Эллиптические функции Якоби - Jacobi elliptic functions

В математика, то Эллиптические функции Якоби представляют собой набор основных эллиптические функции, и вспомогательные тета-функции, которые имеют историческое значение. Они находятся в описании движения маятник (смотрите также маятник (математика) ), а также в дизайне электронного эллиптические фильтры. Пока тригонометрические функции определены относительно окружности, эллиптические функции Якоби являются обобщением, относящимся к другим конические секции, в частности, эллипс. Отношение к тригонометрическим функциям содержится в обозначении, например, с помощью соответствующего обозначения sn за грех. Эллиптические функции Якоби используются в практических задачах чаще, чем Эллиптические функции Вейерштрасса поскольку они не требуют определения и / или понимания понятий комплексного анализа. Их представил Карл Густав Якоб Якоби  (1829 ).

Обзор

Основной прямоугольник в комплексной плоскости ты

Существует двенадцать эллиптических функций Якоби, обозначаемых pq (u, m), где p и q - любая из букв c, s, n и d. (Функции вида pp (u, m) тривиально устанавливаются равными единице для полноты записи.) ты это аргумент, и м - это параметр, оба из которых могут быть сложными.

В комплексной плоскости аргумента ты, двенадцать функций образуют повторяющуюся решетку простых полюса и нули.^[1] В зависимости от функции один повторяющийся параллелограмм или элементарная ячейка будет иметь стороны длиной 2K или 4K по действительной оси и 2K 'или 4K' по мнимой оси, где K = K (м) и K '= K ( 1-м) известны как квартальные периоды где K (.) - эллиптический интеграл первого вида. Природу элементарной ячейки можно определить, проверив «вспомогательный прямоугольник» (обычно параллелограмм), который представляет собой прямоугольник, образованный началом координат (0,0) в одном углу, и (K, K ') как диагонально противоположным. угол. Как и на диаграмме, четыре угла вспомогательного прямоугольника называются s, c, d и n и идут против часовой стрелки от начала координат. Функция pq (u, m) будет иметь ноль в углу "p" и полюс в углу "q". Двенадцать функций соответствуют двенадцати способам расположения этих полюсов и нулей в углах прямоугольника.

Когда аргумент ты и параметр м действительны, причем 0 <м<1, K и K ' будет действительным, а вспомогательный параллелограмм на самом деле будет прямоугольником, а все эллиптические функции Якоби будут иметь действительные значения на действительной прямой.

Математически эллиптические функции Якоби двоякопериодичны. мероморфный функции на комплексная плоскость. Поскольку они двоякопериодичны, они пропускаются через тор - фактически, их домен можно принять за тор, так же как косинус и синус фактически определены на окружности. Вместо одного круга у нас теперь есть произведение двух кругов, одного реального, а другого воображаемого. Комплексную плоскость можно заменить на комплексный тор. Окружность первого круга 4K а второй 4K', куда K и K'Являются квартальные периоды. Каждая функция имеет два нуля и два полюса в противоположных положениях на торе. Среди точек 0, K, K + iK′, iK′ есть один ноль и один полюс.

Тогда эллиптические функции Якоби являются единственными двояковыпериодическими, мероморфный функции, удовлетворяющие следующим трем свойствам:

• В углу p есть простой ноль, а в углу q - простой полюс.
• Шаг от p до q равен половине периода функции pqты; то есть функция pqты периодичен в направлении pq, причем период вдвое превышает расстояние от p до q. Функция pqты также периодичен в двух других направлениях с таким периодом, что расстояние от p до одного из других углов составляет четверть периода.
• Если функция pqты расширяется с точки зрения ты в одном из углов главный член разложения имеет коэффициент 1. Другими словами, главный член разложения pqты в углу р ты; главный член разложения в углу q равен 1 /ты, а главный член расширения в двух других углах равен 1.

Эллиптическая функция Якоби sn

Эллиптическая функция Якоби cn

Эллиптическая функция Якоби dn

Эллиптическая функция Якоби sc

Графики четырех эллиптических функций Якоби на комплексной плоскости ‘’ u ’’, иллюстрирующие их двойное периодическое поведение. Изображения, созданные с использованием версии раскраска домена метод.^[2] Все имеют значения k параметр равен 0,8.

Обозначение

Эллиптические функции могут быть даны в различных обозначениях, что может излишне запутать предмет. Эллиптические функции - это функции двух переменных. Первая переменная может быть указана в виде амплитуда φ, или чаще в терминах ты приведен ниже. Вторая переменная может быть задана в терминах параметр м, или как эллиптический модуль k, куда k² = м, или с точки зрения модульный угол α, где м = грех² α. Дополнения k и м определены как м ' = 1-м и ${\displaystyle k'={\sqrt {m'}}}$. Эти четыре термина используются ниже без комментариев для упрощения различных выражений.

Двенадцать эллиптических функций Якоби обычно записываются как pq (u, m) где ‘’ p ’’ и ‘’ q ’’ - любая из букв ‘’ ’c’ ’,‘ ’s’ ’,‘ ’n’ ’и‘ ’d’ ’. Функции формы pp (u, m) тривиально установлены на единицу для полноты записи. «Основные» функции обычно считаются сп (и, м), sn (u, m) и дн (и, м) из которых могут быть получены все другие функции, и выражения часто записываются исключительно в терминах этих трех функций, однако различные симметрии и обобщения часто наиболее удобно выражать с использованием полного набора. (Это обозначение связано с Гудерманн и Глейшер и не является оригинальной записью Якоби.)

