Диффеоморфное метрическое отображение большой деформации - Large deformation diffeomorphic metric mapping

Диффеоморфное метрическое отображение большой деформации (LDDMM) представляет собой специальный набор алгоритмов, используемых для диффеоморфного отображения и управления плотными изображениями на основе диффеоморфное метрическое отображение в рамках учебной дисциплины вычислительная анатомия, чтобы отличаться от его предшественника на основе диффеоморфное отображение. Различие между ними состоит в том, что диффеоморфные метрические отображения удовлетворяют тому свойству, что длина, связанная с их потоком от единицы, индуцирует метрику на группа диффеоморфизмов, что, в свою очередь, индуцирует метрику на орбите формы и формы в области Вычислительная анатомия. Изучение фигур и форм с метрикой диффеоморфного метрического отображения называется диффеоморфометрия.

А диффеоморфное отображение Система - это система, предназначенная для отображения, обработки и передачи информации, которая хранится во многих типах пространственно распределенных медицинских изображений.

Диффеоморфное картирование - это базовая технология для отображения и анализа информации, измеренной в анатомических системах координат человека, которые были измерены с помощью медицинской визуализации.^{[нужна цитата ]}. Диффеоморфное отображение - это широкий термин, который на самом деле относится к ряду различных алгоритмов, процессов и методов. Он привязан ко многим операциям и имеет множество приложений для анализа и визуализации. Диффеоморфное отображение можно использовать для связи различных источников информации, которые индексируются как функция пространственного положения в качестве ключевой переменной индекса. Диффеоморфизмы по своей латинской корневой структуре сохраняют преобразования, которые, в свою очередь, являются дифференцируемыми и, следовательно, гладкими, что позволяет вычислять такие метрические величины, как длина дуги и площадь поверхности. Пространственное положение и размеры в анатомических системах координат человека могут быть записаны с помощью различных методов медицинской визуализации, обычно называемых мультимодальными медицинскими изображениями, обеспечивающими либо скалярные, либо векторные величины в каждом пространственном местоположении. Примеры скалярные Т1 или Т2 магнитно-резонансная томография, или в виде матриц тензора диффузии 3x3 диффузная МРТ и диффузионно-взвешенная визуализация, до скалярных плотностей, связанных с компьютерная томография (CT) или функциональные изображения, такие как временные данные функциональная магнитно-резонансная томография и скалярные плотности, такие как Позитронно-эмиссионная томография (ПЭТ).

Вычислительная анатомия - это дисциплина в более широкой области нейроинформатика в биоинформатика и медицинская визуализация. Первым алгоритмом отображения плотных изображений с помощью диффеоморфного отображения метрик был LDDMM Бега.^[1][2] для объемов и сопоставления ориентиров Джоши для наборов точек с соответствием,^[3][4] с алгоритмами LDDMM, которые теперь доступны для вычисления диффеоморфных метрических карт между несоответствующими ориентирами^[5] и знаковое соответствие, присущее сферическим многообразиям,^[6] кривые,^[7] токи и поверхности,^[8][9][10] тензоры,^[11] варифолды^[12] и временные ряды.^[13][14][15] Термин LDDMM впервые был введен как часть Национальные институты здоровья поддержанный Сеть исследований в области биомедицинской информатики.^[16]

В более общем смысле диффеоморфное отображение - это любое решение, которое регистрирует или строит соответствия между плотными системами координат в медицинской визуализации, гарантируя, что решения диффеоморфны. В настоящее время существует множество кодов, организованных вокруг диффеоморфной регистрации.^[17] включая муравьев,^[18] ДАРТЕЛ,^[19] ДЕМОНЫ,^[20] Стационарный ЛДДММ,^[21] FastLDDMM,^[22][23] как примеры активно используемых вычислительных кодов для построения соответствий между системами координат на основе плотных изображений.

Различие между диффеоморфным метрическим отображением, лежащим в основе LDDMM, и самыми ранними методами диффеоморфного отображения заключается во введении принципа наименьшего действия Гамильтона, в котором выбираются большие деформации наименьшей длины, соответствующие геодезическим потокам. Это важное различие вытекает из первоначальной формулировки Риманова метрика соответствующая правоинвариантности. Длины этих геодезических дают метрику в структуре метрического пространства анатомии человека. Негеодезические формулировки диффеоморфных отображений, вообще говоря, не соответствуют никаким метрическим формулировкам.

История развития

Диффеоморфное отображение трехмерной информации в системах координат является центральным элементом высокого разрешения. Медицинская визуализация и площадь Нейроинформатика в новой области биоинформатики. Диффеоморфная маИспользование трехмерных систем координат, измеренных с помощью плотных изображений с высоким разрешением, имеет долгую историю в трехмерном пространстве, начиная с Компьютерная аксиальная томография (Компьютерная томография) в начале 80-х группой Университета Пенсильвании под руководством Рузена Байчи,^[24] и впоследствии Ульф Гренандер школа в Брауновский университет с РУЧНЫМИ экспериментами.^[25][26] В 90-х годах было несколько решений для регистрации изображений, которые были связаны с линеаризацией небольшая деформация и нелинейная эластичность.^{[27][28][29][30][31]}

В центре внимания подполя Вычислительная анатомия (CA) в медицинская визуализация отображает информацию в анатомических системах координат с точностью до 1 миллиметра морфома шкала. В CA отображение плотной информации, измеряемой в пределах Магнитно-резонансное изображение Системы координат на основе (МРТ), такие как в мозге, были решены путем неточного сопоставления трехмерных МРТ-изображений друг с другом. Самое раннее введение использования диффеоморфное отображение через большая деформация потоки диффеоморфизмы для преобразования систем координат в анализе изображений и медицинской визуализации был Кристенсен, Рэббитт и Миллер ^[17][32] и Труве.^[33] Введение потоков, которые сродни уравнениям движения, используемым в гидродинамике, используют представление о том, что плотные координаты в анализе изображений следуют Лагранжево и эйлерово уравнения движения. Эта модель становится более подходящей для поперечных исследований, в которых мозг и / или сердце не обязательно являются деформациями одного по отношению к другому. Методы, основанные на линейной или нелинейной энергии упругости, которая растет по мере удаления от карты идентичности шаблона, не подходят для поперечного исследования. Скорее, в моделях, основанных на лагранжевых и эйлеровых потоках диффеоморфизмов, ограничение связано с топологическими свойствами, такими как сохранение открытых множеств, непересекающиеся координаты, подразумевающие единственность и существование обратного отображения, и связанные множества, оставшиеся связными. Использование диффеоморфных методов быстро стало доминировать в области картографических методов после оригинальной статьи Кристенсена, и стали доступны быстрые и симметричные методы.^[19][34]

Такие методы мощны тем, что вводят понятия регулярности решений, так что их можно дифференцировать и вычислять локальные обратные. Недостатки этих методов заключаются в том, что не было связанного глобального свойства наименьшего действия, которое могло бы оценивать потоки с минимальной энергией. Это контрастирует с геодезическими движениями, которые занимают центральное место в изучении Кинематика жесткого тела и многие проблемы решены в Физика через Принцип наименьшего действия Гамильтона. В 1998 году Дюпюи, Гренандер и Миллер^[35] установлены условия, гарантирующие существование решений плотного согласования изображений в пространстве потоков диффеоморфизмов. Эти условия требуют действия, штрафующего кинетическую энергию, измеренную через норму Соболева на пространственных производных потока векторных полей.

