Обратная полугруппа - Inverse semigroup

Алгебраические структуры между магмы и группы. An инверсная полугруппа это полугруппа с обратимостью.

В группа теория, инверсная полугруппа (иногда называемый полугруппа инверсии^[1]) S это полугруппа в котором каждый элемент Икс в S имеет уникальный обратный у в S в том смысле, что х = ху и y = yxy, т.е. регулярная полугруппа в котором каждый элемент имеет уникальную инверсию. Обратные полугруппы появляются в самых разных контекстах; например, их можно использовать при изучении частичные симметрии.^[2]

(В этой статье будет использоваться соглашение о написании функции справа от ее аргумента, например x f скорее, чем f (x), и составление функций слева направо - соглашение, часто наблюдаемое в теории полугрупп.)

Происхождение

Обратные полугруппы были введены независимо Виктор Владимирович Вагнер^[3] в Советский союз в 1952 г.,^[4] и по Гордон Престон в объединенное Королевство в 1954 г.^[5] Оба автора пришли к инверсным полугруппам благодаря изучению частичные отклонения из набор: а частичное преобразование α набора Икс это функция из А к B, куда А и B являются подмножествами Икс. Позволять α и β быть частичными преобразованиями множества Икс; α и β можно составить (слева направо) на наибольшем домен на которых "имеет смысл" их составить:

${\displaystyle \operatorname {dom} \alpha \beta =[\operatorname {im} \alpha \cap \operatorname {dom} \beta ]\alpha ^{-1}\,}$

куда α⁻¹ обозначает прообраз подα. Частные превращения уже изучались в контексте псевдогруппы.^[6] Однако именно Вагнер был первым, кто заметил, что композиция частичных преобразований является частным случаем состав бинарных отношений.^[7] Он также признал, что область композиции двух частичных преобразований может быть пустой набор, поэтому он представил пустое преобразование принять это во внимание. С добавлением этого пустого преобразования композиция частичных преобразований множества становится повсюду определенным ассоциативный бинарная операция. Под этой композицией коллекция ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$ всех частичных однозначных преобразований множества Икс образует инверсную полугруппу, называемую симметричная инверсная полугруппа (или моноид) на Икс, с обратным функциональным обратным, определенным от изображения к области (эквивалентно, обратное отношение ).^[8] Это «архетипическая» обратная полугруппа, точно так же, как симметричная группа архетипический группа. Например, как и каждый группа может быть встроен в симметричная группа, каждая инверсная полугруппа вкладывается в симметричную инверсную полугруппу (см. § Гомоморфизмы и представления обратных полугрупп ниже).

Основы

Групповые структуры
	Тотальностьα	Ассоциативность	Личность	Обратимость	Коммутативность
Полугрупоидный	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Малая категория	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Группоид	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Магма	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Квазигруппа	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Единичная магма	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Петля	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Обратная полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Коммутативный моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый
Группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Абелева группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый
^ α Закрытие, который используется во многих источниках, является аксиомой, эквивалентной совокупности, хотя и по-другому.

Обратный элемент Икс обратной полугруппы S обычно пишется Икс⁻¹. Обратные в обратной полугруппе обладают многими из тех же свойств, что и обратные в полугруппе. группа, Например, (ab)⁻¹ = б⁻¹а⁻¹. В обратном моноид, хх⁻¹ и Икс⁻¹Икс не обязательно равны идентичности, но они оба идемпотент.^[9] Обратный моноид S в котором хх⁻¹ = 1 = Икс⁻¹Икс, для всех Икс в S (а всесильный обратный моноид), конечно группа.

Существует ряд эквивалентных характеристик обратной полугруппы S:^[10]

• Каждый элемент S имеет единственный обратный в указанном выше смысле.
• Каждый элемент S имеет хотя бы один обратный (S это регулярная полугруппа ) и идемпотенты коммутируют (то есть идемпотенты из S сформировать полурешетка ).
• Каждый ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-класс и каждый ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$-класс содержит ровно один идемпотент, куда ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ два из Отношения Грина.