Параметр

Функции нотационно связаны друг с другом правилом умножения: (аргументы подавлены)

${\displaystyle \operatorname {pq} \,\,\,\,\operatorname {p'q'} =\operatorname {pq'} \,\,\,\operatorname {p'q} }$

из которых могут быть выведены другие часто используемые отношения:

${\displaystyle \operatorname {pr} /\operatorname {qr} =\operatorname {pq} }$

${\displaystyle \operatorname {pr} \,\,\operatorname {rq} =\operatorname {pq} }$

${\displaystyle 1/\operatorname {qp} =\operatorname {pq} }$

Правило умножения немедленно следует из отождествления эллиптических функций с Тета-функции Невилля^[3]

${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)={\frac {\theta _{p}(u,m)}{\theta _{q}(u,m)}}}$

Определение как обратное к эллиптическим интегралам

Модель амплитуды (измеренной по вертикальной оси) как функции независимых переменных ты и k

Приведенное выше определение в терминах уникальных мероморфных функций, удовлетворяющих определенным свойствам, является довольно абстрактным. Есть более простое, но полностью эквивалентное определение, дающее эллиптические функции как обратные неполному эллиптический интеграл первого вида. Позволять

${\displaystyle u=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}\,.}$

Затем эллиптический синус snты (Латинский: синус амплитудный) дан кем-то

${\displaystyle \operatorname {sn} u=\sin \varphi \,}$

и эллиптический косинус спты (Латинский: косинус амплитуды) дан кем-то

${\displaystyle \operatorname {cn} u=\cos \varphi }$

и дельта-амплитуда днты (Латинский: дельта-амплитуда)

${\displaystyle \operatorname {dn} u={\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}\,.}$

Здесь угол ${\displaystyle \varphi }$ называется амплитуда. Иногда днты = Δ (ты) называется дельта-амплитуда. В приведенном выше значении м - свободный параметр, обычно принимаемый за действительный, 0 ≤м ≤ 1, и поэтому эллиптические функции можно рассматривать как заданные двумя переменными, амплитудой ${\displaystyle \varphi }$ а параметрм.

Остальные девять эллиптических функций легко построить из трех вышеупомянутых и приведены в следующем разделе.

Обратите внимание, что когда ${\displaystyle \varphi =\pi /2}$, который ты тогда равно четверть периода  K.

Определение как тригонометрия: эллипс Якоби

Сюжет эллипса Якоби (Икс²+у²/ b²=1, б вещественный) и двенадцать эллиптических функций Якоби pq (u, m) для конкретных значений угла φ и параметра б. Сплошная кривая - эллипс, с м= 1-1 / б² и ты=F (φ, м) куда F (.,.) это эллиптический интеграл первого вида. Пунктирная кривая - единичный круг. Касательные линии от круга и эллипса в точке x = cd, пересекающие ось x в точке постоянного тока, показаны светло-серым цветом.

${\displaystyle \cos \varphi ,\sin \varphi }$ определены на единичной окружности с радиусом р = 1 и угол ${\displaystyle \varphi =}$ длина дуги единичного круга, измеренная от положительного Икс-ось. Аналогичным образом эллиптические функции Якоби определяются на единичном эллипсе^{[нужна цитата ]}, с а = 1. Пусть

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\quad b>1,\\&m=1-{\frac {1}{b^{2}}},\quad 0<m<1,\\&x=r\cos \varphi ,\quad y=r\sin \varphi \end{aligned}}}$

тогда:

${\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}}\,.}$

Для каждого угла ${\displaystyle \varphi }$ параметр

${\displaystyle u=u(\varphi ,m)=\int _{0}^{\varphi }r(\theta ,m)\,d\theta }$

вычисляется. На единичном круге (${\displaystyle a=b=1}$), ${\displaystyle u}$ будет длиной дуги. ${\displaystyle u}$ не несет прямой геометрической интерпретации в эллиптическом случае, он оказывается параметром, входящим в определение эллиптических функций. ${\displaystyle P=(x,y)=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}$ будет точкой на эллипсе, и пусть ${\displaystyle P'=(x',y')=(\cos \phi ,\sin \phi )}$ быть точкой, где единичный круг пересекает линию между ${\displaystyle P}$ и происхождение ${\displaystyle O}$Тогда знакомые отношения из единичного круга:

${\displaystyle x'=\cos \varphi ,\quad y'=\sin \varphi }$

прочтите эллипс:

${\displaystyle x'=\operatorname {cn} (u,m),\quad y'=\operatorname {sn} (u,m).}$

Итак, проекции точки пересечения ${\displaystyle P'}$ линии ${\displaystyle OP}$ с единичным кругом на Икс- и у-акси просто ${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)}$ и ${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)}$. Эти проекции можно интерпретировать как «определение как тригонометрию». Короче:

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)={\frac {x(u,m)}{r(u,m)}},\quad \operatorname {sn} (u,m)={\frac {y(u,m)}{r(u,m)}},\quad \operatorname {dn} (u,m)={\frac {1}{r(u,m)}}.}$

Для ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ значение точки ${\displaystyle P}$ с ${\displaystyle u}$ и параметр ${\displaystyle m}$ после вставки отношения получаем:

${\displaystyle r(\varphi ,m)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,m)}}}$

в:${\displaystyle x=r(\varphi ,m)\cos(\varphi ),y=r(\varphi ,m)\sin(\varphi )}$ который:

${\displaystyle x={\frac {\operatorname {cn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,m)}{\operatorname {dn} (u,m)}}.}$

Последние отношения для Икс- и у-координаты точек единичного эллипса можно рассматривать как обобщение соотношений ${\displaystyle x=\cos \varphi ,y=\sin \varphi }$ для координат точек на единичной окружности.

