Теорема Стёрмерса - Størmers theorem

В теория чисел, Теорема Стёрмера, названный в честь Карл Стёрмер, дает конечную оценку количества следующих друг за другом пар гладкие числа которые существуют, для данной степени гладкости, и предоставляет метод для поиска всех таких пар, используя Уравнения Пелла. Это следует из Теорема Туэ – Зигеля – Рота. что существует только конечное число пар этого типа, но Стёрмер дал процедуру для их нахождения всех.^[1]

Заявление

Если выбрать конечный набор ${\displaystyle P=\{p_{1},p_{2},\dots p_{k}\}}$ из простые числа затем п-гладкие числа определяются как набор целых чисел

${\displaystyle \left\{p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdots p_{k}^{e_{k}}\mid e_{i}\in \{0,1,2,\ldots \}\right\}}$

которые могут быть получены произведением чисел в п. Тогда теорема Стёрмера утверждает, что при любом выборе п, существует лишь конечное число пар последовательных п-гладкие номера. Кроме того, он дает метод нахождения их всех с помощью уравнений Пелла.

Процедура

Первоначальная процедура Стёрмера включает решение примерно трех^k Уравнения Пелла, в каждом находим только наименьшее решение. Упрощенный вариант процедуры за счет Д. Х. Лемер,^[2] описано ниже; он решает меньше уравнений, но находит больше решений в каждом уравнении.

Позволять п быть заданным набором простых чисел, и определим число как п-гладкий если все его простые множители принадлежат п. Предполагать п₁ = 2; иначе не могло быть последовательных п-гладкие числа, потому что все п-гладкие числа будут нечетными. Метод Лемера предполагает решение уравнения Пелла

${\displaystyle x^{2}-2qy^{2}=1}$

для каждого п-гладкий бесквадратный номер q кроме 2. Каждое такое число q генерируется как продукт подмножества п, так что есть 2^k - 1 уравнение Пелла для решения. Для каждого такого уравнения пусть Икс_я, y_я - сгенерированные решения, для я в диапазоне от 1 до max (3, (п_k + 1) / 2) (включительно), где п_k является самым большим из простых чисел в п.

Тогда, как показывает Лемер, все последующие пары п-гладкие числа имеют вид (Икс_я − 1)/2, (Икс_я + 1) / 2. Таким образом, можно найти все такие пары, проверяя числа этой формы на п-гладкость.

Пример

Чтобы найти десять последовательных пар {2,3,5} -гладкие числа (в теория музыки, давая сверхчастичные отношения за просто тюнинг ) позволять п = {2,3,5}. Там семь п-гладкие числа без квадратов q (без восьмого п-гладкое бесквадратное число, 2): 1, 3, 5, 6, 10, 15 и 30, каждое из которых приводит к уравнению Пелла. Количество решений для каждого уравнения Пелла, требуемое методом Лемера, составляет max (3, (5 + 1) / 2) = 3, поэтому этот метод генерирует три решения для каждого уравнения Пелла, как показано ниже.

• За q = 1, первые три решения уравнения Пелла Икс² − 2у² = 1 - это (3,2), (17,12) и (99,70). Таким образом, для каждого из трех значений Икс_я = 3, 17 и 99, метод Лемера проверяет пару (Икс_я − 1)/2, (Икс_я + 1) / 2 для плавности; Тремя тестируемыми парами являются (1,2), (8,9) и (49,50). Оба (1,2) и (8,9) являются парами последовательных п-гладкие числа, но (49,50) нет, так как 49 имеет 7 в качестве простого множителя.
• За q = 3, первые три решения уравнения Пелла Икс² − 6у² = 1 - это (5,2), (49,20) и (485,198). Из трех ценностей Икс_я = 5, 49 и 485 Метод Лемера формирует три пары кандидатов последовательных чисел (Икс_я − 1)/2, (Икс_я + 1) / 2: (2,3), (24,25) и (242 243). Из них (2, 3) и (24, 25) являются парами последовательных п-гладкие числа, но (242 243) нет.
• За q = 5, первые три решения уравнения Пелла Икс² − 10у² = 1 - это (19,6), (721,228) и (27379,8658). Решение Пелля (19,6) приводит к паре последовательных п-гладкие числа (9,10); два других решения уравнения Пелла не приводят к п-гладкие пары.
• За q = 6, первые три решения уравнения Пелла Икс² − 12у² = 1 - это (7,2), (97,28) и (1351,390). Решение Пелла (7,2) приводит к паре последовательных п-гладкие числа (3,4).
• За q = 10, первые три решения уравнения Пелла Икс² − 20у² = 1 - это (9,2), (161,36) и (2889,646). Решение Пелла (9,2) приводит к паре последовательных п-гладкие числа (4,5) и решение Пелла (161,36) приводят к паре последовательных п-гладкие числа (80,81).
• За q = 15, первые три решения уравнения Пелла Икс² − 30у² = 1 - это (11,2), (241,44) и (5291,966). Решение Пелля (11,2) приводит к паре последовательных п-гладкие числа (5,6).
• За q = 30, первые три решения уравнения Пелла Икс² − 60у² = 1 - это (31,4), (1921,248) и (119071,15372). Решение Пелла (31,4) приводит к паре последовательных п-гладкие числа (15,16).