Код диффеоморфного метрического отображения с большой деформацией (LDDMM), который Фейсал Бег разработал и реализовал для своей докторской диссертации в Университете Джона Хопкинса.^[36] разработал самый ранний алгоритмический код, который решал потоки с фиксированными точками, удовлетворяющие необходимым условиям для задачи сопоставления плотных изображений с минимальным действием. В вычислительной анатомии теперь есть много кодов, организованных вокруг диффеоморфной регистрации.^[17] включая муравьев,^[18] ДАРТЕЛ,^[19] ДЕМОНЫ,^[37] ЛДДММ,^[2] СтационарныйLDDMM^[21] как примеры активно используемых вычислительных кодов для построения соответствий между системами координат на основе плотных изображений.

Эти методы большой деформации были распространены на ориентиры без регистрации путем сопоставления размеров,^[38] кривые,^[39] поверхности,^[40] плотный вектор^[41] и тензор ^[42] изображения и варифолды, меняющие ориентацию.^[43]

Модель орбиты диффеоморфизма в вычислительной анатомии

Деформируемая форма в Вычислительная анатомия (CA)^{[44][45][46][47]}изучается с помощью диффеоморфного картирования для установления соответствий между анатомическими координатами в медицинской визуализации. В этой настройке трехмерные медицинские изображения моделируются как случайная деформация некоторого образца, называемого шаблоном. ${\displaystyle I_{temp}}$, с элементом набора наблюдаемых изображений в случайном орбитальная модель КА для изображений ${\displaystyle I\in {\mathcal {I}}\doteq \{I=I_{temp}\circ \varphi ,\varphi \in Diff_{V}\}}$. Шаблон отображается на цель путем определения вариационной задачи, в которой шаблон преобразуется с помощью диффеоморфизма, используемого в качестве изменения координаты, чтобы минимизировать условие сопоставления квадратичной ошибки между преобразованным шаблоном и целью.

Диффеоморфизмы порождаются гладкими потоками ${\displaystyle \phi _{t},t\in [0,1]}$ , с ${\displaystyle \varphi \doteq \phi _{1}}$, удовлетворяя Лагранжева и эйлерова спецификация поля течения связанное с обыкновенным дифференциальным уравнением,

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\phi _{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\ \phi _{0}=id}$,

с ${\displaystyle v_{t},t\in [0,1]}$ то Эйлеров векторных полей, определяющих поток. векторные поля гарантированно однократно непрерывно дифференцируемы ${\displaystyle v_{t}\in C^{1}}$ моделируя их, чтобы они были в гладкое гильбертово пространство ${\displaystyle v\in V}$ поддерживающая 1-непрерывную производную.^[48] Обратное ${\displaystyle \phi _{t}^{-1},t\in [0,1]}$ определяется векторным полем Эйлера с потоком, задаваемым

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\phi _{t}^{-1}=-(D\phi _{t}^{-1})v_{t},\ \phi _{0}^{-1}=id\ .}$

(Обратный транспортный поток)

Чтобы обеспечить гладкие потоки диффеоморфизмов с обратными, векторные поля с компонентами в ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ должен быть хотя бы один раз непрерывно дифференцируемым в пространстве^[49][50] которые моделируются как элементы гильбертова пространства ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ с использованием Соболев теоремы вложения так, чтобы каждый элемент ${\displaystyle v_{i}\in H_{0}^{3},i=1,2,3,}$ имеет 3-кратно интегрируемые с квадратом слабые производные. Таким образом ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ плавно вкладывается в одноразовые непрерывно дифференцируемые функции.^[37][50] Группа диффеоморфизмов - это потоки с векторными полями, абсолютно интегрируемые в норме Соболева

${\displaystyle Diff_{V}\doteq \{\varphi =\phi _{1}:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\phi _{0}=id,\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}dt<\infty \}\ .}$

(Группа диффеоморфизмов)

Вариационная задача сопоставления плотных изображений и сопоставления разреженных ориентиров

Алгоритм LDDMM для плотного сопоставления изображений

В CA пространство векторных полей ${\displaystyle (V,\|\cdot \|_{V})}$ моделируются как воспроизводящее гильбертово пространство ядра (RKHS) определяется 1-1, дифференциальным оператором${\displaystyle A:V\rightarrow V^{*}}$ определение нормы ${\displaystyle \|v\|_{V}^{2}\doteq \int _{R^{3}}Av\cdot vdx,\ v\in V\ ,}$ где интеграл вычисляется интегрированием по частям при ${\displaystyle Av}$ является обобщенной функцией в двойственном пространстве ${\displaystyle V^{*}}$. Дифференциальный оператор выбирается так, чтобы ядро ​​Грина, обратное оператору, было непрерывно дифференцируемым по каждой переменной, что означает, что векторные поля поддерживают 1-непрерывную производную; видеть^[48] необходимых условий на норму существования решений.