В следующей таблице приведены выражения для всех эллиптических функций Якоби pq (u, m) в переменных (Икс,у,р) и (φ, дн) с ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

Эллиптические функции Якоби pq [u, m] как функции от {x, y, r} и {φ, dn}

		q
		c	s	п	d
п
	c	1	${\displaystyle x/y=\cot(\phi )}$	${\displaystyle x/r=\cos(\phi )}$	${\displaystyle x=\cos(\phi )/dn}$
	s	${\displaystyle y/x=\tan(\phi )}$	1	${\displaystyle y/r=\sin(\phi )}$	${\displaystyle y=\sin(\phi )/dn}$
	п	${\displaystyle r/x=\sec(\phi )}$	${\displaystyle r/y=\csc(\phi )}$	1	${\displaystyle r=1/dn}$
	d	${\displaystyle 1/x=dn\sec(\phi )}$	${\displaystyle 1/y=dn\csc(\phi )}$	${\displaystyle 1/r=dn}$	1

Определение в терминах тета-функций Якоби

Эквивалентно, эллиптические функции Якоби могут быть определены в терминах его тета-функции. Если мы сокращаем ${\displaystyle \vartheta (0;\tau )}$ в качестве ${\displaystyle \vartheta }$, и ${\displaystyle \vartheta _{01}(0;\tau ),\vartheta _{10}(0;\tau ),\vartheta _{11}(0;\tau )}$ соответственно как ${\displaystyle \vartheta _{01},\vartheta _{10},\vartheta _{11}}$ (в тета-константы) тогда эллиптический модуль k является ${\displaystyle k=\left({\vartheta _{10} \over \vartheta }\right)^{2}}$. Если мы установим ${\displaystyle u=\pi \vartheta ^{2}z}$, у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sn} (u;k)&=-{\vartheta \vartheta _{11}(z;\tau ) \over \vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\tau )}\\[7pt]\operatorname {cn} (u;k)&={\vartheta _{01}\vartheta _{10}(z;\tau ) \over \vartheta _{10}\vartheta _{01}(z;\tau )}\\[7pt]\operatorname {dn} (u;k)&={\vartheta _{01}\vartheta (z;\tau ) \over \vartheta \vartheta _{01}(z;\tau )}\end{aligned}}}$

Поскольку функции Якоби определены через эллиптический модуль ${\displaystyle k(\tau )}$, нам нужно инвертировать это и найти ${\displaystyle \tau }$ с точки зрения ${\displaystyle k}$. Мы начинаем с ${\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}}$, то дополнительный модуль. В зависимости от ${\displaystyle \tau }$ это

${\displaystyle k'(\tau )=\left({\vartheta _{01} \over \vartheta }\right)^{2}.}$

Давайте сначала определим

${\displaystyle \ell ={1 \over 2}{1-{\sqrt {k'}} \over 1+{\sqrt {k'}}}={1 \over 2}{\vartheta -\vartheta _{01} \over \vartheta +\vartheta _{01}}.}$

Затем определите ном в качестве ${\displaystyle q=\exp(\pi i\tau )}$ и расширить ${\displaystyle \ell }$ как степенной ряд в номе ${\displaystyle q}$, мы получаем

${\displaystyle \ell ={q+q^{9}+q^{25}+\cdots \over 1+2q^{4}+2q^{16}+\cdots }.}$

Реверс серии теперь дает

${\displaystyle q=\ell +2\ell ^{5}+15\ell ^{9}+150\ell ^{13}+1707\ell ^{17}+20910\ell ^{21}+268616\ell ^{25}+\cdots .}$

Поскольку мы можем свести к случаю, когда мнимая часть ${\displaystyle \tau }$ Больше или равно ${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$, можно принять абсолютное значение ${\displaystyle q}$ меньше или равно ${\displaystyle \exp(-\pi {\sqrt {3}}/2)\approx 0.0658}$; для таких малых значений приведенный выше ряд сходится очень быстро и легко позволяет нам найти подходящее значение для ${\displaystyle q}$.

Определение в терминах тета-функций Невилля

Эллиптические функции Якоби могут быть определены очень просто с помощью Тета-функции Невилля:^[4]

${\displaystyle pq(u,m)={\frac {\theta _{p}(u,m)}{\theta _{q}(u,m)}}}$

Эти тождества часто упрощают упрощение сложных произведений эллиптических функций Якоби.

