Гипотеза Хедетниемиса - Hedetniemis conjecture

Пример Гипотеза Хедетниеми: тензорное произведение C5 и C3 (слева) дает граф, содержащий цикл длиной 15 (справа), поэтому: итоговый граф требует 3 цветов.

В теория графов, Гипотеза Хедетниеми, сформулированный Стивен Т. Хедетниеми в 1966 году касается связи между раскраска графика и тензорное произведение графов. Эта гипотеза утверждает, что

{ Displaystyle чи (G раз H) = мин { чи (G), чи (H) }.}

Здесь ${ Displaystyle чи (G)}$ обозначает хроматическое число неориентированного конечного графа ${ displaystyle G}$ .

Неравенство χ (грамм × ЧАС) ≤ min {χ (грамм), χ (ЧАС)} легко: если грамм является k-цветная, можно k-цвет грамм × ЧАС используя одну и ту же окраску для каждой копии грамм в продукте; симметрично, если ЧАС является k-цветный. Таким образом, гипотеза Хедетниеми сводится к утверждению, что тензорные произведения нельзя раскрасить в неожиданно малое количество цветов.

Контрпример к гипотезе открыл Ярослав Шитов (2019 ) (видеть Калаи 2019 ), тем самым опровергая гипотезу в целом.

Известные случаи

Для любого графа с непустым множеством ребер требуется как минимум два цвета; если грамм и ЧАС не 1-раскрашиваемы, то есть они оба содержат ребро, то их произведение также содержит ребро и, следовательно, тоже не 1-раскрашиваемо. В частности, гипотеза верна, когда грамм или же ЧАС является двудольным графом, так как тогда его хроматическое число равно 1 или 2.

Аналогично, если два графика грамм и ЧАС не являются двухцветными, то есть не двудольный, то оба содержат цикл нечетной длины. Поскольку произведение двух нечетных графики цикла содержит нечетный цикл, продукт грамм × ЧАС тоже не двухцветный. Другими словами, если грамм × ЧАС 2-раскрашиваем, то хотя бы один из грамм и ЧАС также должны быть двухцветными.

Следующий случай был доказан спустя много времени после утверждения гипотезы. Эль-Захар и Зауэр (1985): если продукт грамм × ЧАС 3-раскрашиваем, то один из грамм или же ЧАС также должен быть трехцветным. В частности, гипотеза верна всякий раз, когда грамм или же ЧАС 4-раскрашиваем (так как тогда неравенство χ (грамм × ЧАС) ≤ min {χ (грамм), χ (ЧАС)} может быть строгим только тогда, когда грамм × ЧАС В остальных случаях оба графика в тензорном произведении являются как минимум 5-хроматическими, и прогресс был достигнут только для очень ограниченных ситуаций.

Слабая гипотеза Хедетниеми

Следующая функция (известная как Функция Поляка-Рёдля) измеряет, насколько низкое хроматическое число продуктов п-хроматические графики могут быть.

{ Displaystyle е (п) = мин { чи (G раз H) двоеточие чи (G) = чи (H) = п }}

Гипотеза Хедетниеми тогда эквивалентна утверждению, что $ж (п) = п$ . Слабая гипотеза Хедетниеми вместо этого просто заявляет, что функция ж(пДругими словами, если тензорное произведение двух графов можно раскрасить в несколько цветов, это должно означать некоторое ограничение на хроматическое число одного из факторов.

Основной результат (Поляк и Рёдль 1981 ), независимо улучшенный Поляком, Джеймсом Х. Шмерлом и Чжу, утверждает, что если функция ж(п) ограничен, то он ограничен не более чем 9. Таким образом, доказательство гипотезы Хедетниеми для 10-хроматических графов уже влечет за собой слабую гипотезу Хедетниеми для всех графов.

Мультипликативные графы

Гипотеза изучается в более общем контексте гомоморфизмы графов, особенно из-за интересного отношения к категория графов (с графами как объектами и гомоморфизмами как стрелками). Для любого фиксированного графика K, рассматриваются графы грамм допускающие гомоморфизм K, написано грамм → K. Их также называют K-раскрашиваемые графики. Это обобщает обычное понятие раскраски графа, поскольку из определений следует, что a kраскраска такая же, как K_k-раскраска (гомоморфизм в полный граф на k вершины).

График K называется мультипликативный если для любых графиков грамм, ЧАС, дело в том, что грамм × ЧАС → K следует, что грамм → K или же ЧАС → K Как и в случае с классическими раскрасками, всегда имеет место обратная импликация: если грамм (или же ЧАС, симметрично) Kраскрашиваемый, то грамм × ЧАС легко K-крашивается с использованием тех же значений независимо от ЧАСГипотеза Хедетниеми тогда эквивалентна утверждению, что каждый полный граф мультипликативен.