Оригинальные алгоритмы диффеоморфного метрического отображения больших деформаций (LDDMM) Бега, Миллера, Трува, Юнеса^[51] был получен с вариациями относительно параметризации векторного поля группы, поскольку ${\displaystyle v={\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}$ находятся в векторных пространствах. Бег решил плотное сопоставление изображений, минимизируя интеграл действия кинетической энергии диффеоморфного потока, в то же время минимизируя срок сопоставления конечных точек в соответствии с

${\textstyle \min _{v:{\dot {\phi }}=v\circ \phi ,\phi _{0}=id}C(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+{\frac {1}{2}}\int _{R^{3}}|I\circ \phi _{1}^{-1}-J|^{2}dx}$

(Изображения вариационных задач)

• Итерационный алгоритм Бега для плотного сопоставления изображений

Обновить до схождения, ${\displaystyle \phi _{t}^{old}\leftarrow \phi _{t}^{new}}$ каждая итерация, с ${\displaystyle \phi _{t1}\doteq \phi _{1}\circ \phi _{t}^{-1}}$:

${\displaystyle {\begin{cases}&v_{t}^{new}(\cdot )=v_{t}^{old}(\cdot )-\epsilon (v_{t}^{old}-\int _{R^{3}}K(\cdot ,y)(I\circ \phi _{t}^{-1old}(y)-J\circ \phi _{t1}^{old}(y))\nabla (I\circ \phi _{t}^{-1old}(y))|D\phi _{t1}^{old}(y)|dy),t\in [0,1]\\&{\dot {\phi }}_{t}^{new}=v_{t}^{new}\circ \phi _{t}^{new},t\in [0,1]\end{cases}}}$

(Beg-LDDMM-итерация)

Отсюда следует, что неподвижная точка в точке ${\displaystyle t=0}$ удовлетворяет

${\displaystyle \mu _{0}^{*}=Av_{0}^{*}=(I-J\circ \phi _{1}^{*})\nabla I|D\phi _{1}^{*}|}$,

что, в свою очередь, означает, что он удовлетворяет уравнению Сохранения, заданному Условие соответствия конечной точки в соответствии с

${\displaystyle Av_{t}^{*}=(D\phi _{t}^{*-1})^{T}Av_{0}^{*}\circ \phi _{t}^{*-1}|D\phi _{t}^{*-1}|}$

^[52][53]

LDDMM зарегистрировал соответствие ориентира

Задача сопоставления ориентиров имеет точечное соответствие, определяющее условие конечной точки с геодезическими, заданными следующим минимумом:

${\displaystyle \min _{v:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t}}C(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+{\frac {1}{2}}\sum _{i}(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot (\phi _{1}(x_{i})-y_{i})}$;

На рисунке показано сопоставление плотных изображений LDMM. Верхний ряд показывает перемещение изображения под потоком. ${\displaystyle I\circ \phi _{t}^{-1}}$; средняя строка показывает последовательность векторных полей ${\displaystyle v_{t},}$t = 0,1 / 5,2 / 5,3 / 5,4 / 5,1; нижняя строка показывает последовательность сеток под ${\displaystyle \phi _{t}.}$

• Итерационный алгоритм сопоставления ориентиров

Джоши первоначально определил зарегистрированную проблему сопоставления ориентиров.^[3] Обновить до схождения, ${\displaystyle \phi _{t}^{old}\leftarrow \phi _{t}^{new}}$ каждая итерация, с ${\displaystyle \phi _{t1}\doteq \phi _{1}\circ \phi _{t}^{-1}}$:

${\displaystyle {\begin{cases}&v_{t}^{new}(\cdot )=v_{t}^{old}(\cdot )-\epsilon (v_{t}^{old}+\sum _{i}K(\cdot ,\phi _{t}^{old}(x_{i}))(D\phi _{t1})^{oldT}|_{\phi _{t}^{old}(x_{i})}(y_{i}-\phi _{1}^{old}(x_{i})),t\in [0,1]\\&{\dot {\phi }}_{t}^{new}=v_{t}^{new}\circ \phi _{t}^{new},t\in [0,1]\end{cases}}}$

(Ориентир-LDDMM-итерация)

Отсюда следует, что неподвижная точка удовлетворяет

${\displaystyle Av_{0}=-\sum _{i}(D\phi _{1})(x_{i})^{T}(y_{i}-\phi _{1}(x_{i}))\delta _{x_{i}}}$

с

${\displaystyle Av_{t}=-\sum _{i}(D\phi _{t1})^{T}|_{\phi _{t}(x_{i})}(y_{i}-\phi _{1}(x_{i}))\delta _{\phi _{t}(x_{i})}}$.

Варианты для плотного изображения LDDMM и сопоставления ориентиров

В Вариационное исчисление использовался в Beg^[49][53] вывести итерационный алгоритм как решение, которое, когда оно сходится, удовлетворяет необходимым условиям максимизатора, заданным необходимыми условиями для вариации первого порядка, требующей изменения конечной точки относительно вариации первого порядка векторного поля. Производная по направлению вычисляет Производная Гато как рассчитано в оригинальной статье Бега^[49] и.^[54][55]

Вариация первого порядка потока и векторного поля для согласования плотных изображений и ориентиров

Вариация первого порядка в векторных полях ${\displaystyle v+\epsilon \delta v}$ требует изменения ${\displaystyle \phi ^{-1}}$ обобщает матрица возмущение обратного через ${\displaystyle (\phi +\epsilon \delta \phi \circ \phi )\circ (\phi ^{-1}+\epsilon \delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1})=id+o(\epsilon )}$ давая ${\displaystyle \delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1}=-(D\phi _{1}^{-1})\delta \phi }$ . Чтобы выразить вариацию в терминах ${\displaystyle \delta v}$, используйте решение Кронштейн лжи${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\delta \phi _{|\phi }\right)=(Dv)_{|\phi }\delta \phi _{|\phi }+\delta v_{|\phi }}$ давая

${\displaystyle \delta \phi _{1}=(D\phi _{1})_{|\phi _{1}^{-1}}\int _{0}^{1}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(\delta v_{t})_{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}}dt}$

• Соответствие изображения:

Взятие производной по направлению от условия конечной точки изображения ${\displaystyle E(\phi )=\int _{X}|I\circ \phi ^{-1}-J|^{2}dx}$ дает

${\displaystyle {\frac {d}{d\epsilon }}{\frac {1}{2}}\int _{X}|I\circ (\phi ^{-1}+\epsilon \delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1})-J|^{2}dx|_{\epsilon =0}=\int _{X}(I\circ \phi ^{-1}-J)\nabla I|_{\phi ^{-1}}\delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1}dx}$${\displaystyle =\int _{X}(I\circ \phi ^{-1}-J)\nabla I|_{\phi ^{-1}}(-D\phi _{1}^{-1})\delta \phi dx}$

${\displaystyle =\int _{X}(I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\nabla I|_{\phi _{1}^{-1}}(-D\phi _{1})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(D\phi _{1})_{|\phi _{1}^{-1}})\int _{0}^{1}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(\delta v_{t})_{|{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}}}dtdx}$.