Преобразования Якоби

Мнимые преобразования Якоби

График вырожденной кривой Якоби (x²+ y²/ b²= 1, b = бесконечность) и двенадцать эллиптических функций Якоби pq (u, 1) для конкретного значения угла φ. Сплошная кривая - вырожденный эллипс (x²= 1) с m = 1 и u = F (φ, 1), где F (.,.) - эллиптический интеграл первого рода .. Пунктирная кривая - единичный круг. Поскольку это функции Якоби для m = 0 (круговые тригонометрические функции), но с мнимыми аргументами, они соответствуют шести гиперболическим тригонометрическим функциям.

Мнимые преобразования Якоби связывают различные функции мнимой переменной я ты или, что то же самое, отношения между различными значениями м параметр. По основным функциям:^[5]:506

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)=\operatorname {nc} (i\,u,1\!-\!m)}$

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)=-i\operatorname {sc} (i\,u,1\!-\!m)}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)=\operatorname {dc} (i\,u,1\!-\!m)}$

Используя правило умножения, все остальные функции могут быть выражены в терминах указанных выше трех. В общем случае преобразования можно записать как ${\displaystyle pq(u,m)=\gamma _{pq}pq'(i\,u,1\!-\!m)}$. В следующей таблице приведены ${\displaystyle \gamma _{pq}pq'(i\,u,1\!-\!m)}$ для указанного pq (ты, м).^[4] (Аргументы ${\displaystyle (i\,u,1\!-\!m)}$ подавлены)

Якоби Воображаемые преобразования ${\displaystyle \gamma _{pq}\operatorname {pq} '(i\,u,1\!-\!m)}$

		q
		c	s	п	d
п
	c	1	я нс	NC	nd
	s	-i sn	1	-i sc	-i sd
	п	сп	я cs	1	CD
	d	дн	я ds	Округ Колумбия	1

Поскольку гиперболические тригонометрические функции пропорциональны круговым тригонометрическим функциям с мнимыми аргументами, из этого следует, что функции Якоби будут давать гиперболические функции для m = 1.^[3]:249 На рисунке кривая Якоби выродилась в две вертикальные линии в точке Икс= 1 и Икс=-1.

Реальные преобразования Якоби

Реальные преобразования Якоби^[3]:308 дают выражения для эллиптических функций в терминах с альтернативными значениями м. В общем случае преобразования можно записать как ${\displaystyle pq(u,m)=\gamma _{pq}pq'(k\,u,1/m)}$. В следующей таблице приведены ${\displaystyle \gamma _{pq}pq'(k\,u,1/m)}$ для указанного pq (ты, м).^[4] (Аргументы ${\displaystyle (k\,u,1/m)}$ подавлены)

Якоби Реальные преобразования ${\displaystyle \gamma _{pq}\operatorname {pq} '(k\,u,1/m)}$

		q
		c	s	п	d
п
	c	1	${\displaystyle k}$ ds	дн	Округ Колумбия
	s	${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$ SD	1	${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$ sn	${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$ sc
	п	nd	${\displaystyle k}$ нс	1	NC
	d	CD	${\displaystyle k}$ cs	сп	1

Другие преобразования Якоби

Реальные и мнимые преобразования Якоби можно комбинировать различными способами, чтобы получить еще три простых преобразования.^[3]:214 Реальные и мнимые преобразования - это два преобразования в группе (D₃ или же Ангармоническая группа ) шести преобразований. Если

${\displaystyle \mu _{R}(m)=1/m}$

это преобразование для м параметр в реальном преобразовании, и

${\displaystyle \mu _{I}(m)=1-m=m'}$

трансформация м в воображаемом преобразовании другие преобразования могут быть построены путем последовательного применения этих двух основных преобразований, что дает только три дополнительных возможности:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{IR}(m)&=&\mu _{I}(\mu _{R}(m))&=&-m'/m\\\mu _{RI}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(m))&=&1/m'\\\mu _{RIR}(m)&=&\mu _{R}(\mu _{I}(\mu _{R}(m)))&=&-m/m'\end{aligned}}}$

Эти пять преобразований вместе с тождественным преобразованием (μ_U(m) = m) дают 6-элементную группу. Что касается эллиптических функций Якоби, общее преобразование можно выразить с помощью всего трех функций:

${\displaystyle \operatorname {cs} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {cs'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

${\displaystyle \operatorname {ns} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ns'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

${\displaystyle \operatorname {ds} (u,m)=\gamma _{i}\operatorname {ds'} (\gamma _{i}u,\mu _{i}(m))}$

куда я = U, I, IR, R, RI или RIR, идентифицирующее преобразование, γ_я - коэффициент умножения, общий для этих трех функций, а штрих указывает преобразованную функцию. Остальные девять преобразованных функций могут быть построены из трех вышеупомянутых. Причина, по которой функции cs, ns, ds были выбраны для представления преобразования, заключается в том, что другие функции будут отношениями этих трех (за исключением их обратных), и коэффициенты умножения будут сокращаться.

