Бхаскара II - Bhāskara II

Бхаскара II
Бхаскара II
Родившийся	c. 1114 г. н.э.; Bijjaragi или Chalisgaon
Умер	c. 1185 г. н.э.; Удджайн
Другие имена	Бхаскарачарья
Академическое образование
Академическая работа
Эра	Шака эпохи
Дисциплина	Математик
Основные интересы	Алгебра, Исчисление, Арифметика, Тригонометрия
Известные работы	Сиддханта Широмани (Лилавати, Bījagaita, Грахагатита и Golādhyāya) , Карага-Каутухала

Доказательство теоремы Пифагора, Бхаскара.

Бхаскара (ок. 1114–1185), также известный как Бхаскарачарья («Бхаскара, учитель»), и как Бхаскара II чтобы избежать путаницы с Бхаскара I, был Индийский математик и астроном. Он родился в Биджапур в Карнатака.^[1]

Бхаскара был руководителем космической обсерватории в Удджайн, главный математический центр древних Индия.^[2] Бхаскара и его работы представляют собой значительный вклад в математические и астрономические знания 12 века. Его называли величайшим математиком средневековой Индии.^[3] Его основная работа Сиддханта-Широмани, (санскрит за "Корона трактатов")^[4] делится на четыре части, называемые Лилавати, Bījagaita, Grahagaita и Голадхьяя,^[5] которые также иногда считаются четырьмя независимыми произведениями.^[6] Эти четыре раздела посвящены арифметике, алгебре, математике планет и сфер соответственно. Он также написал другой трактат под названием Карана Каутухала.^[6]

Работа Бхаскары над исчисление предшествует Ньютон и Лейбниц более чем на полтысячелетия.^[7]^[8] Он особенно известен открытием принципов дифференциального исчисления и его применения к астрономическим задачам и вычислениям. Хотя Ньютону и Лейбницу приписывают дифференциальное и интегральное исчисление, есть веские основания полагать, что Бхаскара был пионером в некоторых принципах дифференциального исчисления. Возможно, он был первым, кто придумал дифференциальный коэффициент и дифференциальное исчисление.^[9]

20 ноября 1981 г. Индийская организация космических исследований (ISRO) запустил Спутник Бхаскара II в честь математика и астронома.^[10]

Дата, место и семья

Бхаскара указывает дату своего рождения и дату составления своего основного произведения в стихе в Ryā метр:^[6]

раса-гуна-порна-махисама
шака-нṛпа самайе 'бхават мамотпаттиḥ /
раса-гуна-варшена майа
сиддханта-широмани раситах //

Это показывает, что он родился в 1036 г. Шака эпохи (1114 CE ), недалеко от Виджядавиды (считается Bijjaragi Виджаяпура в современном Карнатака, и что он составил Сиддханта-Широмани когда ему было 36 лет.^[6] Он также написал другую работу под названием Карана-кутухала когда ему было 69 (в 1183 г.).^[6] Его работы показывают влияние Брахмагупта, Шридхара, Махавира, Падманабха и другие предшественники.^[6]

Бхаскара, как говорят, был главой астрономический обсерватория в Удджайн, ведущий математический центр средневековой Индии. Он жил в Сахьядри регион (Патнадеви, в районе Джалгаон, Махараштра).^[11]

История свидетельствует о том, что его прапрапрадедушка занимал потомственный пост придворного ученого, как и его сын и другие потомки. Его отец Махешвара^[11] (Махешваропадхьяйа^[6]) был математиком, астрономом^[6] и астролог, который научил его математике, которую он позже передал своему сыну Локшамудре. Сын Локшамудры в 1207 году помог открыть школу для изучения писаний Бхаскары. Он умер в 1185 году нашей эры.