Подстановка ${\displaystyle \phi _{t1}\doteq \phi _{1}\circ \phi _{t}^{-1}}$ дает необходимое условие для оптимума:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\epsilon }}C(v+\epsilon \delta v)|_{\epsilon =0}&=\int _{0}^{1}\int _{X}Av_{t}\cdot \delta v_{t}\ dx\ dt-\int _{0}^{1}\int _{X}(I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\nabla I|_{\phi _{1}^{-1}}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(\delta v_{t})_{|{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}}}\ dx\,dt\\&=\int _{0}^{1}\int _{X}\left(Av_{t}-(I\circ \phi _{t}^{-1}-J\circ \phi _{t1})\nabla I|_{\phi _{t}^{-1}}(D\phi _{t})_{|\phi _{t}^{-1}}^{-1}|D\phi _{t1}|\right)\cdot \delta v_{t}\ dx\,dt\\&=0\end{aligned}}}$.

• Соответствие ориентира:

Возьмем вариацию векторных полей ${\displaystyle v+\epsilon \delta v}$ из ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i}|\phi _{1}(x_{i})-y_{i})|^{2}}$используйте цепное правило для возмущения ${\displaystyle \delta \phi \circ \phi }$ дать первую вариацию

${\displaystyle \sum _{i}(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot D\phi _{1}|_{\phi _{1}^{-1}(\phi _{1}(x_{i}))}\int _{0}^{1}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}(\phi _{1}(x_{i}))}^{-1}\delta v_{t}|_{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}(\phi _{1}(x_{i}))}dt}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{X}\sum _{i}\delta _{\phi _{t}(x_{i})}(x)(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot (D\phi _{1})_{\phi _{t}^{-1}(x)}(D\phi _{t})_{\phi _{t}^{-1}(x)}^{-1}\delta v_{t}(x)dxdt=\int _{0}^{1}\int _{X}\sum _{i}\delta _{\phi _{t}(x_{i})}(y)(D\phi _{t1})_{\phi _{t}(x_{i})}^{T}(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot \delta v_{t}(x)dxdt}$

LDDMM Diffusion Tensor Image Matching

Согласование LDDMM на основе главного собственного вектора матрицы тензора диффузии создает изображение ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$ как единичное векторное поле, определяемое первым собственным вектором.^[41]Групповое действие становится

${\displaystyle \varphi \cdot I={\begin{cases}{\frac {D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|I\circ \varphi ^{-1}\|}{\|D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|}}&I\circ \varphi \neq 0,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

куда ${\displaystyle \|\cdot \|}$ что обозначает норму квадратичной ошибки изображения.

Сопоставление LDDMM на основе всей тензорной матрицы^[56] имеет групповое действие ${\displaystyle \varphi \cdot M=(\lambda _{1}{\hat {e}}_{1}{\hat {e}}_{1}^{T}+\lambda _{2}{\hat {e}}_{2}{\hat {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\hat {e}}_{3}{\hat {e}}_{3}^{T})\circ \varphi ^{-1},}$ преобразованные собственные векторы

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}_{1}&={\frac {D\varphi e_{1}}{\|D\varphi e_{1}\|}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\sqrt {\|D\varphi e_{2}\|^{2}-\langle {\hat {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle ^{2}}}}\ ,\ \ \ {\hat {e}}_{3}={\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}\end{aligned}}}$.

Задача плотного согласования на главный собственный вектор DTI

Вариационная задача сопоставления на векторное изображение ${\displaystyle I^{\prime }(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$с конечной точкой

${\displaystyle E(\phi _{1})\doteq \alpha \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot I-I^{\prime }\|^{2}\,dx+\beta \int _{{\mathbb {R} }^{3}}(\|\phi _{1}\cdot I\|-\|I^{\prime }\|)^{2}\,dx).}$

становится

${\displaystyle \min _{v:{\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+\alpha \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot I-I^{\prime }\|^{2}\,dx+\beta \int _{{\mathbb {R} }^{3}}(\|\phi _{1}\cdot I\|-\|I^{\prime }\|)^{2}\,dx\ .}$

Задача плотного сопоставления на DTI MATRIX

Сопоставление вариационной задачи на:${\displaystyle M^{\prime }(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}}$ с конечной точкой

${\displaystyle E(\phi _{1})\doteq \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot M(x)-M^{\prime }(x)\|_{F}^{2}dx}$

с ${\displaystyle \|\cdot \|_{F}}$ Норма Фробениуса, дающая вариационную задачу

${\displaystyle \min _{v:v={\dot {\phi }}\circ \phi ^{-1}}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+\alpha \int _{{\mathbb {R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot M(x)-M^{\prime }(x)\|_{F}^{2}dx}$

(Плотный тензорDTI-Matching)

LDDMM ODF

Диффузионная визуализация с высоким угловым разрешением (HARDI) устраняет хорошо известное ограничение DTI, то есть DTI может выявить только одну доминирующую ориентацию волокна в каждом месте. HARDI измеряет распространение по ${\displaystyle n}$ равномерно распределенные направления на сфере и могут характеризовать более сложные геометрические формы волокон путем восстановления функции распределения ориентаций (ODF), которая характеризует угловой профиль функции плотности вероятности диффузии молекул воды. ODF - это функция, определенная на единичной сфере, ${\displaystyle {\mathbb {S} }^{2}}$.^[57] Обозначим квадратный корень ODF (${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$) в качестве ${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$, куда ${\displaystyle \psi ({\bf {s}})}$ неотрицателен для обеспечения уникальности и ${\displaystyle \int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi ^{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}=1}$. Метрика определяет расстояние между двумя ${\displaystyle {\sqrt {\text{ODF}}}}$ функции ${\displaystyle \psi _{1},\psi _{2}\in \Psi }$ в качестве

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (\psi _{1},\psi _{2})=\|\log _{\psi _{1}}(\psi _{2})\|_{\psi _{1}}=\cos ^{-1}\langle \psi _{1},\psi _{2}\rangle =\cos ^{-1}\left(\int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi _{1}({\bf {s}})\psi _{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}\right),\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ - нормальное скалярное произведение между точками на сфере под ${\displaystyle \mathrm {L} ^{2}}$ метрика. шаблон и цель обозначены${\displaystyle \psi _{\mathrm {temp} }({\bf {s}},x)}$, ${\displaystyle \psi _{\mathrm {targ} }({\bf {s}},x)}$,${\displaystyle {\bf {s}}\in {{\mathbb {S} }^{2}}}$${\displaystyle x\in X}$ индексируется по единичной сфере и домену изображения, при этом цель индексируется аналогично.

