Гипотеза Лендера, Паркина и Селфриджа - Lander, Parkin, and Selfridge conjecture

В Гипотеза Лендера, Паркина и Селфриджа касается целочисленных решений уравнений, содержащих суммы одинаковых степеней. Уравнения являются обобщением рассмотренных в Последняя теорема Ферма. Гипотеза состоит в том, что если сумма некоторых k-я степень равна сумме некоторых других k-й степени, то общее количество членов в обеих суммах должно быть не менее k.

Фон

Диофантовы уравнения, например, целочисленная версия уравнения а² + б² = c² что появляется в теорема Пифагора, были изучены на предмет их целое число решение свойства на века. Последняя теорема Ферма заявляет, что для полномочия больше 2, уравнение а^k + б^k = c^k не имеет решений в ненулевом целые числа а, б, c. Увеличение количества термины на одной или обеих сторонах и с учетом более высоких степеней, чем 2, привело к Леонард Эйлер предложить в 1769 году, что для всех целых чисел п и k больше 1, если сумма п k-я степень натуральных чисел сама по себе kth power, тогда п Больше или равно k.

В символах, если${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}}$куда п > 1 и ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},b}$ натуральные числа, то его гипотеза заключалась в том, что п ≥ k.

В 1966, контрпример к Гипотеза Эйлера о сумме степеней был найден Леон Дж. Ландер и Томас Р. Паркин за k = 5:^[1]

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵.

В последующие годы в дальнейшем контрпримеры были найдены, в том числе для k = 4. Последний опроверг более конкретный Гипотеза Эйлера квартики, а именно, что а⁴ + б⁴ + c⁴ = d⁴ не имеет положительных целочисленных решений. Фактически, наименьшее решение, найденное в 1988 г.,

414560⁴ + 217519⁴ + 95800⁴ = 422481⁴.

Гипотеза

В 1967 г. Л. Дж. Ландер, Т. Р. Паркин и Джон Селфридж предполагаемый^[2] что если ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}}$, куда а_я ≠ б_j - натуральные числа для всех 1 ≤я ≤ п и 1 ≤j ≤ м, тогда м+п ≥ k. Формула равной суммы одинаковых степеней часто сокращается как (k, м, п).

Небольшие примеры с ${\displaystyle m=n={\frac {k}{2}}}$ (относится к общий номер такси ) включают ${\displaystyle 59^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4}}$ (известный Эйлеру) и ${\displaystyle 3^{6}+19^{6}+22^{6}=10^{6}+15^{6}+23^{6}}$ (найден К. Субба Рао в 1934 г.).

Гипотеза в частном случае м = 1, что если

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}}$

(при условиях, указанных выше), то п ≥ k − 1.

В этом частном случае м = 1, некоторые из известных решений, удовлетворяющих предложенному ограничению с п ≤ k, где термины положительные целые числа, следовательно, давая раздел силы на подобные силы:^[3]

k = 3

3³ + 4³ + 5³ = 6³.

k = 4

95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴, (Роджер Фрай, 1988)

30⁴ + 120⁴ + 272⁴ + 315⁴ = 353⁴, (Р. Норри, 1911)

Последняя теорема Ферма утверждает, что для k = 4 гипотеза верна.

k = 5

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵, (Лендер, Паркин, 1966)

7⁵ + 43⁵ + 57⁵ + 80⁵ + 100⁵ = 107⁵, (Састры, 1934 г., третья по величине)

k = 6

(Неизвестно. По состоянию на 2002 год не существует решений с окончательным сроком ≤ 730000.^[4] )

k = 7

127⁷ + 258⁷ + 266⁷ + 413⁷ + 430⁷ + 439⁷ + 525⁷ = 568⁷, (М. Додрил, 1999)

k = 8

90⁸ + 223⁸ + 478⁸ + 524⁸ + 748⁸ + 1088⁸ + 1190⁸ + 1324⁸ = 1409⁸, (Скотт Чейз, 2000)

k ≥ 9

(Никто не известен.)

Текущее состояние

Неизвестно, верна ли гипотеза или существуют решения, которые были бы контрпримерами, например а^k + б^k = c^k + d^k за k ≥ 5.

Смотрите также

• Экспериментальная математика (контрпримеры к гипотезе Эйлера о сумме степеней, особенно наименьшее решение для k = 4)
• Уравнение Якоби – Мэддена
• Проблема Пруэ – Тарри – Эскотта
• Гипотеза Била
• Пифагорейская четверка
• Список нерешенных задач по математике
• Суммы полномочий, список связанных гипотез и теорем

Рекомендации

1. Л. Дж. Ландер; Паркин Т.Р. (1966). «Контрпример к гипотезе Эйлера о суммах одинаковых степеней». Бык. Амер. Математика. Soc. 72: 1079. Дои:10.1090 / S0002-9904-1966-11654-3.
2. Л. Дж. Ландер; Т. Р. Паркин; Дж. Л. Селфридж (1967). «Обзор равных сумм одинаковых полномочий». Математика вычислений. 21 (99): 446–459. Дои:10.1090 / S0025-5718-1967-0222008-0. JSTOR  2003249.
3. Цитируется в Мейриньяк, Жан-Шарль (14 февраля 2001 г.). «Вычисление минимальных равных сумм одинаковых мощностей: лучшие известные решения». Получено 17 июля 2017.
4. Джованни Реста и Жан-Шарль Мейриньяк (2002). Наименьшие решения диофантова уравнения ${\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}+d^{6}+e^{6}=x^{6}+y^{6}}$, Математика вычислений, т. 72, с. 1054 (см. дальнейшая работа раздел).

• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел. Проблемные книги по математике (3-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. D1. ISBN  0-387-20860-7. Zbl  1058.11001.

внешняя ссылка

• EulerNet: вычисление минимальных равных сумм одинаковых степеней
• Ярослав Вроблевски Равные суммы одинаковых степеней
• Тито Пьезас III: Коллекция алгебраических тождеств
• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение - 5-я степень». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение - шестая степень». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение - 7-я степень». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение - восьмая степень». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза Эйлера о сумме степеней". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза Эйлера квартики". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение - 4 степени». MathWorld.
• Гипотеза Эйлера на library.thinkquest.org
• Простое объяснение гипотезы Эйлера по математике хорошо для вас!
• Математики находят новые решения древней головоломки
• Эд Пегг младший Суммы мощности, Математические игры