В Сиддханта-Широмани

Лилавати

Первый раздел Лилавати (также известен как pāṭīgaṇita или Akagaita), названный в честь его дочери, состоит из 277 стихов.^[6] Он охватывает расчеты, прогрессии, измерение, перестановки и другие темы.^[6]

Биджаганита

Второй раздел Bījagaita(Алгебра) 213 стихов.^[6] В нем обсуждаются ноль, бесконечность, положительные и отрицательные числа, а также неопределенные уравнения, включая (теперь называемые) Уравнение Пелла, решая его с помощью Kuaka метод.^[6] В частности, он также решил ${ displaystyle 61x ^ {2} + 1 = y ^ {2}}$ дело, которое должно было ускользнуть Ферма и его европейские современники столетия спустя.^[6]

Grahaganita

В третьем разделе Grahagaitaрассматривая движение планет, он учитывал их мгновенные скорости.^[6] Он пришел к приближению:^[12] Состоит из 451 стиха.

{ Displaystyle грех у '- грех у приблизительно (у'-у) соз у}

за

{ displaystyle y '}

рядом с

{ displaystyle y}

, или в современных обозначениях:^[12]

{ displaystyle { frac {d} {dy}} sin y = cos y}

.

По его словам:^[12]

бимбардхасйа коṭиджйā гунастриджйахарам пхалам дорджйайорантарам

Этот результат ранее также наблюдал Мунджалачарья (или Манджулачарья) манасамв контексте таблицы синусов.^[12]

Бхаскара также заявил, что в наивысшей точке мгновенная скорость планеты равна нулю.^[12]

Математика

Некоторые из вкладов Бхаскары в математику включают следующее:

Доказательство теорема Пифагора вычисляя то же самое площадь двумя разными способами, а затем отмените условия, чтобы получить а² + б² = c².^[13]
В Лилавати, решения квадратичный, кубический и квартика неопределенные уравнения объяснены.^[14]
Решения неопределенных квадратных уравнений (типа топор² + б = у²).
Целочисленные решения линейных и квадратных неопределенных уравнений (Kuṭṭaka ). Правила, которые он дает, (по сути) те же, что и правила, данные эпоха Возрождения Европейские математики 17 века
Циклический Метод чакравалы для решения неопределенных уравнений вида топор² + bx + c = у. Решение этого уравнения традиционно приписывалось Уильяму Браункеру в 1657 году, хотя его метод был сложнее, чем метод. чакравала метод.
Первый общий метод поиска решения проблемы Икс² − нью-йорк² = 1 (так называемый "Уравнение Пелла ") был дан Бхаскарой II.^[15]
Решения Диофантовы уравнения второго порядка, например 61Икс² + 1 = у². Именно это уравнение было поставлено в качестве проблемы в 1657 г. Французский математик Пьер де Ферма, но ее решение было неизвестно в Европе до времен Эйлер в 18 веке.^[14]
Решил квадратные уравнения с более чем одним неизвестным и нашел отрицательный и иррациональный решения.^{[нужна цитата ]}
Предварительная концепция математический анализ.
Предварительная концепция бесконечно малый исчисление, наряду с заметным вкладом в интегральное исчисление.^[16]
Задуманный дифференциальное исчисление, обнаружив приближение производная и дифференциал коэффициент.
Заявлено Теорема Ролля, частный случай одной из важнейших теорем анализа, теорема о среднем значении. Следы общей теоремы о среднем также можно найти в его работах.
Вычислял производные тригонометрических функций и формул. (См. Раздел «Исчисление» ниже.)
В Сиддханта-Широмани, Бхаскара разработал сферическая тригонометрия наряду с рядом других тригонометрический полученные результаты. (См. Раздел «Тригонометрия» ниже.)

Арифметика

Бхаскара арифметика текст Лилавати охватывает темы определений, арифметических терминов, вычисления процентов, арифметических и геометрических прогрессий, плоская геометрия, сплошная геометрия, тень гномон, методы решения неопределенный уравнения и комбинации.

Лилавати разделен на 13 глав и охватывает многие разделы математики, арифметики, алгебры, геометрии и немного тригонометрии и измерений. В частности, содержание включает:

Определения.
Свойства нуль (включая разделение, и правила работы с нулем).
Дальнейшая обширная численная работа, включая использование отрицательные числа и серпы.
Оценка π.
Арифметические термины, методы умножение, и возведение в квадрат.
Обратный правило трех, и правила 3, 5, 7, 9 и 11.
Проблемы, связанные с интерес и расчет процентов.
Неопределенные уравнения (Kuṭṭaka ), целочисленные решения (первого и второго порядка). Его вклад в эту тему особенно важен,^{[нужна цитата ]} поскольку правила, которые он дает, (по сути) те же, что и эпоха Возрождения Европейские математики 17 века, но его работы относятся к 12 веку. Метод решения Бхаскары был улучшением методов, найденных в работе Арьябхата и последующие математики.