Определите вариационную задачу, предполагая, что два объема ODF могут быть порождены один в другой потоками диффеоморфизмов ${\displaystyle \phi _{t}}$, которые являются решениями обыкновенных дифференциальных уравнений ${\displaystyle {\dot {\phi }}_{t}=v_{t}(\phi _{t}),t\in [0,1],\phi _{0}={id}}$. Групповое действие диффеоморфизма на шаблоне задается согласно ${\displaystyle \phi _{1}\cdot \psi (x)\doteq (D\phi _{1})\psi \circ \phi _{1}^{-1}(x),x\in X}$,куда ${\displaystyle (D\phi _{1})}$ является якобианом аффинно преобразованного ODF и определяется как

${\displaystyle {\begin{aligned}(D\phi _{1})\psi \circ \phi _{1}^{-1}(x)={\sqrt {\frac {\det {{\bigl (}D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left({\frac {(D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\phi _{1}^{-1}(x)\right).\end{aligned}}}$

Вариационная задача LDDMM определяется как

${\displaystyle {\begin{aligned}\min _{v:{\dot {\phi }}_{t}=v_{t}\circ \phi _{t},\phi _{0}={id}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dx\ dt+\lambda \int _{R^{3}}\|\log _{(D\phi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \phi _{1}^{-1}(x)}(\psi _{\mathrm {targ} }(x))\|_{(D\phi _{1})\psi _{\mathrm {temp} }\circ \phi _{1}^{-1}(x)}^{2}dx\end{aligned}}}$.

Гамильтониан LDDMM для плотного сопоставления изображений

Бег решил ранние алгоритмы LDDMM, решая вариационное сопоставление с вариациями по отношению к векторным полям.^[58] Еще одно решение от Vialard,^[59] изменяет параметры задачи оптимизации с точки зрения состояния ${\displaystyle q_{t}\doteq I\circ \phi _{t}^{-1},q_{0}=I}$, для изображения ${\displaystyle I(x),x\in X=R^{3}}$, причем уравнение динамики управляет состоянием с помощью управления, заданного в терминах адвекция уравнение согласно ${\displaystyle {\dot {q}}_{t}=-\nabla q_{t}\cdot v_{t}}$. Срок сопоставления конечной точки${\displaystyle E(q_{1})\doteq {\frac {1}{2}}\|q_{1}-J\|^{2}}$ дает вариационную задачу:

${\displaystyle {\begin{matrix}&\ \ \ \ \ \min _{v:{\dot {q}}=v\circ q}C(v)\doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+{\frac {1}{2}}\int _{{\mathbb {R} }^{3}}|q_{1}(x)-J(x)|^{2}dx\end{matrix}}}$

(Адвективное состояние-сопоставление изображений)

${\displaystyle {\begin{cases}{\text{Hamiltonian Dynamics}}&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\dot {q}}_{t}=-\nabla q_{t}\cdot v_{t}\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\dot {p}}_{t}=-{\text{div}}(p_{t}v_{t}),\ \ \ \ t\in [0,1]\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Av_{t}=\mu _{t}=-p_{t}\nabla q_{t}\\{\text{Endpoint Condition}}&\ \ \ \ \ \ \ \ \ p_{1}=-{\frac {\partial E}{\partial q_{1}}}(q_{1})=-(q_{1}-J)=-(I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Av_{1}=\mu _{1}=(I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\nabla (I\circ \phi _{1}^{-1})\ \ t=1\ .\\{\text{Conserved Dynamics}}&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p_{t}=-(I\circ \phi _{t}^{-1}-J\circ \phi _{t1})|D\phi _{t1}|\ ,\ \ t\in [0,1]\ .\\\end{cases}}}$

(Гамильтоново условие согласования)

Доказательство гамильтоновой динамики.

В Гамильтонова динамика с перенесенным состоянием и динамикой управления ${\displaystyle q_{t}=I\circ \phi _{t}^{-1}}$, ${\displaystyle {\dot {q}}=-\nabla q\cdot v}$ с расширенным гамильтонианом ${\displaystyle H(q,p,v)=(p|-\nabla q\cdot v)-{\frac {1}{2}}(Av|v)}$ дает вариационную задачу^[53]

${\displaystyle \min _{p,q,v}C(p,q,v)\doteq (p|{\dot {q}})-\left((p|-\nabla q\cdot v)-{\frac {1}{2}}(Av|v)\right)+E(q_{1})=(p|{\dot {q}})-H(p,q,v)+E(q_{1})\ .}$

Первый вариант дает условие на оптимизирующее векторное поле ${\displaystyle Av=-p\nabla q}$, с условием конечной точки ${\displaystyle p_{1}=-{\frac {\partial E}{\partial q}}(q_{1})}$ и динамика на множителях Лагранжа, определяемая условиями производной Гатто ${\displaystyle (-{\dot {p}}-\nabla \cdot (pv)|\delta q))=0}$ и государство ${\displaystyle (\delta p|{\dot {q}}+\nabla q\cdot v)=0}$.

Программное обеспечение для диффеоморфного отображения

Программные комплексы содержащие множество алгоритмов диффеоморфного отображения, включают следующее:

• Деформетрика^[60]
• Муравьи^[18]
• ДАРТЕЛ^[61] Морфометрия на основе вокселей (VBM)
• ДЕМОНОВ^[62]
• LDDMM^[2]
• СтационарныйLDDMM^[21]

Облачное программное обеспечение

• MRICloud^[63]

Смотрите также

• Computational anatomy # Плотное сопоставление изображений в вычислительной анатомии
• Риманова метрика и скобка Ли в вычислительной анатомии
• Байесовская модель вычислительной анатомии