В следующей таблице перечислены коэффициенты умножения для трех функций ps, преобразованные м 's и имена преобразованных функций для каждого из шести преобразований.^[3]:214 (Как обычно, k²= m, 1-k²= k₁²= m 'и аргументы (${\displaystyle \gamma _{i}u,\mu _{i}(m)}$) подавлены)

Параметры шести преобразований

Преобразование я	${\displaystyle \gamma _{i}}$	${\displaystyle \mu _{i}(m)}$	cs '	нс '	ds '
U	1	м	cs	нс	ds
я	я	м '	нс	cs	ds
ИК	я к	-м '/ м	ds	cs	нс
р	k	1 / м	ds	нс	cs
RI	я к1	1 / м '	нс	ds	cs
RIR	k1	-м / м '	cs	ds	нс

Так, например, мы можем построить следующую таблицу для преобразования RIR.^[4] Преобразование обычно пишется ${\displaystyle \operatorname {pq} (u,m)=\gamma _{pq}\,\operatorname {pq'} (k'\,u,-m/m')}$ (Аргументы ${\displaystyle (k'\,u,-m/m')}$ подавлены)

Преобразование RIR ${\displaystyle \gamma _{pq}\,\operatorname {pq'} (k'\,u,-m/m')}$

		q
		c	s	п	d
п
	c	1	k 'cs	CD	сп
	s	${\displaystyle {\frac {1}{k'}}}$ sc	1	${\displaystyle {\frac {1}{k'}}}$ SD	${\displaystyle {\frac {1}{k'}}}$ sn
	п	Округ Колумбия	${\displaystyle k'}$ ds	1	дн
	d	NC	${\displaystyle k'}$ нс	nd	1

Ценность преобразований Якоби состоит в том, что любой набор эллиптических функций Якоби с любым комплексным параметром м можно преобразовать в другой набор, для которого 0 <=м<= 1 и для реальных значений ты, значения функции будут действительными.^{[3]:стр.215}

Гипербола Якоби

Сюжет гиперболы Якоби (Икс²+у²/ b²=1, б мнимой) и двенадцать эллиптических функций Якоби pq (u, m) для конкретных значений угла φ и параметра б. Сплошная кривая - гипербола, с м= 1-1 / б² и ты=F (φ, м) куда F (.,.) это эллиптический интеграл первого вида. Пунктирная кривая - единичный круг. Для треугольника ds-dcσ= Sin (φ) Cos (φ).

Введя комплексные числа, нашему эллипсу связана гипербола:

${\displaystyle x^{2}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

от применения воображаемого преобразования Якоби^[4] к эллиптическим функциям в приведенном выше уравнении для Икс иу.

${\displaystyle x={\frac {1}{\operatorname {dn} (u,1-m)}},\quad y={\frac {\operatorname {sn} (u,1-m)}{\operatorname {dn} (u,1-m)}}}$

Отсюда следует, что можно положить ${\displaystyle x=\operatorname {dn} (u,1-m),y=\operatorname {sn} (u,1-m)}$. Итак, у нашего эллипса есть двойной эллипс, в котором m заменено на 1-m. Это приводит к упомянутому во введении комплексному тору.^[6] Как правило, m может быть комплексным числом, но когда m действительное и m <0, кривая представляет собой эллипс с большой осью в направлении x. При m = 0 кривая представляет собой круг, а при 0 1 кривая представляет собой гиперболу. Когда m является комплексным, но не действительным, x или y или оба являются комплексными, и кривая не может быть описана на реальной диаграмме x-y.

Второстепенные функции

Изменение порядка двух букв в имени функции приводит к получению обратных значений для трех функций, указанных выше:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ns} (u)={\frac {1}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {nc} (u)={\frac {1}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {nd} (u)={\frac {1}{\operatorname {dn} (u)}}.\end{aligned}}}$

Точно так же отношения трех основных функций соответствуют первой букве числителя, за которой следует первая буква знаменателя:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sc} (u)={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {sd} (u)={\frac {\operatorname {sn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}},\qquad \operatorname {dc} (u)={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {cn} (u)}},\qquad \operatorname {ds} (u)={\frac {\operatorname {dn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {cs} (u)={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {sn} (u)}},\qquad \operatorname {cd} (u)={\frac {\operatorname {cn} (u)}{\operatorname {dn} (u)}}.\end{aligned}}}$

Более компактно мы имеем

${\displaystyle \operatorname {pq} (u)={\frac {\operatorname {pn} (u)}{\operatorname {qn} (u)}}}$

где p и q - любая из букв s, c, d.

Периодичность, полюса и остатки

Графики фазы для двенадцати эллиптических функций Якоби pq (u, m) как функции комплексного аргумента u с указанием полюсов и нулей. Графики представляют собой один полный цикл в действительном и мнимом направлениях, причем цветная часть указывает фазу в соответствии с цветовым кругом в правом нижнем углу (который заменяет тривиальную функцию dd). Области с амплитудой ниже 1/3 окрашены в черный цвет, что примерно указывает на положение нуля, а области с амплитудой выше 3 окрашены в белый цвет, что примерно указывает на положение полюса. На всех графиках используется m = 2/3, где K = K (m), K '= K (1-m), K (.) - полный эллиптический интеграл первого рода. Стрелки на полюсах указывают направление нулевой фазы. Стрелки вправо и влево означают положительные и отрицательные действительные остатки соответственно. Стрелки вверх и вниз означают положительные и отрицательные мнимые остатки соответственно.

