Эллиптические функции Абеля - Abel elliptic functions

Графическое изображение эллиптической функции, значения которой обозначены цветами. Они периодически повторяются в двух направлениях комплексная плоскость.

Эллиптические функции Абеля находятся голоморфные функции одного комплексная переменная и с два периода. Они были впервые созданы Нильс Хенрик Абель и являются обобщением тригонометрические функции. Поскольку они основаны на эллиптические интегралы, они были первыми примерами эллиптические функции. Вскоре после этого аналогичные функции были определены Карл Густав Якоби. Несмотря на то, что функции Абеля имеют ряд теоретических преимуществ, Эллиптические функции Якоби стали стандартом. Это может быть связано с тем фактом, что Авель умер всего через два года после того, как представил их, в то время как Якоби мог продолжать свое исследование их на протяжении всей своей жизни. Обе эллиптические функции Абеля и Якоби могут быть получены из более общей формулировки, которая позже была дана формулой Карл Вейерштрасс исходя из их двойной периодичности.

История

Первые эллиптические функции были найдены Карл Фридрих Гаусс около 1795 г. в связи с его расчетом лемниската длина дуги, но впервые опубликовано после его смерти.^[1] Это частные случаи общего, эллиптические функции которые были впервые исследованы Авель в 1823 году, когда он был еще студентом.^[2] Его отправной точкой были эллиптические интегралы которые были подробно изучены Адриан-Мари Лежандр. Через год после того, как Абель смог сообщить, что у его новых функций было два периоды.^[3] Особенно это свойство делало их интереснее обычных. тригонометрические функции у которых есть только один период. В частности, это означало, что они должны быть сложные функции которые в то время были еще в зачаточном состоянии.

В последующие годы Абель продолжал исследовать эти функции. Он также попытался обобщить их на функции с еще большим числом точек, но, похоже, не торопился публиковать свои результаты. Но в начале 1827 года он вместе написал свою первую длинную презентацию. Recherches sur les fonctions elliptiques его открытий.^[4] В конце того же года ему стало известно о Карл Густав Якоби и его работы по новым преобразованиям эллиптических интегралов. Затем Абель заканчивает вторую часть своей статьи об эллиптических функциях и показывает в приложении, как легко могут следовать результаты преобразований Якоби.^[5] Когда он затем видит следующую публикацию Якоби, в которой он использует эллиптические функции для доказательства своих результатов, не обращаясь к Абелю, норвежский математик оказывается в борьбе с Якоби за приоритет. Он заканчивает несколько новых статей по смежным вопросам, впервые встречаясь с ними, но умирает менее чем через год. Тем временем Якоби завершает свою большую работу. Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum по эллиптическим функциям, который выходит в том же году, что и книга. В итоге он определил, какой будет стандартная форма эллиптических функций в последующие годы.

Характеристики

При его недолгом пребывании в Копенгаген в 1823 г. под влиянием Карл Фердинанд Деген Абель начал работать над эллиптические интегралы которые ранее были исследованы и классифицированы Legendre. Интеграл первого рода он написал на симметричной форме

${\displaystyle u=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}}$

куда c и е - произвольные параметры. Первоначально они будут считаться действительными числами, но со временем могут также принимать комплексные значения.^[6] В частном случае c = 1 и е = 0 интеграл дает длина дуги из круг, а для с = е = 1 это приводит к длине дуги лемниската. Таким образом, он мог установить контакт как с тригонометрические функции (круговые функции) и лемнискатические функции который Гаусс намекал в его Disquisitiones Arithmeticae.

Значение ты интеграла является функцией верхнего предела Икс интеграла. Так долго как Икс < 1/c это значение будет увеличиваться с увеличением Икс и достичь максимума

${\displaystyle {\omega \over 2}=\int _{0}^{1/c}{\frac {dt}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}.}$

когда Икс = 1/c. Пока что не было ничего нового в том, что еще не сделал Лежандр. Но гениальный ход Авеля заключался в том, чтобы рассмотреть обратная функция Икс = φ(ты). Это хорошо определено в интервале 0 ≤ ты ≤ ω/ 2 с φ(0) = 0. Поскольку определяющий интеграл является нечетной функцией верхнего предела, эта новая функция φ(ты) также будет нечетным и, таким образом, определено на всем интервале -ω/2 ≤ ты ≤ ω/2 с особыми ценностями φ(±ω/2) = ±1/c.

Взяв производную по ты по обе стороны от интеграла производная dx / du = φ '(ты) можно найти. Это ведет к

${\displaystyle \varphi '(u)={\sqrt {(1-c^{2}\varphi ^{2}(u))(1+e^{2}\varphi ^{2}(u))}}}$

которая теперь является четной функцией φ '(ты) = φ '(−ты) со значениями φ '(±ω/2) = 0  и φ '(0) = 1.