Его работа отличается систематизацией, улучшенными методами и новыми темами, которые он представил. Кроме того, Лилавати содержали прекрасные проблемы, и считается, что намерение Бхаскары могло заключаться в том, чтобы изучающий «Лилавати» сосредоточился на механическом применении метода.^{[нужна цитата ]}

Алгебра

Его Биджаганита ("Алгебра ") был трудом, состоящим из двенадцати глав. Это был первый текст, который признал, что положительное число имеет два квадратные корни (положительный и отрицательный квадратный корень).^[17] Его работа Биджаганита фактически является трактатом по алгебре и содержит следующие темы:

Положительный и отрицательные числа.
«Неизвестное» (включает определение неизвестных величин).
Определение неизвестных величин.
Surds (включает оценку сюрдов).
Kuṭṭaka (для решения неопределенные уравнения и Диофантовы уравнения ).
Простые уравнения (неопределенные второй, третьей и четвертой степени).
Простые уравнения с более чем одним неизвестным.
Неопределенный квадратные уравнения (типа топор² + b = y²).
Решения неопределенных уравнений второй, третьей и четвертой степени.
Квадратные уравнения.
Квадратные уравнения с более чем одним неизвестным.
Операции с произведениями нескольких неизвестных.

Бхаскара вывел циклический чакравала метод для решения неопределенных квадратных уравнений вида ax² + bx + c = y.^[17] Метод Бхаскары для поиска решения задачи Nx² + 1 = у² (так называемой "Уравнение Пелла ") имеет большое значение.^[15]

Тригонометрия

В Сиддханта Широмани (написано в 1150 году) демонстрирует знание Бхаскара тригонометрии, включая таблицу синусов и отношения между различными тригонометрическими функциями. Он также разработал сферическая тригонометрия, наряду с другими интересными тригонометрический полученные результаты. В частности, Бхаскара казался более заинтересованным в тригонометрии как таковой, чем его предшественники, которые видели в ней только инструмент для расчетов. Среди многих интересных результатов, данных Бхаскарой, результаты, полученные в его работах, включают вычисление синусов углов 18 и 36 градусов, а также хорошо известные теперь формулы для ${ Displaystyle грех влево (а + б вправо)}$ и ${ Displaystyle грех влево (а-б вправо)}$ .

Исчисление

Его работа, Сиддханта Широмани, представляет собой астрономический трактат и содержит множество теорий, которых не было в более ранних работах.^{[нужна цитата ]} Предварительные концепции исчисление бесконечно малых и математический анализ, наряду с рядом результатов в тригонометрия, дифференциальное исчисление и интегральное исчисление которые встречаются в работе, представляют особый интерес.

Факты свидетельствуют о том, что Бхаскара был знаком с некоторыми идеями дифференциального исчисления.^[17] Бхаскара также углубляется в «дифференциальное исчисление» и предполагает, что дифференциальный коэффициент исчезает при экстремальном значении функции, что указывает на знание концепции «бесконечно малые '.^[18]