В комплексной плоскости аргумента тыэллиптические функции Якоби образуют повторяющийся узор полюсов (и нулей). Все остатки полюсов имеют одинаковую амплитуду, различаются только знаком. Каждая функция pq (u, m) имеет обратную функцию qp (u, m), в которой меняются местами полюсы и нули. Периоды повторения обычно различны в реальном и мнимом направлениях, отсюда и использование термина «двоякопериодический» для их описания.

Двойная периодичность эллиптических функций Якоби может быть выражена как:

${\displaystyle \operatorname {pq} (u+2\alpha K(m)+2i\beta K(1-m)\,,\,m)=(-1)^{\gamma }\operatorname {pq} (u,m)}$

где α и β - любая пара целых чисел. K (.) - полный эллиптический интеграл первого рода, также известный как четверть периода. Степень отрицательной единицы (γ) приведена в следующей таблице:

${\displaystyle \gamma }$

		q
		c	s	п	d
п
	c	0	β	α + β	α
	s	β	0	α	α + β
	п	α + β	α	0	β
	d	α	α + β	β	0

Когда коэффициент (-1)^γ равно -1, уравнение выражает квазипериодичность. Когда он равен единице, он выражает полную периодичность. Можно увидеть, например, что для записей, содержащих только α, когда α четно, полная периодичность выражается приведенным выше уравнением, а функция имеет полные периоды 4K (m) и 2iK (1-m). Аналогично, функции с элементами, содержащими только β, имеют полные периоды 2K (m) и 4iK (1-m), а функции с α + β имеют полные периоды 4K (m) и 4iK (1-m).

На диаграмме справа, на которой изображена одна повторяющаяся единица для каждой функции, с указанием фазы вместе с положением полюсов и нулей, можно отметить ряд закономерностей: обратная сторона каждой функции противоположна диагонали и имеет тот же размер. элементарная ячейка с заменой полюсов и нулей. Расположение полюса и нуля во вспомогательном прямоугольнике, образованном точками (0,0), (K, 0), (0, K ') и (K, K'), соответствует описанию расположения полюса и нуля, приведенному в введение выше. Кроме того, размер белых овалов, обозначающих полюса, является приблизительной мерой амплитуды остатка для этого полюса. Остатки полюсов, ближайших к началу координат на рисунке (то есть во вспомогательном прямоугольнике), перечислены в следующей таблице:

Вычеты эллиптических функций Якоби.

		q
		c	s	п	d
п
	c		1	${\displaystyle -{\frac {i}{k}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{k}}}$
	s	${\displaystyle -{\frac {1}{k'}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$	${\displaystyle -{\frac {i}{k\,k'}}}$
	п	${\displaystyle -{\frac {1}{k'}}}$	1		${\displaystyle -{\frac {i}{k'}}}$
	d	-1	1	${\displaystyle -i}$

Если применимо, полюса, смещенные вверх на 2К или вправо на 2К ', имеют такое же значение, но с обратными знаками, в то время как полюсы, расположенные напротив по диагонали, имеют такое же значение. Обратите внимание, что полюса и нули на левом и нижнем краях считаются частью элементарной ячейки, а полюсы на верхнем и правом краях - нет.

Соотношения между квадратами функций

Отношения между квадратами функций могут быть получены из двух основных соотношений (аргументы (ты,м) подавлено):

${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+\operatorname {sn} ^{2}=1}$

${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}+m'\operatorname {sn} ^{2}=\operatorname {dn} ^{2}}$

куда м + м '= 1 и м = k². Умножение на любую функцию вида nq дает более общие уравнения:

${\displaystyle \operatorname {cq} ^{2}+\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {nq} ^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {cq} ^{2}+m'\operatorname {sq} ^{2}=\operatorname {dq} ^{2}}$

С q=d, они тригонометрически соответствуют уравнениям для единичной окружности (${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$) и единичный эллипс (${\displaystyle x^{2}+m'y^{2}=1}$), с x = cd, y = sd и г = nd. Используя правило умножения, можно вывести другие отношения. Например:

${\displaystyle -\operatorname {dn} ^{2}+m'=-m\operatorname {cn} ^{2}=m\operatorname {sn} ^{2}-m}$

${\displaystyle -m'\operatorname {nd} ^{2}+m'=-mm'\operatorname {sd} ^{2}=m\operatorname {cd} ^{2}-m}$

${\displaystyle m'\operatorname {sc} ^{2}+m'=m'\operatorname {nc} ^{2}=\operatorname {dc} ^{2}-m}$

${\displaystyle \operatorname {cs} ^{2}+m'=\operatorname {ds} ^{2}=\operatorname {ns} ^{2}-m}$

Теоремы сложения

Функции удовлетворяют двум квадратным соотношениям

${\displaystyle \operatorname {cn} ^{2}(u,k)+\operatorname {sn} ^{2}(u,k)=1,\,}$

${\displaystyle \operatorname {dn} ^{2}(u,k)+k^{2}\operatorname {sn} ^{2}(u,k)=1.\,}$