Подсчет решений

Исходный результат Стёрмера можно использовать, чтобы показать, что количество последовательных пар целых чисел, гладких по отношению к набору k простые числа не более 3^k − 2^k. Результат Лемера дает более точную оценку для наборов малых простых чисел: (2^k - 1) × макс (3, (п_k+1)/2).^[2]

Количество последовательных пар целых чисел, гладких по отношению к первому. k простые числа

1, 4, 10, 23, 40, 68, 108, 167, 241, 345, ... (последовательность A002071 в OEIS ).

Наибольшее целое число из всех этих пар для каждого k, является

2, 9, 81, 4375, 9801, 123201, 336141, 11859211, ... (последовательность A117581 в OEIS ).

В OEIS также указано количество пар этого типа, в которых большее из двух целых чисел в паре является квадратом (последовательность A117582 в OEIS ) или же треугольный (последовательность A117583 в OEIS ), так как оба типа пар возникают часто.

Обобщения и приложения

Луи Морделл написал об этом результате, сказав, что он «очень красивый, и есть много его применений».^[3]

По математике

Chein (1976) использовал метод Стёрмера, чтобы доказать Гипотеза Каталана об отсутствии последовательных совершенные силы (кроме 8,9) в случае, когда одна из двух степеней является квадрат.

Мабхаут (1993) доказал, что каждое число Икс⁴ +1, для Икс > 3, имеет простой множитель, больший или равный 137. Теорема Стёрмера является важной частью его доказательства, в котором он сводит проблему к решению 128 уравнений Пелла.

Несколько авторов расширили работу Стёрмера, предоставив методы перечисления решений для более общих диофантовы уравнения, или предоставив более общие делимость критерии решений уравнений Пелла.^[4]

Конри, Холмстром и Маклафлин (2013) описывают вычислительную процедуру, которая эмпирически находит многие, но не все последовательные пары гладких чисел, описываемых теоремой Стёрмера, и выполняется намного быстрее, чем использование уравнения Пелла для поиска всех решений.

В теории музыки

В музыкальной практике просто интонация музыкальные интервалы можно описать как отношения между положительными целыми числами. Более конкретно, их можно описать как отношения между членами гармонический ряд. Любой музыкальный тон можно разделить на его основную частоту и гармонические частоты, которые кратны основной частоте. Предполагается, что эта серия является основой естественной гармонии и мелодии. Говорят, что тональная сложность отношений между этими гармониками становится более сложной с более высокими простыми множителями. Чтобы ограничить эту тональную сложность, интервал называется п-предел когда числитель и знаменатель равны п-гладкий.^[5] Более того, сверхчастичные отношения очень важны только в теории настройки, так как они представляют собой отношения между соседними членами гармонического ряда.^[6]

Теорема Стёрмера позволяет найти все возможные сверхчастичные отношения в заданном пределе. Например, в 3-пределе (Пифагорейский тюнинг ), единственными возможными суперпар частичными отношениями являются 2/1 ( октава ), 3/2 ( идеальный пятый ), 4/3 ( идеальный четвертый ) и 9/8 ( весь шаг ). То есть единственными парами последовательных целых чисел, которые имеют только степени двойки и тройки в их простых факторизациях, являются (1,2), (2,3), (3,4) и (8,9). Если его расширить до 5-го предела, будут доступны шесть дополнительных суперчастичных соотношений: 5/4 ( большая треть ), 6/5 ( второстепенная треть ), 10/9 ( второстепенный тон ), 16/15 ( второстепенная секунда ), 25/24 ( минорный полутон ) и 81/80 ( синтоническая запятая ). Все они музыкально значимы.