Есть свидетельства ранней формы Теорема Ролля в его работе
- Если ${ Displaystyle е влево (а вправо) = е влево (Ь вправо) = 0}$ тогда ${ Displaystyle F ' влево (х вправо) = 0}$ для некоторых ${ displaystyle x}$ с ${ Displaystyle а <х <Ь}$
Он дал результат, что если ${ Displaystyle х приблизительно у}$ $х приблизительно у$ тогда ${ Displaystyle грех (у) - грех (х) приблизительно (у-х) соз (у)}$ $грех (у) - грех (х) приблизительно (у-х) соз (у)$ , тем самым найдя производную от синуса, хотя он никогда не развивал понятие производных.^[19]
- Бхаскара использует этот результат для определения позиционного угла эклиптика, количество, необходимое для точного предсказания времени затмения.
При вычислении мгновенного движения планеты интервал времени между последовательными положениями планет не превышал Трути, или¹⁄₃₃₇₅₀ секунды, и его мера скорости была выражена в этой бесконечно малой единице времени.
Он знал, что когда переменная достигает максимального значения, ее дифференциал исчезает.
Он также показал, что когда планета наиболее удалена от Земли или находится ближе всего к ней, уравнение центра (мера того, насколько далеко планета находится от предполагаемого положения, предполагая, что она должна двигаться равномерно) исчезает. Поэтому он пришел к выводу, что для некоторого промежуточного положения дифференциал уравнения центра равен нулю.^{[нужна цитата ]} В этом результате видны следы общего теорема о среднем значении, одна из важнейших теорем анализа, которая сегодня обычно выводится из теоремы Ролля. Теорема о среднем была позже найдена Парамешвара в 15 веке в Лилавати бхашья, комментарий к Бхаскара Лилавати.

Мадхава (1340–1425) и Керала школа математики (в том числе Парамешвара) с 14 по 16 века расширили работу Бхаскары и продвинули дальше развитие исчисление в Индии.

Астрономия

Используя астрономическую модель, разработанную Брахмагупта в 7 веке Бхаскара точно определил многие астрономические величины, включая, например, длину звездный год, время, необходимое Земле для обращения вокруг Солнца, составляет примерно 365,2588 дней, что соответствует Сурьясиддханте.^{[нужна цитата ]} Современное принятое измерение - 365,25636. дней, разница всего 3,5 минуты.^[20]

Его текст по математической астрономии Сиддханта Широмани написан в двух частях: первая часть посвящена математической астрономии, а вторая часть - математике. сфера.

Двенадцать глав первой части охватывают такие темы, как:

Иметь в виду долготы из планеты.
Истинные долготы планет.
Три проблемы из суточное вращение (Суточное движение - это астрономический термин, обозначающий кажущееся суточное движение звезд вокруг Земли или, точнее, вокруг двух небесных полюсов. Оно вызвано вращением Земли вокруг своей оси, поэтому каждая звезда, очевидно, движется по кругу, что называется суточным кругом.)
Сизигии.
Лунные затмения.
Солнечные затмения.
Широты планет.
Уравнение восхода солнца
В Луна с полумесяц.
Союзы планет друг с другом.
Соединения планет с фиксированным звезды.
Пути Солнца и Луны.

Вторая часть содержит тринадцать глав по сфере. Он охватывает такие темы, как:

Похвала изучению сферы.
Природа сферы.
Космография и география.
Планетарный среднее движение.
Эксцентричный эпициклический модель планет.
В армиллярная сфера.
Сферическая тригонометрия.
Эллипс расчеты.^{[нужна цитата ]}
Первые видимости планет.
Расчет лунного серпа.
Астрономические инструменты.
В сезоны.
Проблемы астрономических расчетов.

Инженерное дело

Самая ранняя ссылка на вечное движение датируется 1150 годом, когда Бхаскара II описал рулевое колесо что он утверждал, будет работать вечно.^[21]

Бхаскара II использовал измерительное устройство, известное как Яти-янтра. Это устройство могло варьироваться от простой палки до V-образных рейок, предназначенных специально для определения углов с помощью калиброванной шкалы.^[22]

Легенды

В его книге Лилавати, он рассуждает: «В этой величине, которая также имеет ноль в качестве делителя, нет изменений, даже когда многие количества вошли в нее или вышли [из нее], точно так же, как во время разрушения и созидания, когда толпы существ входят в и выйти из [его, нет изменения] в бесконечном и неизменном [Вишну] ».^[23]

"Смотри!"

