он признает что он, однако, будет взволнован тем, что этот гениальный и ученый Господь разубедит его. [т.е. Браункер]; Именно по этой причине он [то есть Ферма] сам вас поздравит. Что касается себя, то выражаю смиренную благодарность за то, что вы соизволили призвать меня принять участие в вашей Победе…) [Примечание: дата в конце письма Уоллиса - «20 января 1657 года»; однако эта дата соответствовала старому юлианскому календарю, который Британия окончательно выброшен в 1752 г.: большая часть остальной Европы сочла бы эту дату 31 января 1658 года. Даты старого и нового стилей # Транспонирование дат исторических событий и возможные конфликты дат )
14. Ран, Иоганн Генрих (1668) [1659], Бранкер, Томас; Пелл (ред.), Введение в алгебру
15. "Solution d'un Problème d'Arithmétique", в Джозеф Альфред Серре (Ред.), Uvres de Lagrange, т. 1. С. 671–731, 1867.
16. Андрееску, Титу; Андрица, Дорин (2015). Квадратичные диофантовы уравнения. Нью-Йорк: Springer. ISBN  978-0-387-35156-8.
17. Ленстра, Х. В., мл. (2002), «Решение уравнения Пелла» (PDF), Уведомления Американского математического общества, 49 (2): 182–192, МИСТЕР  1875156
18. Халлгрен, Шон (2007), "Полиномиальные квантовые алгоритмы для уравнения Пелла и проблема главного идеала", Журнал ACM, 54 (1): 1–19, Дои:10.1145/1206035.1206039, S2CID  948064
19. Schmidt, A .; Фёльмер, У. (2005), «Квантовый алгоритм с полиномиальным временем для вычисления группы единиц числового поля» (PDF), Материалы тридцать седьмого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений - STOC '05, Нью-Йорк: ACM, Симпозиум по теории вычислений, стр. 475–480, CiteSeerX  10.1.1.420.6344, Дои:10.1145/1060590.1060661, ISBN  1581139608, S2CID  6654142
20. Prime Curios !: 313
21. Кларк, Пит. "Уравнение Пелла" (PDF). Университет Джорджии.
22. Конрад, Кит. "Теорема Дирихле о единицах" (PDF). Получено 14 июля 2020.
23. Демейер, Джерун (2007), Диофантовы множества над кольцами многочленов и десятая проблема Гильберта для функциональных полей (PDF), Кандидатская диссертация, Universiteit Gent, п. 70, заархивировано из оригинал (PDF) 2 июля 2007 г., получено 27 февраля 2009
24. Барбо, Эдвард Дж. (2003), Уравнение Пелла, Сборники задач по математике, Springer-Verlag, pp. Ch. 3, ISBN  0-387-95529-1, МИСТЕР  1949691
25. Стёрмер, Карл (1897). "Quelques théorèmes sur l'équation de Pell" ${\displaystyle x^{2}-Dy^{2}=\pm 1}$ и другие приложения ". Скрифтер Виденскабс-сельскабет (Христиания), Мат.-Натурв. Kl. я (2).
26. Лемер, Д. Х. (1964). «К проблеме Стёрмера». Иллинойсский журнал математики. 8: 57–79. Дои:10.1215 / ijm / 1256067456. МИСТЕР  0158849.
27. Ван, Цзяци; Цай, Лиде (декабрь 2013 г.). «Разрешимость отрицательного уравнения Пелла» (PDF). Колледж Цинхуа: 5–6.
28. Кремона, Джон Э .; Одони, Р. В. К. (1989), "Некоторые результаты плотности для отрицательных уравнений Пелла; применение теории графов", Журнал Лондонского математического общества, Вторая серия, 39 (1): 16–28, Дои:10.1112 / jlms / s2-39.1.16, ISSN  0024-6107
29. Лагранж, Жозеф-Луи (1736–1813) Автор текстов (1867–1892). Oeuvres de Lagrange. Т. 2 / publiées par les soins de M. J.-A. Серре [и Г. Дарбу]; [précédé d'une notice sur la vie et les ouvrages de J.-L. Лагранж, М. Деламбр].
30. Мэтьюз, Кит. «Диофантово уравнение x2 - Dy2 = N, D> 0» (PDF). Получено 20 июля 2020.
31. Бернштейн, Леон (1 октября 1975 г.). «Усеченные единицы в бесконечном числе полей алгебраических чисел степени 4». Mathematische Annalen. 213 (3): 275–279. Дои:10.1007 / BF01350876. ISSN  1432-1807. S2CID  121165073.
32. Бернштейн, Леон (1 марта 1974 г.). «О диофантовом уравнении x (x + d) (x + 2d) + y (y + d) (y + 2d) = z (z + d) (z + 2d)». Канадский математический бюллетень. 17 (1): 27–34. Дои:10.4153 / CMB-1974-005-5. ISSN  0008-4395.
33. Эпплби, Маркус; Flammia, Стивен; МакКоннелл, Гэри; Ярд, Джон (август 2017 г.). «SIC и теория алгебраических чисел». Основы физики. 47 (8): 1042–1059. arXiv:1701.05200. Bibcode:2017ФоФ ... 47.1042А. Дои:10.1007 / s10701-017-0090-7. ISSN  0015-9018. S2CID  119334103.

дальнейшее чтение

• Эдвардс, Гарольд М. (1996) [1977]. Последняя теорема Ферма: генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. Тексты для выпускников по математике. 50. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90230-9. МИСТЕР  0616635.
• Пинч, Р. Г. Э. (1988). «Одновременные уравнения Пеллиана». Математика. Proc. Cambridge Philos. Soc. 103 (1): 35–46. Bibcode:1988MPCPS.103 ... 35P. Дои:10.1017 / S0305004100064598.
• Уитфорд, Эдвард Эверетт (1912). «Уравнение Пелла» (Кандидатская диссертация). Колумбийский университет.
• Уильямс, Х.С. (2002). «Решение уравнения Пелла». В Bennett, M. A .; Берндт, Б.; Бостон, Н.; Diamond, H.G .; Hildebrand, A.J .; Филипп, W. (ред.). Обзоры по теории чисел: доклады тысячелетней конференции по теории чисел. Натик, Массачусетс: А. К. Питерс. С. 325–363. ISBN  1-56881-162-4. Zbl  1043.11027.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Пелла». MathWorld.
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., «Уравнение Пелла», Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
• Решатель уравнения Пелла (п не имеет верхнего предела)
• Решатель уравнения Пелла (п<10 ^ 10, также может возвращать решение для x ^ 2-ny ^ 2 = + -1, + -2, + -3 и + -4)