Гипотеза о сумме степеней Эйлера - Eulers sum of powers conjecture

Гипотеза Эйлера опровергнутый догадка в математика относится к Последняя теорема Ферма. Это было предложено Леонард Эйлер в 1769 году. В нем говорится, что для всех целые числа п и k больше 1, если сумма п k-я степень натуральных чисел сама по себе kth power, тогда п Больше или равно k:

а k
1  + а k
2  + ... + а k
п  = б^k ⇒ п ≥ k

Гипотеза представляет собой попытку обобщить Последняя теорема Ферма, что является частным случаем п = 2: если а k
1  + а k
2  = б^k, тогда 2 ≥ k.

Хотя гипотеза верна для случая k = 3 (что следует из последней теоремы Ферма для третьих степеней), оно было опровергнуто для k = 4 и k = 5. Неизвестно, верна ли гипотеза или нет. k ≥ 6.

Фон

Эйлер знал о равенстве 59⁴ + 158⁴ = 133⁴ + 134⁴ с суммами четырех четвертых степеней; однако это не контрпример потому что ни один член не изолирован на одной стороне уравнения. Он также предоставил полное решение проблемы четырех кубиков, как в Число Платона 3³ + 4³ + 5³ = 6³ или номер такси 1729.^[1][2] Общее решение уравнения

${\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=x_{3}^{3}+x_{4}^{3}}$

является

${\displaystyle x_{1}=1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2}),\quad x_{2}=(a+3b)(a^{2}+3b^{2})-1}$

${\displaystyle x_{3}=(a+3b)-(a^{2}+3b^{2})^{2},\quad x_{4}=(a^{2}+3b^{2})^{2}-(a-3b)}$

куда а и б любые целые числа.

Контрпримеры

Гипотеза Эйлера была опровергнута Л. Дж. Ландер и Т. Р. Паркин в 1966 году, когда с помощью прямого компьютерного поиска на CDC 6600, они нашли контрпример для k = 5.^[3] Это было опубликовано в статье, состоящей всего из двух предложений.^[3] Всего известно три контрпримера-примитива (т. Е. В которых не все слагаемые имеют общий множитель) контрпримеров:

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵ (Lander & Parkin, 1966),

(−220)⁵ + 5027⁵ + 6237⁵ + 14068⁵ = 14132⁵ (Scher & Seidl, 1996) и

55⁵ + 3183⁵ + 28969⁵ + 85282⁵ = 85359⁵ (Фрай, 2004).

В 1986 г. Ноам Элкис нашел способ построить бесконечную серию контрпримеров для k = 4 дело.^[4] Его самый маленький контрпример был

2682440⁴ + 15365639⁴ + 18796760⁴ = 20615673⁴.

Частный случай решений Элкиса сводится к тождеству^[5][6]

(85v² + 484v − 313)⁴ + (68v² − 586v + 10)⁴ + (2ты)⁴ = (357v² − 204v + 363)⁴

куда

ты² = 22030 + 28849v − 56158v² + 36941v³ − 31790v⁴.

Это эллиптическая кривая с рациональная точка в v₁ = −31/467. Исходя из этой исходной рациональной точки, можно вычислить бесконечное множество других. Подстановка v₁ в тождество и удаление общих факторов дает числовой пример, цитируемый выше.

В 1988 г. Роджер Фрай нашел наименьший возможный контрпример

95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴

за k = 4 путем прямого компьютерного поиска с использованием методов, предложенных Элкисом. Это единственное решение со значениями переменных ниже 1 000 000.^[7]

Обобщения

Одна интерпретация числа Платона, 3³ + 4³ + 5³ = 6³

Основная статья: Гипотеза Лендера, Паркина и Селфриджа

В 1967 г. Л. Дж. Ландер, Т. Р. Паркин и Джон Селфридж предполагаемый^[8] что если

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}}$,

куда а_я ≠ б_j положительные целые числа для всех 1 ≤ я ≤ п и 1 ≤ j ≤ м, тогда м + п ≥ k. В частном случае м = 1, гипотеза утверждает, что если

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}}$

(при условиях, указанных выше), то п ≥ k − 1.

Частный случай можно описать как проблему предоставления раздел совершенной силы на несколько подобных сил. За k = 4, 5, 7, 8 и п = k или же k − 1, есть много известных решений. Некоторые из них перечислены ниже. По состоянию на 2002 год решений для ${\displaystyle k=6}$ чей окончательный член ≤ 730000.^[9]

k = 3

3³ + 4³ + 5³ = 6³ (Число Платона 216)

В этом случае а=1, б= 0 из Шриниваса Рамануджан формула

${\displaystyle (3a^{2}+5ab-5b^{2})^{3}+(4a^{2}-4ab+6b^{2})^{3}+(5a^{2}-5ab-3b^{2})^{3}=(6a^{2}-4ab+4b^{2})^{3}.}$ ^[10]