Отсюда мы видим, что (cn, sn, dn) параметризует эллиптическая кривая который является пересечением двух квадрики определяется двумя приведенными выше уравнениями. Теперь мы можем определить групповой закон для точек на этой кривой с помощью формул сложения для функций Якоби^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cn} (x+y)&={\operatorname {cn} (x)\operatorname {cn} (y)-\operatorname {sn} (x)\operatorname {sn} (y)\operatorname {dn} (x)\operatorname {dn} (y) \over {1-k^{2}\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {sn} (x+y)&={\operatorname {sn} (x)\operatorname {cn} (y)\operatorname {dn} (y)+\operatorname {sn} (y)\operatorname {cn} (x)\operatorname {dn} (x) \over {1-k^{2}\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}},\\[8pt]\operatorname {dn} (x+y)&={\operatorname {dn} (x)\operatorname {dn} (y)-k^{2}\operatorname {sn} (x)\operatorname {sn} (y)\operatorname {cn} (x)\operatorname {cn} (y) \over {1-k^{2}\operatorname {sn} ^{2}(x)\operatorname {sn} ^{2}(y)}}.\end{aligned}}}$

Формулы двойного угла можно легко получить из приведенных выше уравнений, задав Икс=у.^[1] Формулы половинного угла^[4][1] все имеют форму:

${\displaystyle \operatorname {pq} ({\tfrac {1}{2}}u,m)^{2}=f_{p}/f_{q}}$

куда:

${\displaystyle f_{c}=\operatorname {cn} (u,m)+\operatorname {dn} (u,m)}$

${\displaystyle f_{s}=1-\operatorname {cn} (u,m)}$

${\displaystyle f_{n}=1+\operatorname {dn} (u,m)}$

${\displaystyle f_{d}=(1+\operatorname {dn} (u,m))-m(1-\operatorname {cn} (u,m))}$

Расширение по номеру

Пусть ном быть ${\displaystyle q=\exp(-\pi K'/K)}$ и пусть аргумент будет ${\displaystyle v=\pi u/(2K)}$. Тогда функции имеют разложения как Серия Ламберта

${\displaystyle \operatorname {sn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1-q^{2n+1}}}\sin((2n+1)v),}$

${\displaystyle \operatorname {cn} (u)={\frac {2\pi }{K{\sqrt {m}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n+1/2}}{1+q^{2n+1}}}\cos((2n+1)v),}$

${\displaystyle \operatorname {dn} (u)={\frac {\pi }{2K}}+{\frac {2\pi }{K}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1+q^{2n}}}\cos(2nv).}$

Эллиптические функции Якоби как решения нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

В производные из трех основных эллиптических функций Якоби:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sn} (z)=\operatorname {cn} (z)\operatorname {dn} (z),}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cn} (z)=-\operatorname {sn} (z)\operatorname {dn} (z),}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {dn} (z)=-k^{2}\operatorname {sn} (z)\operatorname {cn} (z).}$

Их можно использовать для получения производных всех других функций, как показано в таблице ниже (аргументы (u, m) подавлены):

Производные ${\displaystyle {\frac {d}{du}}\operatorname {pq} (u,m)}$

		q
		c	s	п	d
п
	c	0	-ds нс	-dn sn	-м 'и сд
	s	dc nc	0	cn dn	cd nd
	п	dc sc	-cs ds	0	м cd sd
	d	m 'nc sc	-cs нс	-m cn sn	0

С теоремы сложения выше и для данного k с 0 <k <1 основные функции, следовательно, являются решениями следующих нелинейных обыкновенные дифференциальные уравнения:

• ${\displaystyle \operatorname {sn} (x)}$ решает дифференциальные уравнения

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1+k^{2})y-2k^{2}y^{3}=0}$

и

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}y^{2})}$

• ${\displaystyle \operatorname {cn} (x)}$ решает дифференциальные уравнения

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}+(1-2k^{2})y+2k^{2}y^{3}=0}$

и

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(1-y^{2})(1-k^{2}+k^{2}y^{2})}$

• ${\displaystyle \operatorname {dn} (x)}$ решает дифференциальные уравнения

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}-(2-k^{2})y+2y^{3}=0}$

и

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}=(y^{2}-1)(1-k^{2}-y^{2})}$

Аппроксимация через гиперболические функции

Эллиптические функции Якоби можно разложить до гиперболических функций. Когда ${\displaystyle m}$ близко к единице, так что ${\displaystyle m'^{2}}$ и высшие силы ${\displaystyle m'}$ можно пренебречь, имеем:

• sn (ты):

${\displaystyle \operatorname {sn} (u,m)\approx \tanh(u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} ^{2}(u).}$

• сп (ты):

${\displaystyle \operatorname {cn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)-{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\tanh u\operatorname {sech} (u).}$

• дн (ты):

${\displaystyle \operatorname {dn} (u,m)\approx \operatorname {sech} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)+u)\tanh(u)\operatorname {sech} (u).}$

• являюсь(ты):

${\displaystyle \operatorname {am} (u,m)\approx \operatorname {gd} (u)+{\frac {1}{4}}m'(\sinh(u)\cosh(u)-u)\operatorname {sech} (u).}$

Обратные функции

Обратные к эллиптическим функциям Якоби можно определить аналогично обратные тригонометрические функции; если ${\displaystyle x=\operatorname {sn} (\xi ,k)}$, ${\displaystyle \xi =\mathrm {arcsn} (x,k)}$. Их можно представить в виде эллиптических интегралов,^[7][8][9] найдены представления степенного ряда.^[10][1]

• ${\displaystyle \mathrm {arcsn} \,(x,k)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$
• ${\displaystyle \mathrm {arccn} \,(x,k)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}+k^{2}t^{2})}}}}$
• ${\displaystyle \mathrm {arcdn} \,(x,k)=\int _{x}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(t^{2}+k^{2}-1)}}}}$

Проекция карты

В Квинкунциальная проекция Пирса это картографическая проекция на основе эллиптических функций Якоби.

