Числа Эпсилона (математика) - Epsilon numbers (mathematics)

Эта статья про порядковый номер в математике. Для физической постоянной ε₀, видеть Диэлектрическая проницаемость вакуума.

В математика, то числа эпсилона представляют собой собрание трансфинитные числа чьим определяющим свойством является то, что они фиксированные точки из экспоненциальная карта. Следовательно, они не достижимы из 0 через конечную серию приложений выбранного экспоненциального отображения и «более слабых» операций, таких как сложение и умножение. Исходные числа эпсилона были введены Георг Кантор в контексте порядковая арифметика; они порядковые номера ε, удовлетворяющие уравнение

${\displaystyle \varepsilon =\omega ^{\varepsilon },\,}$

в котором ω - наименьший бесконечный ординал.

Наименьший такой порядковый номер ε₀ (произносится эпсилон ноль или же эпсилон ноль), который можно рассматривать как «предел», полученный трансфинитная рекурсия из последовательности меньших предельных ординалов:

${\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=\sup\{\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \}}$

Более крупные порядковые фиксированные точки экспоненциальной карты индексируются порядковыми нижними индексами, в результате чего ${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots ,\varepsilon _{\omega },\varepsilon _{\omega +1},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{1}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\cdot _{\cdot _{\cdot }}}}},\ldots }$. Порядковый номер ε₀ все еще счетный, как и любое число эпсилон, индекс которого является счетным (существуют несчетные порядковые номера и несчетные числа эпсилон, индекс которых является несчетным порядковым номером).

Наименьшее эпсилон-число ε₀ появляется во многих индукция доказательства, потому что для многих целей трансфинитная индукция требуется только с точностью до ε₀ (как в Доказательство непротиворечивости Гентцена и доказательство Теорема Гудштейна ). Его использование Gentzen доказать непротиворечивость Арифметика Пеано, вместе с Вторая теорема Гёделя о неполноте, показывают, что арифметика Пеано не может доказать обоснованность этого порядка (на самом деле это наименьший ординал с этим свойством, и как таковой в теоретико-доказательственном порядковый анализ, используется как мера силы теории арифметики Пеано).

Многие большие числа эпсилона могут быть определены с помощью Функция Веблена.

Более общий класс эпсилон-чисел был идентифицирован Джон Хортон Конвей и Дональд Кнут в сюрреалистический номер система, состоящая из всех сюрреалей, которые являются неподвижными точками базового экспоненциального отображения ω Икс → ω^Икс.

Гессенберг (1906) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFHessenberg1906 (помощь) определенные гамма-числа (см. аддитивно неразложимый порядковый ) быть числами γ> 0 такими, что α + γ = γ, если α <γ, и дельта-числами (см. аддитивно неразложимый ординал § Мультипликативно неразложимый ) быть числами δ> 1 такими, что αδ = δ, если 0 <α <δ, и числами эпсилон быть числами ε> 2 такими, что α^ε= ε, если 1 <α <ε. Его гамма-числа имеют вид ω^β, а его дельта-числа имеют вид ω^ωβ.

Порядковые числа ε

Стандартное определение порядковое возведение в степень с основанием α:

• ${\displaystyle \alpha ^{0}=1\,,}$
• ${\displaystyle \alpha ^{\beta +1}=\alpha ^{\beta }\cdot \alpha \,,}$
• ${\displaystyle \alpha ^{\kappa }=\limsup _{\lambda <\kappa }\,\alpha ^{\lambda }}$ за предел ${\displaystyle \kappa }$.

Из этого определения следует, что для любого фиксированного ординала α > 1, отображение ${\displaystyle \beta \mapsto \alpha ^{\beta }}$ это нормальная функция, поэтому он имеет сколь угодно большой фиксированные точки посредством лемма о неподвижной точке для нормальных функций. Когда ${\displaystyle \alpha =\omega }$, эти неподвижные точки и есть порядковые эпсилон-числа. Наименьшее из них, ε₀, является супремумом последовательности

${\displaystyle 0,\omega ^{0}=1,\omega ^{1}=\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\ldots ,\omega \uparrow \uparrow k,\ldots }$

в котором каждый элемент является изображением своего предшественника при отображении ${\displaystyle \beta \mapsto \omega ^{\beta }}$. (Общий термин дается с использованием Обозначение Кнута со стрелкой вверх; то ${\displaystyle \uparrow \uparrow }$ оператор эквивалентен тетрация.) Так же, как ω^ω определяется как верхняя грань оператора {ω^k } для натуральных чисел k, наименьшее порядковое эпсилон-число ε₀ также может быть обозначено ${\displaystyle \omega \uparrow \uparrow \omega }$; это обозначение гораздо реже, чем ε₀.