В идемпотент в ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-класс s является s⁻¹s, в то время как идемпотент в ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$-класс s является SS⁻¹. Следовательно, существует простая характеристика Отношения Грина в инверсной полугруппе:^[11]

${\displaystyle a\,{\mathcal {L}}\,b\Longleftrightarrow a^{-1}a=b^{-1}b,\quad a\,{\mathcal {R}}\,b\Longleftrightarrow aa^{-1}=bb^{-1}}$

Если не указано иное, E (S) будет обозначать полурешетку идемпотентов обратной полугруппы S.

Примеры инверсных полугрупп

• Если Икс это набор и ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ это собрание однородные отношения на Икс с состав отношений как бинарная операция, тогда ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ образует инверсную полугруппу, поскольку каждое отношение имеет обратное отношение, который служит обратным.
• Каждый группа обратная полугруппа.
• В бициклическая полугруппа обратное, с (а,б)⁻¹ = (б,а).
• Каждый полурешетка обратное.
• В Полугруппа Брандта обратное.
• В Полугруппа Манна обратное.

Пример таблицы умножения. Он ассоциативен, и каждый элемент имеет свой собственный обратный в соответствии с aba = a, bab = b. Он не имеет идентичности и не коммутативен.

Обратная полугруппа

&	а	б	c	d	е
а	а	а	а	а	а
б	а	б	c	а	а
c	а	а	а	б	c
d	а	d	е	а	а
е	а	а	а	d	е

Естественный частичный порядок

Обратная полугруппа S обладает естественный частичный заказ отношение ≤ (иногда обозначается ω), которое определяется следующим образом:^[12]

${\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=eb,}$

для некоторых идемпотент е в S. Эквивалентно,

${\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=bf,}$

для некоторых (в общем, разных) идемпотент ж в S. Фактически, е можно принять за аа⁻¹ и ж быть а⁻¹а.^[13]

Естественный частичный заказ совместим как с умножением, так и с инверсией, то есть^[14]

${\displaystyle a\leq b,c\leq d\Longrightarrow ac\leq bd}$

и

${\displaystyle a\leq b\Longrightarrow a^{-1}\leq b^{-1}.}$

В группа, это частичный заказ просто сводится к равенству, так как тождество является единственным идемпотент. В симметричной обратной полугруппе частичный заказ сводится к ограничению отображений, то есть α ≤ β тогда и только тогда, когда область определения α содержится в области определения β и Иксα = Иксβ, для всех Икс в области α.^[15]

Естественный частичный порядок на обратной полугруппе взаимодействует с Отношения Грина следующим образом: если s ≤ т и s${\displaystyle \,{\mathcal {L}}\,}$т, тогда s = т. Аналогично, если s${\displaystyle \,{\mathcal {R}}\,}$т.^[16]

На E (S), естественный частичный заказ становится:

${\displaystyle e\leq f\Longleftrightarrow e=ef,}$

Итак, поскольку идемпотенты образуют полурешетку под действием изделия, изделия на E (S) дают точные оценки сверху по ≤.

Если E (S) конечна и образует цепь (т.е. E (S) является полностью заказанный на ≤), то S это союз из группы.^[17] Если E (S) бесконечный цепь аналогичный результат можно получить при дополнительных гипотезах о S и E (S).^[18]

Гомоморфизмы и представления обратных полугрупп

А гомоморфизм (или же морфизм) инверсных полугрупп определяется точно так же, как и для любой другой полугруппы: для инверсных полугрупп S и Т, а функция θ из S к Т является морфизмом, если (sθ)(tθ) = (ул)θ, для всех s,т в S. Определение морфизма инверсных полугрупп можно дополнить включением условия (sθ)⁻¹ = s⁻¹θоднако в этом нет необходимости, поскольку это свойство следует из приведенного выше определения с помощью следующей теоремы:

Теорема. Гомоморфный изображение инверсной полугруппы - инверсная полугруппа; обратный элемент всегда отображается на обратный элемент изображение этого элемента.^[19]

Одним из первых доказанных результатов об инверсных полугруппах было исследование Теорема Вагнера – Престона., который является аналогом Теорема Кэли за группы:

Теорема Вагнера – Престона. Если S инверсная полугруппа, то функция φ из S к ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{S}}$, данный

дом (аφ) = Сб⁻¹ и Икс(аφ) = ха

это верный представление из S.^[20]

Таким образом, любая инверсная полугруппа может быть вложена в симметричную инверсную полугруппу и с замкнутым образом относительно обратной операции над частичными биекциями. Наоборот, любая подполугруппа симметрической обратной полугруппы, замкнутая относительно обратной операции, является обратной полугруппой. Следовательно, полугруппа S изоморфна подполугруппе симметрической обратной полугруппы, замкнутой относительно обратных, тогда и только тогда, когда S обратная полугруппа.