Куб как сумму трех кубов также можно параметризовать как

${\displaystyle a^{3}(a^{3}+b^{3})^{3}=b^{3}(a^{3}+b^{3})^{3}+a^{3}(a^{3}-2b^{3})^{3}+b^{3}(2a^{3}-b^{3})^{3}}$

или как

${\displaystyle a^{3}(a^{3}+2b^{3})^{3}=a^{3}(a^{3}-b^{3})^{3}+b^{3}(a^{3}-b^{3})^{3}+b^{3}(2a^{3}+b^{3})^{3}.}$^[10]

Число 2 100 000³ можно выразить как сумму трех кубиков девятью различными способами.^[10]

k = 4

95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴ (Р. Фрай, 1988)^[4]

30⁴ + 120⁴ + 272⁴ + 315⁴ = 353⁴ (Р. Норри, 1911)^[8]

Это наименьшее решение проблемы Р. Норри.

k = 5

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵ (Лендер и Паркин, 1966)^[11]

19⁵ + 43⁵ + 46⁵ + 47⁵ + 67⁵ = 72⁵ (Лендер, Паркин, Селфридж, самый маленький, 1967)^[8]

7⁵ + 43⁵ + 57⁵ + 80⁵ + 100⁵ = 107⁵ (Састры, 1934 г., третья по величине)^[8]

k = 7

127⁷ + 258⁷ + 266⁷ + 413⁷ + 430⁷ + 439⁷ + 525⁷ = 568⁷ (М. Додрил, 1999)^{[нужна цитата ]}

k = 8

90⁸ + 223⁸ + 478⁸ + 524⁸ + 748⁸ + 1088⁸ + 1190⁸ + 1324⁸ = 1409⁸ (С. Чейз, 2000)^{[нужна цитата ]}

Смотрите также

• Уравнение Якоби – Мэддена
• Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта
• Гипотеза Била
• Пифагорейская четверка
• Общий номер такси
• Суммы полномочий, список связанных гипотез и теорем

Рекомендации

1. Данэм, Уильям, изд. (2007). Гений Эйлера: размышления о его жизни и творчестве. МАА. п. 220. ISBN  978-0-88385-558-4.
2. Тит, III, Пьезас (2005). «Расширенная гипотеза Эйлера».
3. Lander, L.J .; Паркин, Т. Р. (1966). «Контрпример к гипотезе Эйлера о суммах одинаковых степеней». Бык. Амер. Математика. Soc. 72 (6): 1079. Дои:10.1090 / S0002-9904-1966-11654-3.
4. Элкис, Ноам (1988). "На А⁴ + B⁴ + C⁴ = D⁴" (PDF). Математика вычислений. 51 (184): 825–835. Дои:10.1090 / S0025-5718-1988-0930224-9. JSTOR  2008781. МИСТЕР  0930224.
5. "Лось" а⁴+б⁴+c⁴ = d⁴".
6. «Суммы трех четвертых степеней».
7. Фрай, Роджер Э. (1988), «В поисках 95800»⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴ на машине подключения ", Proceedings of Supercomputing 88, Vol.II: Science and Applications, стр. 106–116, Дои:10.1109 / SUPERC.1988.74138
8. Lander, L.J .; Паркин, Т. Р .; Селфридж, Дж. Л. (1967). «Обзор равных сумм одинаковых полномочий». Математика вычислений. 21 (99): 446–459. Дои:10.1090 / S0025-5718-1967-0222008-0. JSTOR  2003249.
9. Джованни Реста и Жан-Шарль Мейриньяк (2002). Наименьшие решения диофантова уравнения ${\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}+d^{6}+e^{6}=x^{6}+y^{6}}$, Математика вычислений, т. 72, с. 1054 (см. дальнейшая работа раздел).
10. Мир математики: диофантово уравнение - третья степень
11. Burkard Polster (24 марта 2018 г.). «Последние теоремы Эйлера и Ферма, Симпсоны и CDC6600» (видео). Получено 2018-03-24.

внешняя ссылка

• Тито Пьезас III, Коллекция алгебраических тождеств
• Ярослав Вроблевский, Равные суммы одинаковых степеней
• Эд Пегг младший, Математические игры, степенные суммы
• Джеймс Уолдби, Таблица пятых степеней, равных пятой степени (2009)
• Р. Гербич, Ж.-К. Мейриньяк, У. Бекерт, Все решения диофантова уравнения а⁶ + б⁶ = c⁶ + d⁶ + е⁶ + ж⁶ + грамм⁶ за а,б,c,d,е,ж,грамм <250000 найдено в распределенном проекте Boinc
• EulerNet: вычисление минимальных равных сумм одинаковых степеней
• Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза Эйлера о сумме степеней". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза Эйлера квартики". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение - 4 степени». MathWorld.
• Гипотеза Эйлера на library.thinkquest.org
• Простое объяснение гипотезы Эйлера по математике хорошо для вас!