Бордовый набор - Biordered set

А двухрядный набор ("boset") - это математический объект что встречается в описании структура из набора идемпотенты в полугруппа. Концепция и терминология были разработаны K S S Nambooripad в начале 1970-х гг.^[1][2][3]Определяющие свойства двухупорядоченного набора выражаются двумя квазипорядки определен на множестве и, следовательно, назван в упорядоченном множестве. Патрик Джордан, будучи студентом магистратуры Сиднейского университета, ввел в 2002 году термин Boset как аббревиатура от biordered set.^[4]

По словам Мохана С. Путча, «аксиомы, определяющие двупорядоченное множество, довольно сложны. Однако, учитывая общую природу полугрупп, довольно удивительно, что такая конечная аксиоматизация вообще возможна».^[5] С момента публикации оригинального определения двунаправленного набора Nambooripad было предложено несколько вариантов определения. Дэвид Истдаун упростил определение и сформулировал аксиомы в изобретенной им специальной системе обозначений стрелок.^[6]

Множество идемпотентов в полугруппе - это биупорядоченное множество, и каждое биупорядоченное множество - это множество идемпотентов некоторой полугруппы.^[3][7]Обычный двунаправленный набор - это двунаправленный набор с дополнительным свойством. Набор идемпотентов в регулярная полугруппа - регулярное биупорядоченное множество, и каждое регулярное биупорядоченное множество - это множество идемпотентов некоторой регулярной полугруппы.^[3]

Определение

Формальное определение двупорядоченного множества, данное Намбоорипадом^[3] требует некоторых предварительных мероприятий.

Предварительные мероприятия

Если Икс и Y быть наборы и ρ⊆ Икс × Y, пусть ρ ( у ) = { Икс ∈ Икс : Икс ρ у }.

Позволять E быть набор в котором частичный бинарная операция, обозначенный сопоставлением, определяется. Если D_E это домен частичной бинарной операции на E тогда D_E это связь на E и (е,ж) в D_E если и только если продукт ef существует в E. Следующие отношения могут быть определены в E:

${\displaystyle \omega ^{r}=\{(e,f)\,:\,fe=e\}}$

${\displaystyle \omega ^{l}=\{(e,f)\,:\,ef=e\}}$

${\displaystyle R=\omega ^{r}\,\cap \,(\omega ^{r})^{-1}}$

${\displaystyle L=\omega ^{l}\,\cap \,(\omega ^{l})^{-1}}$

${\displaystyle \omega =\omega ^{r}\,\cap \,\omega ^{l}}$

Если Т есть ли заявление около E включая частичную бинарную операцию и указанные выше отношения в E, можно определить левую-правую двойной из Т обозначается Т*. Если D_E является симметричный тогда Т* имеет значение всякий раз, когда Т является.

Формальное определение

Набор E называется двумерным набором, если следующие аксиомы и их двойники верны для произвольных элементов е, ж, ги др. в E.

(B1) ω^р и ω^л находятся рефлексивный и переходный отношения на E и D_E = (ω^р ∪ ω ^л ) ∪ (ω^р ∪ ω^л )⁻¹.

(B21) Если ж находится в ω^р( е ) тогда f R fe ω е.

(B22) Если г ω^л ж и если ж и г находятся в ω^р ( е ) тогда ge ω^л fe.

(B31) Если г ω^р ж и ж ω^р е тогда gf = ( ge )ж.

(B32) Если г ω^л ж и если ж и г находятся в ω^р ( е ) тогда ( фг )е = ( fe )( ge ).

В M ( е, ж ) = ω^л ( е ) ∩ ω^р ( ж ) ( M-набор из е и ж в этом порядке), определите отношение ${\displaystyle \prec }$ от

${\displaystyle g\prec h\quad \Longleftrightarrow \quad eg\,\,\omega ^{r}\,\,eh\,,\,\,\,gf\,\,\omega ^{l}\,\,hf}$.

Тогда набор

${\displaystyle S(e,f)=\{h\in M(e,f):g\prec h{\text{ for all }}g\in M(e,f)\}}$

называется сэндвич-набор из е и ж в этой последовательности.

(B4) Если ж и г находятся в ω^р ( е ) тогда S( ж, г )е = S ( fe, ge ).

M-упорядоченные наборы и обычные двунаправленные наборы

Мы говорим, что бордовый набор E является M-бордовый набор если M ( е, ж ) ≠ ∅ для всех е и ж в E. Также, E называется обычный двухкомпонентный набор если S ( е, ж ) ≠ ∅ для всех е и ж в E.

В 2012 году Роман С. Гигонь дал простое доказательство того, что M-биориентированные множества возникают из E-инверсивные полугруппы.^{[8][требуется разъяснение ]}

Подобъекты и морфизмы

Упорядоченные подмножества

Подмножество F двухуровневого набора E - это упорядоченное подмножество (подмножество) E если F является двоичным набором при частичной бинарной операции, унаследованной от E.