Конгруэнции на инверсных полугруппах

Сравнения определены на инверсных полугруппах точно так же, как и для любой другой полугруппы: a соответствие ρ является отношение эквивалентности что совместимо с полугрупповым умножением, т. е.

${\displaystyle a\,\rho \,b,\quad c\,\rho \,d\Longrightarrow ac\,\rho \,bd.}$^[21]

Особый интерес представляет соотношение ${\displaystyle \sigma }$, определенная на обратной полугруппе S к

${\displaystyle a\,\sigma \,b\Longleftrightarrow }$ существует ${\displaystyle c\in S}$ с ${\displaystyle c\leq a,b.}$^[22]

Можно показать, что σ является конгруэнцией и, по сути, это групповая конгруэнтность, что означает, что фактор-полугруппа S/σ это группа. На множестве всех групповых конгруэнций на полугруппе Sминимальный элемент (для частичного порядка, определяемого включением множеств) не обязательно должен быть наименьшим элементом. В конкретном случае, когда S инверсная полугруппа σ это самый маленький соответствие на S такой, что S/σ группа, т. е. если τ есть ли какое-либо другое совпадение с S с S/τ группа, тогда σ содержится в τ. Соответствие σ называется минимальная групповая конгруэнтность на S.^[23] Минимальная групповая конгруэнтность может быть использована для характеристики E-унитарные инверсные полугруппы (см. ниже).

Конгруэнтность ρ на обратной полугруппе S называется идемпотентный чистый если

${\displaystyle a\in S,e\in E(S),a\,\rho \,e\Longrightarrow a\in E(S).}$^[24]

E-унитарные инверсные полугруппы

Один из классов инверсных полугрупп, который широко изучался на протяжении многих лет, - это класс инверсных полугрупп. E-унитарные инверсные полугруппы: инверсная полугруппа S (с полурешетка E из идемпотенты ) является E-унитарный если для всех е в E и все s в S,

${\displaystyle es\in E\Longrightarrow s\in E.}$

Эквивалентно,

${\displaystyle se\in E\Rightarrow s\in E.}$^[25]

Еще одна характеристика E-унитарная инверсная полугруппа S следующее: если е в E и е ≤ s, для некоторых s в S, тогда s в E.^[26]

Теорема. Позволять S - инверсная полугруппа с полурешетка E идемпотентов и минимальная групповая конгруэнтность σ. Тогда следующие эквиваленты:^[27]

• S является E-уникальный;
• σ идемпотентно чистое;
• ${\displaystyle \sim }$ = σ,

куда ${\displaystyle \sim }$ это отношение совместимости на S, определяется

${\displaystyle a\sim b\Longleftrightarrow ab^{-1},a^{-1}b}$ идемпотентны.

Теорема Макалистера о покрытии. Каждая обратная полугруппа S имеет E-унитарное покрытие; то есть существует идемпотент, отделяющий сюръективный гомоморфизм от некоторой E-унитарной полугруппы T на S.^[28]

Центральное место в изучении E-унитарные инверсные полугруппы - это следующая конструкция.^[29] Позволять ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ быть частично заказанный набор, с порядком ≤, и пусть ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ быть подмножество из ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ со свойствами, которые

• ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ это нижняя полурешетка, то есть каждая пара элементов А, B в ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ имеет наибольшая нижняя граница А ${\displaystyle \wedge }$ B в ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ (относительно ≤);
• ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ является заказать идеальный из ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, то есть для А, B в ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, если А в ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ и B ≤ А, тогда B в ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$.

Теперь позвольте грамм быть группа который действует на ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ (слева) такая, что

• для всех грамм в грамм и все А, B в ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, gA = ГБ если и только если, А = B;
• для каждого грамм в грамм и каждый B в ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, существует А в ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ такой, что gA = B;
• для всех А, B в ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, А ≤ B если и только если, gA ≤ ГБ;
• для всех грамм, час в грамм и все А в ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, грамм(га) = (gh)А.