Для двух квадратных корней, которые здесь появляются, Абель ввел новые функции

${\displaystyle f(u)={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(u)}},\;\;\;F(u)={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(u)}}}$

которые тоже есть. Сверху находят ж(0) = F(0) = 1 вместе с ж(±ω/2) = 0  и F(±ω/2) = √1 + е²/c². Если учесть φ(ты) быть обобщенным функция синуса, то эти две четные функции можно рассматривать как обобщенные косинусные функции их сейчас два. Тогда в их терминах производная будет в более компактной форме φ '(ты) = ж(ты)F(ты). Аналогично отсюда следует, что f '(ты) = − c²φ(ты)F(ты)  и F '(ты) = е²φ(ты)ж(ты).

Формулы сложения

Эйлер и Legendre показали, что эллиптические интегралы удовлетворяют разным теоремы сложения. Абель дал новый вывод этого для конкретного интеграла, который он рассмотрел и нашел

${\displaystyle \varphi (u_{1}+u_{2})={\varphi (u_{1})f(u_{2})F(u_{2})+\varphi (u_{2})f(u_{1})F(u_{1}) \over 1+c^{2}e^{2}\varphi ^{2}(u_{1})\varphi ^{2}(u_{2})}}$

Для двух других эллиптических функций он аналогичным образом получил

${\displaystyle {\begin{aligned}f(u_{1}+u_{2})&={f(u_{1})f(u_{2})-c^{2}\varphi (u_{1})\varphi (u_{2})F(u_{1})F(u_{2}) \over 1+c^{2}e^{2}\varphi ^{2}(u_{1})\varphi ^{2}(u_{2})}\\[5pt]F(u_{1}+u_{2})&={F(u_{1})F(u_{2})+e^{2}\varphi (u_{1})\varphi (u_{2})f(u_{1})f(u_{2}) \over 1+c^{2}e^{2}\varphi ^{2}(u_{1})\varphi ^{2}(u_{2})}\end{aligned}}}$

Используя их, он теперь мог расширить диапазон аргументов, по которым были определены функции. Например, установка ты₁ = ±ω/2 в первой формуле это дает

${\displaystyle \varphi {\big (}u\pm {\omega \over 2}{\big )}=\pm {1 \over c}{f(u) \over F(u)}}$

и аналогично для двух других функций,

${\displaystyle f{\big (}u\pm {\omega \over 2}{\big )}=\mp {\sqrt {c^{2}+e^{2}}}{\varphi (u) \over F(u)},\;\;F{\big (}u\pm {\omega \over 2}{\big )}={{\sqrt {c^{2}+e^{2}}} \over c}{1 \over F(u)}}$

С ты = ω/ 2 таким образом φ(ω) = 0 так что функции будут определены на всем интервале −ω ≤ ты ≤ ω. Повторяя это расширение еще на один шаг, можно найти φ(и + ω) = −φ(ты). Тогда эта функция будет периодической φ(ты + 2ω) = φ(ты) с периодом 2ω. Для двух четных функций аналогично получаем ж(и + ω) = −ж(ты) и F(и + ω) = F(ты). Функция ж(ты), следовательно, также имеет период 2ω, пока F(ты) имеет более короткий период ω.

Комплексное расширение

Абель мог также расширить свои новые функции в комплексная плоскость. Для этого он определил сопряженный интеграл

${\displaystyle v=\int _{0}^{y}{\frac {dt}{\sqrt {(1+c^{2}t^{2})(1-e^{2}t^{2})}}}}$

где параметры c находятся е обмениваются. Верхний предел у снова можно рассматривать как функцию от интегрального значения v. Это действительное число, которое постоянно увеличивается от нуля до максимального значения.

${\displaystyle {\omega ' \over 2}=\int _{0}^{1/e}{\frac {dt}{\sqrt {(1+c^{2}t^{2})(1-e^{2}t^{2})}}}}$

за у = 1/е. Изменяя переменную интегрирования с т к Это, Абель обнаружил, что иу = φ(iv). Таким образом, эта эллиптическая функция может быть найдена для чисто мнимых значений аргумента. В частности, есть φ(iω '/2) = я / е. Затем, используя теоремы сложения, можно вычислить функции для общего комплексного аргумента вида ш = и + iv.