Вышеуказанные известные случаи эквивалентны утверждению, что K₁, K₂, и K₃ мультипликативны. K₄ широко открыта. С другой стороны, доказательство Эль-Захар и Зауэр (1985) был обобщен Häggkvist et al. (1988) чтобы показать, что все графы циклов мультипликативны. Тардиф (2005) в более общем плане доказал, что все круговые клики K_{н / к} с п / к <4 мультипликативны. круговое хроматическое число χ_c, это означает, что если $χ c (грамм \times ЧАС) < 4$ , тогда $χ c (грамм \times ЧАС) = min {χ c (грамм), χ c (грамм)}$ . Врохна (2017) показал, что графы без квадратов мультипликативны.

Примеры не мультипликативных графов могут быть построены из двух графов грамм и ЧАС несравнимые в порядке гомоморфизма (т. е. ни грамм→ЧАС ни ЧАС→грамм держит). В этом случае, позволяя K=грамм×ЧАС, мы тривиально имеем грамм×ЧАС→K, но ни грамм ни ЧАС может допускать гомоморфизм в K, поскольку составлен с проекцией K→ЧАС или же K→грамм это привело бы к противоречию.

Экспоненциальный график

Поскольку тензорным произведением графов является теоретико-категориальный продукт в категории графов (с графами как объектами и гомоморфизмами как стрелками) гипотезу можно перефразировать в терминах следующей конструкции на графах K и грамм. экспоненциальный график $K грамм$ это график со всеми функциями $V (G) \to V (К)$ как вершины (не только гомоморфизмы) и две функции ж,грамм рядом, когда

f (v) примыкает к г (v ') в K, для всех смежных вершин v,v ' из грамм.

В частности, есть цикл у функции ж (она смежна сама с собой) тогда и только тогда, когда функция дает гомоморфизм из грамм к K. По-другому, есть грань между ж и грамм всякий раз, когда две функции определяют гомоморфизм из грамм × K₂ (в двусторонняя двойная обложка из грамм) к K.

Экспоненциальный график - это экспоненциальный объект в категории графиков. Это означает гомоморфизмы из грамм × ЧАС к графику K соответствуют гомоморфизмы из ЧАС к K^грамм. Более того, существует гомоморфизм $eval: грамм \times K грамм \to K$ данный $eval (v, ж) = ж (v)$ Эти свойства позволяют заключить, что мультипликативность K эквивалентно (Эль-Захар и Зауэр 1985 ) к заявлению:

либо грамм или же K^грамм является K-раскрашиваемый, для каждого графика грамм.

Другими словами, гипотезу Хедетниеми можно рассматривать как утверждение об экспоненциальных графах: для каждого целого числа k, график K_k^грамм либо kраскрашиваемый, или он содержит цикл (что означает грамм является k-раскрашиваемый). Также можно увидеть гомоморфизмы $eval: грамм \times K k грамм \to K k$ как тяжелейший примеры гипотезы Хедетниеми: если продукт грамм × ЧАС был контрпримером, тогда грамм × K_k^грамм тоже был бы контрпримером.

Обобщения

Обобщенная на ориентированные графы, эта гипотеза имеет простые контрпримеры, как заметил Поляк и Рёдль (1981). Здесь хроматическое число ориентированного графа - это просто хроматическое число нижележащего графа, но тензорное произведение имеет ровно половину числа ребер (для ориентированных ребер g → g ' в грамм и ч → ч ' в ЧАС, тензорное произведение грамм × ЧАС имеет только одно ребро, от (г, ч) к (г ', ч'), в то время как продукт нижележащих неориентированных графов будет иметь ребро между (г, ч ') и (г ', ч) также). Однако гипотеза Слабого Хедетниеми оказывается эквивалентной в направленной и ненаправленной постановке (Тардиф и Веллау 2006 ).

Проблема не может быть обобщена на бесконечные графы: Хайнал (1985) привел пример двух бесконечных графов, каждый из которых требует бесчисленного количества цветов, так что их продукт может быть раскрашен только счетным количеством цветов. Ринот (2013) доказал, что в конструируемая вселенная, для каждого бесконечного кардинала ${ displaystyle kappa}$ , существует пара графов с хроматическим числом больше ${ displaystyle kappa}$ , так что их продукт можно раскрасить только счетным количеством цветов.

Связанные проблемы

Аналогичное равенство для декартово произведение графиков было доказано Сабидусси (1957) и впоследствии несколько раз открывали заново. Также известна точная формула лексикографическое произведение графов.Даффус, пески и Вудро (1985) представил две более сильные гипотезы об уникальной раскрашиваемости.

внешняя ссылка

Прорыв в теории графов, Numberphile