Рекомендации

1. М.Ф. Очень прошу; М. И. Миллер; А. Труве; Л. Юнес (2005). "Вычисление метрических отображений большой деформации через геодезические потоки диффеоморфизмов". Международный журнал компьютерного зрения. 61 (2): 139–157. Дои:10.1023 / B: VISI.0000043755.93987.aa. Получено 2016-01-27.
2. "NITRC: LDDMM: Информация об инструменте / ресурсе". www.nitrc.org. Получено 2015-12-11.
3. Joshi, S.C .; Миллер, М. И. (2000-01-01). «Соответствие ориентира через диффеоморфизмы большой деформации». IEEE Transactions по обработке изображений. 9 (8): 1357–1370. Bibcode:2000ITIP .... 9.1357J. Дои:10.1109/83.855431. ISSN  1057-7149. PMID  18262973.
4. Шерцер, Отмар (23 ноября 2010 г.). Справочник по математическим методам визуализации. Springer Science & Business Media. ISBN  9780387929194.
5. Glaunes, J .; Trouve, A .; Юнес, Л. (2004-06-01). «Диффеоморфное сопоставление распределений: новый подход к сопоставлению немаркированных наборов точек и подмногообразий». Материалы конференции компьютерного общества IEEE 2004 года по компьютерному зрению и распознаванию образов, 2004 год. CVPR 2004. 2. С. II – 712 – II – 718 Том 2. CiteSeerX  10.1.1.158.4209. Дои:10.1109 / CVPR.2004.1315234. ISBN  978-0-7695-2158-9.
6. Глаунес, Жанна; Vaillant, Marc; Миллер, Майкл I (2004). «Сопоставление ориентиров с помощью диффеоморфизмов большой деформации на сфере: специальный выпуск по математике и анализу изображений». Журнал математической визуализации и зрения. 20: 179–200. Дои:10.1023 / B: JMIV.0000011326.88682.e5. Получено 2016-03-27.
7. Ду, Цзя; Юнес, Лоран; Цю, Аньци (01.05.2011). «Диффеоморфное метрическое картирование всего мозга посредством интеграции бороздок и извилин, корковых поверхностей и изображений». NeuroImage. 56 (1): 162–173. Дои:10.1016 / j.neuroimage.2011.01.067. ISSN  1053-8119. ЧВК  3119076. PMID  21281722.
8. Vaillant, Marc; Глаунес, Жоан (1 января 2005 г.). «Согласование поверхностей по токам». Обработка информации в медицинской визуализации: материалы ... конференции. Конспект лекций по информатике. 19: 381–392. Дои:10.1007/11505730_32. ISBN  978-3-540-26545-0. ISSN  1011-2499. PMID  17354711.
9. Vaillant, Marc; Цю, Аньци; Глаунес, Жанна; Миллер, Майкл И. (2007-02-01). «Диффеоморфное отображение метрической поверхности в верхнем временном круге». NeuroImage. 34 (3): 1149–1159. Дои:10.1016 / j.neuroimage.2006.08.053. ISSN  1053-8119. ЧВК  3140704. PMID  17185000.
10. Дуррлеман, Стэнли; Пеннек, Ксавьер; Труве, Ален; Аяче, Николай (01.10.2009). «Статистические модели множеств кривых и поверхностей на основе токов». Анализ медицинских изображений. 13 (5): 793–808. CiteSeerX  10.1.1.221.5224. Дои:10.1016 / j.media.2009.07.007. ISSN  1361-8423. PMID  19679507.
11. Цао, Ян; Миллер, Майкл I .; Мори, Сусуму; Уинслоу, Раймонд Л .; Юнес, Лоран (2006-07-05). «Диффеоморфное сопоставление диффузных тензорных изображений». 2006 Конференция по компьютерному зрению и распознаванию образов Семинар (CVPRW'06). Ход работы. Конференция IEEE Computer Society по компьютерному зрению и распознаванию образов. 2006. п. 67. Дои:10.1109 / CVPRW.2006.65. ISBN  978-0-7695-2646-1. ISSN  1063-6919. ЧВК  2920614. PMID  20711423.
12. Харон, Николас; Труве, Ален (2013). «Варифолдное представление неориентированных форм для диффеоморфной регистрации». SIAM Journal on Imaging Sciences. 6 (4): 2547–2580. arXiv:1304.6108. Bibcode:2013arXiv1304.6108C. Дои:10.1137/130918885. ISSN  1936-4954.
13. Миллер, Майкл И. (2004-01-01). «Вычислительная анатомия: сравнение формы, роста и атрофии через диффеоморфизмы». NeuroImage. 23 Дополнение 1: S19–33. CiteSeerX  10.1.1.121.4222. Дои:10.1016 / j.neuroimage.2004.07.021. ISSN  1053-8119. PMID  15501089.
14. Труве, Ален; Виалар, Франсуа-Ксавье (1 мая 2012 г.). «Сплайны формы и стохастическая эволюция формы: точка зрения второго порядка». Квартал прикладной математики. 70 (2): 219–251. arXiv:1003.3895. Bibcode:2010arXiv1003.3895T. Дои:10.1090 / S0033-569X-2012-01250-4. JSTOR  43639026.
15. Флетчер, П.Т .; Lu, C .; Pizer, S.M .; Джоши, С. (2004-08-01). «Принципиальный геодезический анализ для изучения нелинейной статистики формы». IEEE Transactions по медицинской визуализации. 23 (8): 995–1005. CiteSeerX  10.1.1.76.539. Дои:10.1109 / TMI.2004.831793. ISSN  0278-0062. PMID  15338733.
16. «Диффеоморфное метрическое отображение больших деформаций (LDDMM) | Сеть исследований биомедицинской информатики (BIRN)». www.birncommunity.org. Получено 2016-03-11.
17. Christensen, G.E .; Rabbitt, R.D .; Миллер, М. И. (1996-10-01). «Деформируемые шаблоны с использованием кинематики больших деформаций». Пер. Изображение Proc. 5 (10): 1435–1447. Bibcode:1996ITIP .... 5.1435C. Дои:10.1109/83.536892. ISSN  1057-7149. PMID  18290061.
18. "Стнава / АНЦ". GitHub. Получено 2015-12-11.
19. Эшбёрнер, Джон (2007-10-15). «Быстрый алгоритм регистрации диффеоморфных изображений». NeuroImage. 38 (1): 95–113. Дои:10.1016 / j.neuroimage.2007.07.007. ISSN  1053-8119. PMID  17761438.
20. «Программное обеспечение - Том Веркаутерен». sites.google.com. Получено 2016-04-16.
21. «Публикация: Сравнение алгоритмов диффеоморфной регистрации: стационарный LDDMM и диффеоморфные демоны». www.openaire.eu. Получено 2015-12-11.