Для этого сложного расширения нужны также значения двух других эллиптических функций для мнимых аргументов. Один находит ж(±iω '/2) = √1 + c²/е² и F(±iω '/2) = 0. Отсюда следует, что

${\displaystyle \varphi {\big (}u\pm i{\omega ' \over 2}{\big )}=\pm {i \over e}{F(u) \over f(u)}}$

и аналогично для двух других функций,

${\displaystyle F{\big (}u\pm i{\omega ' \over 2}{\big )}=\pm i{\sqrt {c^{2}+e^{2}}}{\varphi (u) \over f(u)},\;\;f{\big (}u\pm i{\omega ' \over 2}{\big )}={{\sqrt {c^{2}+e^{2}}} \over e}{1 \over f(u)}}$

С ж(±ω/ 2) = 0, то три эллиптические функции расходятся при ω/2 ± iω '/ 2 и другие точки, связанные симметрией. Эти расхождения оказываются простые столбы, но эта часть комплексный анализ еще не было так развито во времена Авеля.^[6]

Двойная периодичность

Вышеупомянутое комплексное расширение было определено для мнимых аргументов в интервале −ω '/2 ≤ v ≤ ω '/2. Но с помощью формул сложения это можно расширить до −ω ' ≤ v ≤ ω '. Замена тогда ты с и + iω '/2 в тех же формулах следует, что φ(и + iω ') = −φ(ты). Следовательно, эта эллиптическая функция периодична также в мнимом направлении с периодом 2iω '. Кроме того, тогда еще

${\displaystyle \varphi (u+\omega \pm i\omega ')=\varphi (u)}$

так что эквивалентно можно сказать, что функция имеет два комплексных периода ω_1,2 = ω ± я ω '. С φ(0) = 0, функция также будет нулем во всех точках ш = mω + inω ' куда м и п целые числа. Таким образом, эти нули образуют правильную решетку в комплексная плоскость как поляки тоже будут.

Для двух других функций Абель нашел ж(и + iω ') = ж(ты) и F(и + iω ') = −F(ты). Функция ж(ты), таким образом, имеет период iω ' в воображаемом направлении, пока это 2iω ' за F(ты). Их нули и полюсы снова образуют правильную решетку, отражающую их двойную периодичность. После смерти Гаусса было обнаружено, что он обнаружил соответствующую двойную периодичность в своей эллиптическая функция лемнискаты.^[1]

Эллиптические функции Якоби

Из определяющих интегралов видно, что эллиптические функции Абеля могут быть выражены Эллиптические функции Якоби для мнимых значений k = т.е./c модуля. Точная связь между этими функциями может быть найдена путем изменения переменной интегрирования и равна

${\displaystyle \varphi (u;c,e)={1 \over c}\operatorname {sn} (cu,ie/c)}$

Для двух второстепенных функций это приводит к

${\displaystyle f(u;c,e)=\operatorname {cn} (cu,ie/c),\;\;F(u;c,e)=\operatorname {dn} (cu,ie/c)}$

После смерти Абеля в 1829 году Якоби продолжил исследования эллиптических функций. Со временем они превратились в числовые таблицы и в итоге превратились в стандартные эллиптические функции.^[7] Поэтому, используя их для мнимых значений модуля, можно также вычислить соответствующие эллиптические функции Абеля.

Рекомендации

1. Дж. Стиллвелл, Математика и ее история, Спрингер, Нью-Йорк (2010). ISBN  978-1441960528.
2. А. Штубхауг, Нильс Хенрик Абель и его времена, Springer-Verlag, Берлин (2000). ISBN  3-540-66834-9.
3. О. Оре, Нильс Хенрик Абель - выдающийся математик, AMS Chelsea Publishing, Провиденс, Род-Айленд (2008). ISBN  978-0821846445.
4. Н. Х. Абель, Recherches sur les fonctions elliptiques, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 2, 101–181 (1827).
5. Н. Х. Абель, Recherches sur les fonctions elliptiques, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 3, 160–190 (1828).
6. Дж. Грей, Реальное и сложное: история анализа в XIX веке, Springer, Гейдельберг (2015). ISBN  978-3-319-23714-5.
7. М. Абрамовиц, И.А. Стегун, Справочник по математическим функциям, Dover Publications, Нью-Йорк (1983). ISBN  0-486-61272-4.

Литература

• Нильс Хенрик Абель, Recherhes sur le fonctions elliptiques, первая и вторая части в Софус Ли и Людвиг Силов (ред.) Собрание сочинений, Осло (1881 г.).
• Кристиан Хузель, Работа Нильса Хенрика Абеля, в О.А. Лаудаль и Р. Пиене, Наследие Нильса Хенрика Абеля - Двухсотлетие Абеля, Осло, 2002 г., Springer Verlag, Берлин (2004). ISBN  3-540-43826-2.