Смотрите также

• Эллиптическая кривая
• Отображение Шварца – Кристоффеля
• Симметричная форма Карлсона
• Тета-функция Якоби
• Рамануджан тета-функция
• Эллиптические функции Диксона
• Эллиптические функции Абеля
• Эллиптические функции Вейерштрасса

Примечания

1. Olver, F. W. J .; и др., ред. (2017-12-22). «Цифровая библиотека математических функций NIST (версия 1.0.17)». Национальный институт стандартов и технологий. Получено 2018-02-26.
2. http://nbviewer.ipython.org/github/empet/Math/blob/master/DomainColoring.ipynb
3. Невилл, Эрик Гарольд (1944). Эллиптические функции Якоби. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета.
4. «Введение в эллиптические функции Якоби». Сайт функций Wolfram. Wolfram Research, Inc., 2018 г.. Получено 7 января, 2018.
5. Уиттакер, E.T.; Уотсон, Г. (1940). Курс современного анализа. Нью-Йорк, США: The MacMillan Co. ISBN  978-0-521-58807-2.
6. https://paramanands.blogspot.co.uk/2011/01/elliptic-functions-complex-variables.html#.WlHhTbp2t9A
7. Reinhardt, W. P .; Уокер, П. Л. (2010), «§22.15 Обратные функции», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248
8. Эрхардт, Вольфганг. «Специальные функции AMath и DAMath: справочное руководство и примечания по реализации» (PDF). п. 42. Архивировано с оригинал (PDF) 31 июля 2016 г.. Получено 17 июля 2013.
9. Byrd, P.F .; Фридман, доктор медицины (1971). Справочник по эллиптическим интегралам для инженеров и ученых (2-е изд.). Берлин: Springer-Verlag.
10. Карлсон, Б.С. (2008). «Степенный ряд для обратных якобианских эллиптических функций» (PDF). Математика вычислений. 77 (263): 1615–1621. Дои:10.1090 / s0025-5718-07-02049-2. Получено 17 июля 2013.

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 16». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 569. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253.
• Н. И. Ахиезер, Элементы теории эллиптических функций. (1970) Москва, в переводе на английский как Переводы математических монографий AMS Том 79 (1990) AMS, Род-Айленд ISBN  0-8218-4532-2
• А. К. Диксон Элементарные свойства эллиптических функций с примерами (Макмиллан, 1894 г.)
• Альфред Джордж Гринхилл Приложения эллиптических функций (Лондон, Нью-Йорк, Макмиллан, 1892 г.)
• Х. Хэнкок Лекции по теории эллиптических функций (Нью-Йорк, J. Wiley & sons, 1910 г.)
• Якоби, К. Г. Дж. (1829 г.), Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (на латыни), Кенигсберг, ISBN  978-1-108-05200-9, Перепечатано издательством Cambridge University Press, 2012 г.
• Рейнхардт, Уильям П .; Уокер, Питер Л. (2010), «Эллиптические функции Якоби», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248
• (На французском) П. Аппель и Э. Лакур Принципы теории эллиптических функций и приложений (Париж, Готье Виллар, 1897 г.)
• (На французском) Г. Х. Халфен Traité des fonctions elliptiques et de leurs в приложениях (том 1) (Париж, Готье-Виллар, 1886–1891)
• (На французском) Г. Х. Халфен Traité des fonctions elliptiques et de leurs в приложениях (том 2) (Париж, Готье-Виллар, 1886–1891)
• (На французском) Г. Х. Халфен Traité des fonctions elliptiques et de leurs, приложения (том 3) (Париж, Готье-Виллар, 1886–1891)
• (На французском) Дж. Таннери и Дж. Молк Eléments de la théorie des fonctions elliptiques. Том I, Введение. Рассчитать différentiel. Ire partie (Париж: Gauthier-Villars et fils, 1893 г.)
• (На французском) Дж. Таннери и Дж. Молк Eléments de la théorie des fonctions elliptiques. Том II, Calcul différentiel. IIe партия (Париж: Gauthier-Villars et fils, 1893 г.)
• (На французском) Дж. Таннери и Дж. Молк Eléments de la théorie des fonctions elliptiques. Том III, Интегральный расчет. Ire partie, Théorèmes généraux. Инверсия (Париж: Gauthier-Villars et fils, 1893 г.)
• (На французском) Дж. Таннери и Дж. Молк Eléments de la théorie des fonctions elliptiques. Том IV, Интегральный расчет. IIe сторона, Приложения (Париж: Gauthier-Villars et fils, 1893 г.)
• (На французском) К. Брио и Ж. К. Буке Теория эллиптических функций (Париж: Готье-Виллар, 1875 г.)

внешняя ссылка

• «Эллиптические функции Якоби», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Эллиптические функции Якоби». MathWorld.
• Эллиптические функции и эллиптические интегралы на YouTube, лекция Уильяма А. Швальма (4 часа)