Для любого е в E множества ω^р ( е ), ω^л ( е ) и ω ( е ) являются упорядоченными подмножествами E.^[3]

Биморфизмы

Отображение φ: E → F между двумя двухрядными наборами E и F является биупорядоченным гомоморфизмом множеств (также называемым биморфизмом), если для всех ( е, ж ) в D_E у нас есть ( еφ) ( жφ) = ( ef ) φ.

Наглядные примеры

Пример векторного пространства

Позволять V быть векторное пространство и

E = { ( А, B ) | V = А ⊕ B }

где V = А ⊕ B Значит это А и B находятся подпространства из V и V это внутренняя прямая сумма из А и B. Частичная бинарная операция ⋆ на E, определяемая формулой

( А, B ) ⋆ ( C, D ) = ( А + ( B ∩ C ), ( B + C ) ∩ D )

делает E двухуровневый набор. Квазипорядки в E характеризуются следующим:

( А, B ) ω^р ( C, D ) ⇔ А ⊇ C

( А, B ) ω^л ( C, D ) ⇔ B ⊆ D

Биориентированный набор полугруппы

Набор E идемпотентов в полугруппе S становится двупорядоченным набором, если частичная двоичная операция определена в E следующим образом: ef определяется в E если и только если ef = е или ef= ж или fe = е или fe = ж держит в S. Если S является регулярной полугруппой, то E - регулярный бордюрный набор.

В качестве конкретного примера пусть S - полугруппа всех отображений Икс = {1, 2, 3} в себя. Пусть символ (abc) обозначают отображение, для которого 1 → а, 2 → б, и 3 → c. Набор E идемпотентов в S содержит следующие элементы:

(111), (222), (333) (постоянные карты)

(122), (133), (121), (323), (113), (223)

(123) (идентификационная карта)

Следующая таблица (составление отображений в порядке диаграммы) описывает частичную двоичную операцию в E. An Икс в ячейке указывает, что соответствующее умножение не определено.

∗	(111)	(222)	(333)	(122)	(133)	(121)	(323)	(113)	(223)	(123)
(111)	(111)	(222)	(333)	(111)	(111)	(111)	(333)	(111)	(222)	(111)
(222)	(111)	(222)	(333)	(222)	(333)	(222)	(222)	(111)	(222)	(222)
(333)	(111)	(222)	(333)	(222)	(333)	(111)	(333)	(333)	(333)	(333)
(122)	(111)	(222)	(333)	(122)	(133)	(122)	Икс	Икс	Икс	(122)
(133)	(111)	(222)	(333)	(122)	(133)	Икс	Икс	(133)	Икс	(133)
(121)	(111)	(222)	(333)	(121)	Икс	(121)	(323)	Икс	Икс	(121)
(323)	(111)	(222)	(333)	Икс	Икс	(121)	(323)	Икс	(323)	(323)
(113)	(111)	(222)	(333)	Икс	(113)	Икс	Икс	(113)	(223)	(113)
(223)	(111)	(222)	(333)	Икс	Икс	Икс	(223)	(113)	(223)	(223)
(123)	(111)	(222)	(333)	(122)	(133)	(121)	(323)	(113)	(223)	(123)

использованная литература

1. Намбоорипад, К. С. С (1973). Строение регулярных полугрупп. Университет Кералы, Тируванантапурам, Индия. ISBN  0-8218-2224-1.
2. Намбоорипад, К. С. С (1975). «Строение регулярных полугрупп I. Основные регулярные полугруппы». Полугруппа Форум. 9 (4): 354–363. Дои:10.1007 / BF02194864.
3. Намбоорипад, К. С. С (1979). Строение регулярных полугрупп - I. Воспоминания Американского математического общества. 224. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-2224-1.
4. Патрик К. Джордан. О биупорядоченных множествах, включая альтернативный подход к фундаментальным регулярным полугруппам. Магистерская работа, Сиднейский университет, 2002 г.
5. Путча, Мохан С (1988). Линейные алгебраические моноиды. Серия лекций Лондонского математического общества. 133. Издательство Кембриджского университета. С. 121–122. ISBN  978-0-521-35809-5.
6. Easdown, Дэвид (1984). «Упорядоченные множества - это упорядоченные подмножества идемпотентов полугрупп». Журнал Австралийского математического общества, серия A. 32 (2): 258–268.
7. Easdown, Дэвид (1985). «Биупорядоченные множества происходят из полугрупп». Журнал алгебры. 96 (2): 581–91. Дои:10.1016/0021-8693(85)90028-6.
8. Гигонь, Роман (2012). "Некоторые результаты по E-инверсивные полугруппы ». Квазигруппы и родственные системы. 20: 53-60.