Тройка ${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$ также предполагается, что он обладает следующими свойствами:

• для каждого Икс в ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, существует грамм в грамм и А в ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ такой, что gA = Икс;
• для всех грамм в грамм, грамм${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ имеют непустое пересечение.

Такая тройка ${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$ называется Макалистер тройной. Тройка Макалистера используется для определения следующего:

${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})=\{(A,g)\in {\mathcal {Y}}\times G:g^{-1}A\in {\mathcal {Y}}\}}$

вместе с умножением

${\displaystyle (A,g)(B,h)=(A\wedge gB,gh)}$.

потом ${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$ является обратной полугруппой относительно этого умножения, причем (А,грамм)⁻¹ = (грамм⁻¹А, грамм⁻¹). Один из основных результатов исследования E-унитарные инверсные полугруппы P-теорема Макалистера:

P-теорема Макалистера. Позволять ${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$ быть тройкой Макалистера. потом ${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$ является E-унитарная инверсная полугруппа. И наоборот, каждые E-унитарная обратная полугруппа изоморфный к одному из этого типа.^[30]

F-инверсные полугруппы

Обратной полугруппой называется F-инверсия, если каждый элемент имеет уникальный максимальный элемент над ним в естественном частичном порядке, т.е. каждый σ-класс имеет максимальный элемент. Каждый F-обратная полугруппа - это E-унитарный моноид. Теорема Макалистера о покрытии была уточнена М.В. Лоусон к:

Теорема. Каждая инверсная полугруппа имеет F-обратная крышка.^[31]

Макалистера п-теорема была использована для характеристики F-инверсные полугруппы. Тройной McAlister ${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$ является F-обратная полугруппа тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ главный идеал ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ является полурешеткой.

Свободные инверсные полугруппы

Конструкция, похожая на свободная группа возможно для инверсных полугрупп. А презентация свободной обратной полугруппы на множестве Икс можно получить, рассмотрев свободная полугруппа с инволюцией, где инволюция - это взятие обратного, и тогда брать частное посредством Сравнение Вагнера

${\displaystyle \{(xx^{-1}x,x),\;(xx^{-1}yy^{-1},yy^{-1}xx^{-1})\;|\;x,y\in (X\cup X^{-1})^{+}\}.}$

В проблема со словом для свободных инверсных полугрупп гораздо сложнее, чем для свободных групп. Знаменитый результат в этой области благодаря В. Д. Манн который показал, что элементы свободной обратной полугруппы можно естественно рассматривать как деревья, известные как деревья Манна. Умножение в свободной обратной полугруппе имеет корреспондента на Деревья Манна, который по сути состоит из перекрывающихся общих частей деревьев. (подробнее см. Lawson 1998)

Любая свободная обратная полугруппа F-инверсия.^[31]

Связь с теорией категорий

Приведенная выше композиция частичных преобразований множества порождает симметричную обратную полугруппу. Существует еще один способ составления частичных преобразований, более ограничительный, чем использованный выше: два частичных преобразования α и β составлены тогда и только тогда, когда образ α равен области определения β; в противном случае состав αβ не определен. При этой альтернативной композиции совокупность всех частичных однозначных преобразований множества образует не инверсную полугруппу, а индуктивный группоид, в смысле теория категорий. Эта тесная связь между инверсными полугруппами и индуктивными группоидами воплощена в Теорема Эресмана – Шейна – Намбоорипада., который утверждает, что индуктивный группоид всегда можно построить из обратной полугруппы, и наоборот.^[32] Более точно, инверсная полугруппа - это в точности группоид в категории множеств, этальный группоид относительно его (двойственного) Топология Александрова и чей набор объектов является встречной полурешеткой.

Обобщения инверсных полугрупп

Как отмечалось выше, обратная полугруппа S можно определить условиями (1) S это регулярная полугруппа, и (2) идемпотенты в S ездить; это привело к двум различным классам обобщений обратной полугруппы: полугруппы, в которых (1) выполняется, а (2) - нет, и наоборот.