22. Чжан, Мяомяо; Флетчер, П. Томас (2015). "Конечномерные алгебры Ли для быстрой регистрации диффеоморфных изображений". Обработка информации в медицинской визуализации: материалы ... конференции. Конспект лекций по информатике. 24: 249–259. Дои:10.1007/978-3-319-19992-4_19. ISBN  978-3-319-19991-7. ISSN  1011-2499. PMID  26221678.
23. Чжан, Мяомяо; Ляо, Руичжи; Dalca, Adrian V .; Turk, Esra A .; Ло, Цзе; Грант, П. Эллен; Голланд, Полина (25.06.2017). Диффеоморфизмы частот для эффективной регистрации изображений. Обработка информации в медицинской визуализации. Конспект лекций по информатике. 10265. С. 559–570. Дои:10.1007/978-3-319-59050-9_44. ISBN  9783319590493. ЧВК  5788203. PMID  29391767.
24. Байчи, Рузена; Ковачич, Стане (1 апреля 1989 г.). "Упругое согласование с несколькими разрешениями". Comput. График зрения. Процесс изображения. 46 (1): 1–21. Дои:10.1016 / S0734-189X (89) 80014-3. ISSN  0734-189X.
25. Гренандер, Ульф; Чоу, Юн-шён; Кинан, Дэниел Макрей (1 января 1991). Руки: теоретическое исследование биологических форм. Springer-Verlag. ISBN  9780387973869.
26. Амит, Яли; Гренандер, Ульф; Пиччони, Мауро (1 января 1991). «Реставрация структурного изображения с помощью деформируемых шаблонов». Журнал Американской статистической ассоциации. 86 (414): 376–387. Дои:10.2307/2290581. JSTOR  2290581.
27. Джи, Джеймс К .; Рейвич, Мартин; Биланюк, Л .; Хакни, Дэвид; Zimmerman, R .; Ковачич, Станислав; Байчи, Рузена К. (1 января 1991 г.). «Оценка эластичного согласования с несколькими разрешениями с использованием данных МРТ». Медицинская визуализация V: обработка изображений. 1445: 226–234. Bibcode:1991SPIE.1445..226G. Дои:10.1117/12.45220.
28. Gee, J. C .; Reivich, M .; Байчи, Р. (1993-04-01). «Упруго деформирующийся трехмерный атлас для соответствия анатомическим изображениям мозга». Журнал компьютерной томографии. 17 (2): 225–236. Дои:10.1097/00004728-199303000-00011. ISSN  0363-8715. PMID  8454749.
29. Миллер, М. Я; Christensen, G.E .; Амит, Y; Гренандер, У (1993-12-15). «Математический учебник деформируемой нейроанатомии». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 90 (24): 11944–11948. Bibcode:1993ПНАС ... 9011944М. Дои:10.1073 / пнас.90.24.11944. ISSN  0027-8424. ЧВК  48101. PMID  8265653.
30. Maintz, J. B .; Виергевер М.А. (1998-03-01). «Обзор регистрации медицинских изображений». Анализ медицинских изображений. 2 (1): 1–36. CiteSeerX  10.1.1.46.4959. Дои:10.1016 / с 1361-8415 (01) 80026-8. ISSN  1361-8415. PMID  10638851.
31. Rabbitt, Ричард Д .; Weiss, Jeffrey A .; Кристенсен, Гэри Э .; Миллер, Майкл И. (1995-01-01). «Картирование гиперупругих деформируемых шаблонов методом конечных элементов». Vision Geometry IV. 2573: 252–265. Bibcode:1995SPIE.2573..252R. Дои:10.1117/12.216419.
32. Christensen, G.E .; Rabbitt, R.D .; Миллер, М. И. (1994-03-01). «Трехмерное картирование мозга с использованием деформируемой нейроанатомии». Физика в медицине и биологии. 39 (3): 609–618. Bibcode:1994ПМБ .... 39..609С. CiteSeerX  10.1.1.46.1833. Дои:10.1088/0031-9155/39/3/022. ISSN  0031-9155. PMID  15551602.
33. Труве, Ален (1 июля 1998 г.). «Группы диффеоморфизмов и сопоставление образов в анализе изображений». Международный журнал компьютерного зрения. 28 (3): 213–221. Дои:10.1023 / А: 1008001603737. ISSN  0920-5691.
34. Avants, B.B .; Epstein, C.L .; Гроссман, М .; Джи, Дж. К. (1 февраля 2008 г.). «Симметричная диффеоморфная регистрация изображений с кросс-корреляцией: оценка автоматизированной маркировки пожилых людей и нейродегенеративного мозга». Анализ медицинских изображений. 12 (1): 26–41. Дои:10.1016 / j.media.2007.06.004. ISSN  1361-8423. ЧВК  2276735. PMID  17659998.
35. Дюпюи, Поль; Гренандер, Ульф (1998-09-01). "Вариационные задачи о потоках диффеоморфизмов для сопоставления изображений". В. Прил. Математика. LVI (3): 587–600. Дои:10.1090 / qam / 1632326. ISSN  0033-569X.
36. Бег, М. Фейсал; Миллер, Майкл I .; Труве, Ален; Юнес, Лоран (01.02.2005). "Вычисление метрических отображений большой деформации с помощью геодезических потоков диффеоморфизмов". Международный журнал компьютерного зрения. 61 (2): 139–157. Дои:10.1023 / B: VISI.0000043755.93987.aa. ISSN  0920-5691.
37. «Программное обеспечение - Том Веркаутерен». sites.google.com. Получено 2015-12-11.
38. Glaunes, J; Труве, А; Юнес, L (2004). «Диффеоморфное сопоставление распределений: новый подход к сопоставлению немаркированных точечных множеств и подмногообразий». Л .: Диффеоморфное сопоставление распределений: новый подход к сопоставлению немаркированных точечных множеств и подмногообразий.. 2. С. 712–718. CiteSeerX  10.1.1.158.4209. Дои:10.1109 / CVPR.2004.1315234. ISBN  978-0-7695-2158-9. Получено 2015-11-25.
39. Глаунес, Жанна; Цю, Аньци; Миллер, Майкл I .; Юнес, Лоран (2008-12-01). «Отображение диффеоморфной метрической кривой при больших деформациях». Международный журнал компьютерного зрения. 80 (3): 317–336. Дои:10.1007 / s11263-008-0141-9. ISSN  0920-5691. ЧВК  2858418. PMID  20419045.
40. Vaillant, Marc; Глаунес, Жоан (1 января 2005 г.). «Согласование поверхностей по токам». Труды по обработке информации в медицинской визуализации (IPMI 2005), номер 3565 в конспектах лекций по информатике. Конспект лекций по информатике. 19: 381–392. CiteSeerX  10.1.1.88.4666. Дои:10.1007/11505730_32. ISBN  978-3-540-26545-0. PMID  17354711.
41. Цао, Ян; Miller, M.I .; Уинслоу, Р.Л .; Юнес, Л. (01.10.2005). Диффеоморфное метрическое отображение ориентаций слоев с большой деформацией. Десятая Международная конференция IEEE по компьютерному зрению, 2005 г. ICCV 2005. 2. С. 1379–1386 Т. 2. CiteSeerX  10.1.1.158.1582. Дои:10.1109 / ICCV.2005.132. ISBN  978-0-7695-2334-7.
