Гипотеза фон Неймана - Von Neumann conjecture

В математика, то гипотеза фон Неймана заявил, что группа г не-послушный если и только если г содержит подгруппа это свободная группа на двух генераторы. Гипотеза была опровергнута в 1980 году.

В 1929 году во время работы над Парадокс Банаха – Тарского, Джон фон Нейман определил концепцию приемлемые группы и показал, что ни одна аменабельная группа не содержит свободная подгруппа ранга 2. Предположение, что может иметь место обратное, а именно, что каждая неаменабельная группа содержит свободную подгруппу на двух образующих, было сделано рядом разных авторов в 1950-х и 1960-х годах. Хотя имя фон Неймана обычно присоединяется к этой гипотезе, его первое письменное появление, похоже, связано с День Махлон Марш в 1957 г.

В Альтернатива сисек является фундаментальной теоремой, которая, в частности, устанавливает гипотезу в классе линейные группы.

Исторически первый потенциальный контрпример: Группа Томпсона F. Хотя ее приемлемость является широко открытой проблемой, общая гипотеза оказалась ложной в 1980 г. Александр Ольшанский; он продемонстрировал, что Группы тарских монстров, построенные им, которые, как легко видеть, не имеют свободных подгрупп ранга 2, не аменабельны. Два года спустя, Сергей Адян показал, что определенные Группы Бернсайда являются также контрпримеры. Ни один из этих контрпримеров не подходит. конечно представленный, и в течение нескольких лет считалось возможным, что гипотеза верна для конечно определенных групп. Однако в 2003 году Александр Ольшанский и Марк Сапир выставил набор конечно-представленных групп, которые не удовлетворяют гипотезе.

В 2013, Николя Моно нашел простой контрпример к гипотезе. Группа, заданная кусочно-проективными гомеоморфизмами прямой, удивительно проста для понимания. Несмотря на то, что он не поддается изменению, он прямо разделяет многие известные свойства поддающихся группировок. В 2013 году Яш Лодха и Джастин Тэтч Мур изолировал конечно определенную неаменабельную подгруппу группы Моно. Это дает первый конечно представленный контрпример без кручения и допускает представление с 3 образующими и 9 соотношениями. Позже Лодха показал, что эта группа удовлетворяет свойство ${\displaystyle F_{\infty }}$, что является более сильным свойством конечности.

использованная литература

• Адян, Сергей (1982), "Случайные блуждания по свободным периодическим группам", Изв. Акад. АН СССР, Сер. Мат. (по-русски), 46 (6): 1139–1149, 1343, Zbl  0512.60012
• Дэй, Махлон М. (1957), «Аменабельные полугруппы», Ill. J. Math., 1: 509–544, Zbl  0078.29402
• Ольшанский, Александр (1980), "К вопросу о существовании инвариантного среднего на группе", Успехи матем. Наук (по-русски), 35 (4): 199–200, Zbl  0452.20032
• Ольшанский Александр; Сапир, Марк (2003), "Неаменабельные конечно определенные группы с циклическим кручением", Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 96 (1): 43–169, arXiv:математика / 0208237, Дои:10.1007 / s10240-002-0006-7, Zbl  1050.20019
• Моно, Николя (2013), "Группы кусочно проективных гомеоморфизмов", Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, 110 (12): 4524–4527, arXiv:1209.5229, Bibcode:2013ПНАС..110.4524М, Дои:10.1073 / pnas.1218426110, Zbl  1305.57002
• Лодха, Яш; Мур, Джастин Тэтч (2016), «Неаменабельная конечно определенная группа кусочно проективных гомеоморфизмов», Группы, геометрия и динамика, 10 (1): 177–200, arXiv:1308.4250v3, Дои:10.4171 / GGD / 347, Г-Н  3460335
• Лодха, Яш (2020), "Неизменяемый тип ${\displaystyle F_{\infty }}$ группа кусочно проективных гомеоморфизмов », Журнал топологии, 13 (4): 1767–1838, Дои:10.1112 / topo.12172