Примеры регулярных обобщений обратной полугруппы:^[33]

• Регулярные полугруппы: а полугруппа S является обычный если у каждого элемента есть хотя бы один обратный; эквивалентно, для каждого а в S, существует Икс в S такой, что акса = а.
• Локально инверсные полугруппы: а регулярная полугруппа S является локально обратный если eSe инверсная полугруппа, для каждого идемпотент е.
• Православные полугруппы: а регулярная полугруппа S является православный если его подмножество идемпотенты образует подполугруппу.
• Обобщенные инверсные полугруппы: а регулярная полугруппа S называется обобщенная обратная полугруппа если это идемпотенты образуют нормальную полосу, т.е. xyzx = xzyx, для всех идемпотенты Икс, у, z.

В учебный класс обобщенных обратных полугрупп - это пересечение класса локально инверсных полугрупп и класса ортодоксальных полугрупп.^[34]

Среди нерегулярных обобщений обратной полугруппы:^[35]

• (Левая, правая, двусторонняя) адекватные полугруппы.
• (Левая, правая, двусторонняя) обильные полугруппы.
• (Левая, правая, двусторонняя) полуадекватные полугруппы.
• Слабо (левая, правая, двусторонняя) обильные полугруппы.

Обратная категория

Это понятие инверсии также легко обобщается на категории. An обратная категория просто категория, в которой каждый морфизм ж : Икс → Y имеет обобщенно обратный грамм : Y → Икс такой, что fgf = ж и gfg = грамм. Обратная категория - это самодвойственный. Категория наборов и частичные отклонения является ярким примером.^[36]

Обратные категории нашли различное применение в теоретическая информатика.^[37]

Смотрите также

• Православная полугруппа
• Бордовый набор
• Псевдогруппа
• Частичные симметрии
• Регулярная полугруппа
• Полурешетка
• Отношения Грина
• Теория категорий
• Специальные классы полугрупп
• Слабая обратная
• Намбоорипад порядок

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. (2002). CRC Краткая энциклопедия математики (2-е изд.). CRC Press. п. 1528. ISBN  978-1-4200-3522-3.
2. Лоусон 1998
3. Поскольку его отец был немцем, Вагнер предпочел немецкую транслитерацию своего имени (с буквой «W», а не с «V») с кириллицы - см. Schein 1981.
4. Сначала короткое объявление в Вагнер 1952, затем более подробное изложение в Вагнер 1953.
5. Престон 1954a,до н.э.
6. См., Например, Голаб 1939.
7. Schein 2002, п. 152
8. Хауи 1995, п. 149
9. Хауи 1995, Предложение 5.1.2 (1)
10. Хауи 1995, Теорема 5.1.1
11. Хауи 1995, Предложение 5.1.2 (1)
12. Вагнер 1952
13. Хауи 1995, Предложение 5.2.1
14. Хауи 1995, стр. 152–3
15. Хауи 1995, п. 153
16. Лоусон 1998, Предложение 3.2.3
17. Клиффорд и Престон 1967, Теорема 7.5
18. Gonçalves, D; Соботтка, М; Старлинг, К. (2017). «Обратные полугрупповые сдвиги по счетным алфавитам». Полугруппа Форум. 96 (2): 203–240. arXiv:1510.04117. Дои:10.1007 / s00233-017-9858-5 Следствие 4.9.
19. Клиффорд и Престон 1967, Теорема 7.36
20. Хауи 1995, Теорема 5.1.7 Первоначально Вагнер 1952 и, независимо, Престон 1954c.
21. Хауи 1995, п. 22
22. Лоусон 1998, п. 62
23. Лоусон 1998, Теорема 2.4.1
24. Лоусон 1998, п. 65
25. Хауи 1995, п. 192
26. Лоусон 1998, Предложение 2.4.3
27. Лоусон 1998, Теорема 2.4.6
28. Грийе, П. А. (1995). Полугруппы: введение в теорию структуры. CRC Press. п. 248. ISBN  978-0-8247-9662-4.
29. Хауи 1995, стр. 193–4
30. Хауи 1995, Теорема 5.9.2. Первоначально Макалистер 1974a, б.
31. Лоусон 1998, п. 230
32. Лоусон 1998, 4.1.8
33. Хауи 1995, Раздел 2.4 и Глава 6
34. Хауи 1995, п. 222
35. Фонтан 1979 г. Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFFountain_1979 (помощь), Гулд
36. Грандис, Марко (2012). Гомологическая алгебра: взаимодействие гомологий с дистрибутивными решетками и ортодоксальными полугруппами. World Scientific. п. 55. ISBN  978-981-4407-06-9.
37. Хайнс, Питер; Браунштейн, Сэмюэл Л. (2010). «Структура частичных изометрий». В Гей и Саймон; Маки, Ян (ред.). Семантические методы в квантовых вычислениях. Издательство Кембриджского университета. п. 369. ISBN  978-0-521-51374-6.