42. Цао, Ян; Miller, M.I .; Уинслоу, Р.Л .; Юнес, Л. (01.09.2005). "Диффеоморфное метрическое отображение больших деформаций векторных полей". IEEE Transactions по медицинской визуализации. 24 (9): 1216–1230. CiteSeerX  10.1.1.157.8377. Дои:10.1109 / TMI.2005.853923. ISSN  0278-0062. PMID  16156359.
43. Charon, N .; Труве, А. (1 января 2013 г.). "Варифолдное представление неориентированных форм для диффеоморфной регистрации". SIAM Journal on Imaging Sciences. 6 (4): 2547–2580. arXiv:1304.6108. Bibcode:2013arXiv1304.6108C. Дои:10.1137/130918885.
44. Миллер, Майкл; Банерджи, Аянаншу; Кристенсен, Гэри; Джоши, Саранг; Ханеджа, Навин; Гренандер, Ульф; Матежич, Лариса (01.06.1997). «Статистические методы в вычислительной анатомии». Статистические методы в медицинских исследованиях. 6 (3): 267–299. Дои:10.1177/096228029700600305. ISSN  0962-2802. PMID  9339500.
45. Гренандер, Ульф; Миллер, Майкл И. (1 декабря 1998 г.). «Вычислительная анатомия: новая дисциплина». Квартал прикладной математики. 56 (4): 617–694. Дои:10.1090 / qam / 1668732.
46. Миллер, Майкл I .; Труве, Ален; Юнес, Лоран (01.01.2002). «О метриках и уравнениях Эйлера-Лагранжа вычислительной анатомии». Ежегодный обзор биомедицинской инженерии. 4 (1): 375–405. CiteSeerX  10.1.1.157.6533. Дои:10.1146 / annurev.bioeng.4.092101.125733. PMID  12117763.
47. Миллер, Майкл I .; Цю, Аньци (2009-03-01). «Новая дисциплина вычислительной функциональной анатомии». NeuroImage. 45 (1 приложение): S16–39. Дои:10.1016 / j.neuroimage.2008.10.044. ISSN  1095-9572. ЧВК  2839904. PMID  19103297.
48. Дюпюи, Поль; Гренандер, Ульф; Миллер, Майкл И. (1 сентября 1998 г.). «Вариационные задачи о потоках диффеоморфизмов для сопоставления изображений». Квартал прикладной математики. 56 (3): 587–600. Дои:10.1090 / qam / 1632326.
49. А. Труве. Действие группы бесконечного измерения и разведки в формах. C R Acad Sci Paris Sér I Math, 321 (8): 1031–1034, 1995.
50. П. Дюпюи, У. Гренандер, М.И.Миллер, Существование решений на потоках диффеоморфизмов, Quarterly of Applied Math, 1997.
51. Бег, М. Фейсал; Миллер, Майкл I; Труве, Ален; Юнес, Лоран (2005). "Вычисление метрических отображений большой деформации через геодезические потоки диффеоморфизмов". Международный журнал компьютерного зрения. 61 (2): 139–157. Дои:10.1023 / B: VISI.0000043755.93987.aa. Получено 2016-03-20.
52. Миллер, Майкл I .; Юнес, Лоран; Труве, Ален (01.03.2014). «Диффеоморфометрия и системы геодезического позиционирования для анатомии человека». Технологии. 2 (1): 36–43. Дои:10.1142 / S2339547814500010. ISSN  2339-5478. ЧВК  4041578. PMID  24904924.
53. Миллер, Майкл I .; Труве, Ален; Юнес, Лоран (01.01.2015). "Гамильтоновы системы и оптимальное управление в вычислительной анатомии: 100 лет после Д'Арси Томпсона". Ежегодный обзор биомедицинской инженерии. 17: 447–509. Дои:10.1146 / annurev-bioeng-071114-040601. ISSN  1545-4274. PMID  26643025.
54. Гренандер, Ульф; Миллер, Майкл (2007-02-08). Теория паттернов: от представления к выводу. Издательство Оксфордского университета. ISBN  9780199297061.
55. Юнес, Лоран (25 мая 2010 г.). Формы и диффеоморфизмы | Лоран Юнес | Springer. www.springer.com. ISBN  9783642120541. Получено 2016-04-16.
56. Цао, Ян; Miller, M.I .; Мори, Сусуму; Уинслоу, Р.Л .; Юнес, Л. (01.06.2006). Диффеоморфное сопоставление тензорных изображений диффузии. Конференция по компьютерному зрению и распознаванию образов, 2006. CVPRW '06. 2006. п. 67. Дои:10.1109 / CVPRW.2006.65. ISBN  978-0-7695-2646-1. ЧВК  2920614. PMID  20711423.
57. Du, J; Goh, A; Цю, А (2012). «Диффеоморфное метрическое отображение диффузионного изображения с высоким угловым разрешением на основе римановой структуры функций распределения ориентации». IEEE Trans Med Imaging. 31 (5): 1021–1033. Дои:10.1109 / TMI.2011.2178253. PMID  22156979.
58. Бег, М. Фейсал; Миллер, Майкл I .; Труве, Ален; Юнес, Лоран (01.02.2005). "Вычисление метрических отображений большой деформации с помощью геодезических потоков диффеоморфизмов". Международный журнал компьютерного зрения. 61 (2): 139–157. Дои:10.1023 / B: VISI.0000043755.93987.aa. ISSN  0920-5691.
59. Виалар, Франсуа-Ксавье; Рисер, Лоран; Рюкерт, Даниэль; Коттер, Колин Дж. (2012-04-01). «Регистрация диффеоморфных трехмерных изображений с помощью геодезической съемки с использованием эффективного сопряженного расчета». Int. J. Comput. Vis. 97 (2): 229–241. Дои:10.1007 / s11263-011-0481-8. ISSN  0920-5691.
60. «Программное обеспечение - Стэнли Дуррлеман».
61. Эшбёрнер, Джон (2007-10-15). «Быстрый алгоритм регистрации диффеоморфных изображений». NeuroImage. 38 (1): 95–113. Дои:10.1016 / j.neuroimage.2007.07.007. PMID  17761438.
62. «Программное обеспечение - Том Веркаутерен». sites.google.com. Получено 2015-12-11.
63. «MRICloud». Университет Джона Хопкинса. Получено 1 января 2015.

дальнейшее чтение

• Ceritoglu, Can; Ван, Лэй; Селемон, Линн Д .; Чернанский, Джон Дж .; Миллер, Майкл I .; Ратнанатер, Дж. Тилак (28 мая 2010 г.). «Регистрация больших деформаций, диффеоморфных метрических карт, реконструированных трехмерных изображений гистологических срезов и изображений МРТ in vivo». Границы нейробиологии человека. 4: 43. Дои:10.3389 / fnhum.2010.00043. ISSN  1662-5161. ЧВК  2889720. PMID  20577633.