Несколько авторов заявили, что Бхаскара II доказал теорему Пифагора, нарисовав диаграмму и предоставив одно слово «вот!».^[24]^[25] Иногда имя Бхаскары опускается, и его называют Индуистское доказательство, хорошо знакомые школьникам.^[26]

Однако, как указывает историк математики Ким Плофкер, после представления отработанного примера Бхаскара II формулирует теорему Пифагора:

Следовательно, для краткости, квадратный корень из суммы квадратов плеча и вертикали является гипотенузой: таким образом это демонстрируется.^[27]

Далее следуют:

А в противном случае, когда кто-то помещает эти части фигуры там, [просто] видя [этого достаточно].^[27]

Плофкер предполагает, что это дополнительное утверждение может быть основным источником широко распространенного «вот!» легенда.

Смотрите также

Список индийских математиков

дальнейшее чтение

W. W. Rouse Ball. Краткое изложение истории математики, 4-е издание. Dover Publications, 1960.
Джордж Гевергезе Джозеф. Герб Павлина: неевропейские корни математики, 2-е издание. Книги о пингвинах, 2000.
О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., «Бхаскара II», Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет. Сент-Эндрюсский университет, 2000.
Ян Пирс. Бхаскарачарья II в архиве MacTutor. Сент-Эндрюсский университет, 2002 г.
Пингри, Дэвид (1970–1980). «Бхаскара II». Словарь научной биографии. 2. Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера. С. 115–120. ISBN 978-0-684-10114-9.

внешняя ссылка

[1] Математические достижения досовременных индийских математиков Т.К. Путтасвами с.331

[FOOTNOTESahni201950-2] Сахни 2019, п. 50.

[FOOTNOTEChopra198252–54-3] Чопра 1982 С. 52–54.

[FOOTNOTEPlofker200971-4] Плофкер 2009, п. 71.

[FOOTNOTEPoulose199179-5] Пулозе 1991, п. 79.

[sbrao1-6] а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм ^час ^я ^j ^k ^л ^м ^п С. Балачандра Рао (13 июля 2014 г.), ನವ ಜನ್ಮಶತಾಬ್ದಿಯ ಗಣಿತರ್ಷಿ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ, Виджаявани, п. 17

[FOOTNOTESeal191580-7] Печать 1915 г., п. 80.

[FOOTNOTESarkar191823-8] Саркар 1918, п. 23.

[FOOTNOTEGoonatilake1999134-9] Goonatilake 1999, п. 134.

[10] Бхаскара НАСА 16 сентября 2017

[FOOTNOTEPingree1970299-11] а ^б Пингри 1970, п. 299.

[sbrao2-12] а ^б ^c ^d ^е Ученый (13 июля 2014 г.), ನವ ಜನ್ಮಶತಾಬ್ದಿಯ ಗಣಿತರ್ಷಿ ಭಾಸ್ಕರಾಚಾರ್ಯ, Виджаявани, п. 21 год

[13] Стихи 128, 129 в Биджаганита Плофкер 2007, стр. 476–477

[ReferenceA-14] а ^б Математические достижения досовременных индийских математиков фон Т.К. Путтасвами

[FOOTNOTEStillwell199974-15] а ^б Stillwell1999, п. 74.

[16] Студенты и Британника Индия. 1. От А до В, Инду Рамчандани

[ReferenceB-17] а ^б ^c 50 вневременных ученых фон К. Кришна Мурти

[FOOTNOTEShukla198495–104-18] Шукла 1984 г. С. 95–104.

[FOOTNOTECooke1997213–215-19] Кук 1997 С. 213–215.

[IERS-20] IERS EOP PC Полезные константы День в системе СИ или средний солнечный день равен 86400. SI секунды.От средней долготы относительно средняя эклиптика и равноденствие J2000, данное в Simon, J. L., et al., "Числовые выражения для формул прецессии и средних элементов для Луны и планет" Астрономия и астрофизика 282 (1994), 663–683.[1]

[FOOTNOTEWhite197852–53-21] Белый 1978 С. 52–53.

[FOOTNOTESelin2008269–273-22] Селин 2008 С. 269–273.

[FOOTNOTEColebrooke1817-23] Колбрук 1817.

[24] Канун 1990 г., п. 228

[Burton-25] Бертон 2011, п. 106

[26] Мазур 2005, стр. 19–20

[Plofker1-27] а ^б Плофкер 2007, п. 477

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]