Рекомендации

• Клиффорд, А. Х .; Престон, Г. Б. (1967). Алгебраическая теория полугрупп. Математические обзоры Американского математического общества. 7. ISBN  978-0-8218-0272-4.
• Фонтан, Дж. Б. (1979). «Адекватные полугруппы». Труды Эдинбургского математического общества. 22 (2): 113–125. Дои:10.1017 / S0013091500016230.
• Голаб, ул. (1939). Псевдогруппа "Über den Begriff der" фон Transformationen"". Mathematische Annalen (на немецком). 116: 768–780. Дои:10.1007 / BF01597390.
• Exel, R. (1998). «Частичные действия групп и действия инверсных полугрупп». Труды Американского математического общества. 126 (12): 3481–4. arXiv:funct-an / 9511003. Дои:10.1090 / S0002-9939-98-04575-4.
• Гулд, В. "(Слабо) E-обильные слева полугруппы". Архивировано из оригинал (Постскриптум) на 2005-08-26. Получено 2006-08-28.
• Хауи, Дж. М. (1995). Основы теории полугрупп. Оксфорд: Clarendon Press. ISBN  0198511949.
• Лоусон, М. В. (1998). Обратные полугруппы: теория частных симметрий. World Scientific. ISBN  9810233167.
• Макалистер, Д. Б. (1974a). «Группы, полурешетки и инверсные полугруппы». Труды Американского математического общества. 192: 227–244. Дои:10.2307/1996831. JSTOR  1996831.
• Макалистер, Д. Б. (1974b). «Группы, полурешетки и обратные полугруппы II». Труды Американского математического общества. 196: 351–370. Дои:10.2307/1997032. JSTOR  1997032.
• Петрич, М. (1984). Обратные полугруппы. Вайли. ISBN  0471875457.
• Престон, Г. Б. (1954a). «Обратные полугруппы». Журнал Лондонского математического общества. 29 (4): 396–403. Дои:10.1112 / jlms / s1-29.4.396.
• Престон, Г. Б. (1954b). «Обратные полугруппы с минимальными правыми идеалами». Журнал Лондонского математического общества. 29 (4): 404–411. Дои:10.1112 / jlms / s1-29.4.404.
• Престон, Г. Б. (1954c). «Представления обратных полугрупп». Журнал Лондонского математического общества. 29 (4): 411–9. Дои:10.1112 / jlms / s1-29.4.411.
• Шейн, Б.М. (1981). «Некролог: Виктор Владимирович Вагнер (1908–1981)». Полугруппа Форум. 28: 189–200. Дои:10.1007 / BF02676643.
• Шейн, Б.М. (2002). «Рецензия на книгу:« Обратные полугруппы: теория частных симметрий »Марка В. Лоусона». Полугруппа Форум. 65: 149–158. Дои:10.1007 / s002330010132.
• Вагнер, В.В. (1952). «Обобщенные группы». Известия АН СССР. (на русском). 84: 1119–1122. английский перевод (PDF)
• Вагнер, В. В. (1953). «Теория обобщенных куч и обобщенных групп». Математический сборник. Новая серия. 32 (74): 545–632.

дальнейшее чтение

• Краткое введение в инверсные полугруппы см. Клиффорд и Престон 1967, Глава 7 или Хауи 1995, Глава 5.
• Более подробные сведения можно найти в Петрич 1984 и Лоусон 1998.
• Линкельманн, М. (2012). «Об обратных категориях и переносе в когомологиях» (PDF). Труды Эдинбургского математического общества. 56: 187. Дои:10.1017 / S0013091512000211. Препринт открытого доступа