Примечания

1. Стёрмер (1897).
2. Лемер (1964).
3. Как цитирует Чепмен (1958).
4. В частности см. Цао (1991), Ло (1991), Мэй и Солнце (1997), Солнце и Юань (1989), и Уокер (1967).
5. Партч (1974).
6. Холзи и Хьюитт (1972).

Рекомендации

• Цао, Чжэнь Фу (1991). «О диофантовом уравнении (топор^м - 1)/(abx-1) = к²". Chinese Sci. Бык. 36 (4): 275–278. МИСТЕР  1138803.
• Чепмен, Сидней (1958). «Фредрик Карл Мулертц Штормер, 1874–1957». Биографические воспоминания членов Королевского общества. 4: 257–279. Дои:10.1098 / рсбм.1958.0021. JSTOR  769515.
• Чейн, Э. З. (1976). "Примечание к уравнению Икс² = у^q + 1". Труды Американского математического общества. 56 (1): 83–84. Дои:10.2307/2041579. JSTOR  2041579. МИСТЕР  0404133.
• Conrey, J. B .; Holmstrom, M. A .; Маклафлин, Т. Л. (2013). «Ровные соседи». Экспериментальная математика. 22 (2): 195–202. arXiv:1212.5161. Дои:10.1080/10586458.2013.768483. МИСТЕР  3047912.
• Halsey, G.D .; Хьюитт, Эдвин (1972). «Еще о сверхчастичных соотношениях в музыке». Американский математический ежемесячный журнал. 79 (10): 1096–1100. Дои:10.2307/2317424. JSTOR  2317424. МИСТЕР  0313189.
• Лемер, Д. Х. (1964). «К проблеме Стёрмера». Иллинойсский журнал математики. 8: 57–79. Дои:10.1215 / ijm / 1256067456. МИСТЕР  0158849.
• Ло, Цзя Гуй (1991). «Обобщение теоремы Штермера и некоторые приложения». Сычуань Дасюэ Сюэбао. 28 (4): 469–474. МИСТЕР  1148835.
• Мабхут, М. (1993). "Минорация де п(Икс⁴+1)". Ренд. Сем. Фак. Sci. Univ. Кальяри. 63 (2): 135–148. МИСТЕР  1319302.
• Мэй, Хан Фэй; Сунь, Шэн Фанг (1997). «Дальнейшее расширение теоремы Штёрмера». Журнал Университета Цзишоу (издание по естествознанию) (на китайском языке). 18 (3): 42–44. МИСТЕР  1490505.
• Партч, Гарри (1974). Генезис музыки: отчет о творчестве, его корнях и свершениях (2-е изд.). Нью-Йорк: Da Capo Press. п.73. ISBN  0-306-71597-X.
• Стёрмер, Карл (1897). "Quelques théorèmes sur l'équation de Pell" ${\displaystyle x^{2}-Dy^{2}=\pm 1}$ и другие приложения ". Скрифтер Виденскабс-сельскабет (Христиания), Мат.-Натурв. Kl. я (2).
• Солнце, Ци; Юань, Пин Чжи (1989). "О диофантовых уравнениях ${\displaystyle (ax^{n}-1)/(ax-1)=y^{2}}$ и ${\displaystyle (ax^{n}+1)/(ax+1)=y^{2}}$". Сычуань Дасюэ Сюэбао. 26: 20–24. МИСТЕР  1059671.
• Уокер, Д. Т. (1967). "О диофантовом уравнении mX² - н-й² = ±1". Американский математический ежемесячный журнал. 74 (5): 504–513. Дои:10.2307/2314877. JSTOR  2314877. МИСТЕР  0211954.