Следующее число эпсилона после ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ является

${\displaystyle \varepsilon _{1}=\sup\{\varepsilon _{0}+1,\omega ^{\varepsilon _{0}+1},\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}},\dots \},}$

в котором последовательность снова строится путем повторного возведения в степень по основанию ω, но начинается с ${\displaystyle \varepsilon _{0}+1}$ вместо 0. Уведомление

${\displaystyle \omega ^{\varepsilon _{0}+1}=\omega ^{\varepsilon _{0}}\cdot \omega ^{1}=\varepsilon _{0}\cdot \omega \,,}$

${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}=\omega ^{(\varepsilon _{0}\cdot \omega )}={(\omega ^{\varepsilon _{0}})}^{\omega }=\varepsilon _{0}^{\omega }\,,}$

${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}^{1+\omega }}=\omega ^{(\varepsilon _{0}\cdot {\varepsilon _{0}}^{\omega })}={(\omega ^{\varepsilon _{0}})}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}={\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}\,.}$

Другая последовательность с тем же супремумом, ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$, получается путем начала с 0 и возведения в степень с основанием ε₀:

${\displaystyle \varepsilon _{1}=\sup\{0,1,\varepsilon _{0},{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}},{\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}}},\ldots \},}$

Число эпсилона ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha +1}}$ индексированный любым последующим порядковым номером α + 1, строится аналогично, возведением в степень по основанию ω, начиная с ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }+1}$ (или по базе ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }}$ возведение в степень, начиная с 0).

${\displaystyle \varepsilon _{\alpha +1}=\sup\{\varepsilon _{\alpha }+1,\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1},\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1}},\dots \}=\sup\{0,1,\varepsilon _{\alpha },\varepsilon _{\alpha }^{\varepsilon _{\alpha }},\varepsilon _{\alpha }^{\varepsilon _{\alpha }^{\varepsilon _{\alpha }}},\dots \}}$

Эпсилон-число, индексируемое предельный порядковый номер α устроен иначе. Номер ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }}$ является супремумом набора чисел эпсилон ${\displaystyle \{\varepsilon _{\beta },\beta <\alpha \}}$. Первое такое число ${\displaystyle \varepsilon _{\omega }}$. Независимо от того, является ли индекс α предельным ординалом, ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }}$ является неподвижной точкой не только возведения в степень по основанию ω, но также и по возведению в степень по основанию γ для всех ординалов ${\displaystyle 1<\gamma <\varepsilon _{\alpha }}$.

Поскольку числа эпсилон являются неограниченным подклассом порядковых чисел, они пронумерованы с использованием самих порядковых чисел. Для любого порядкового номера ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }}$ - наименьшее число эпсилон (фиксированная точка экспоненциального отображения), еще не входящее в набор ${\displaystyle \{\varepsilon _{\beta },\beta <\alpha \}}$. Может показаться, что это неконструктивный эквивалент конструктивного определения, использующего повторное возведение в степень; но эти два определения одинаково неконструктивны на этапах, индексированных предельными ординалами, которые представляют трансфинитную рекурсию более высокого порядка, чем взятие верхней грани экспоненциального ряда.

Следующие факты об эпсилон-числах очень просто доказать:

• Хотя это довольно большое количество, ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ все еще счетный, являясь счетным объединением счетных ординалов; по факту, ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }}$ счетно тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \alpha }$ счетно.
• Объединение (или супремум) любого непустого набора чисел эпсилон является числом эпсилон; так например

${\displaystyle \varepsilon _{\omega }=\sup\{\varepsilon _{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots \}}$

это число эпсилон. Таким образом, отображение ${\displaystyle \alpha \mapsto \varepsilon _{\alpha }}$ это нормальная функция.

• В начальный порядковый номер любой бесчисленный кардинал это число эпсилон.

${\displaystyle \alpha \geq 1\Rightarrow \varepsilon _{\omega _{\alpha }}=\omega _{\alpha }\,.}$

Представление ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ коренными деревьями

Любое эпсилон-число ε имеет Нормальная форма Кантора ${\displaystyle \varepsilon =\omega ^{\varepsilon }}$, что означает, что нормальная форма Кантора не очень полезна для чисел эпсилон. Порядковые числа меньше ε₀Однако их можно описать с помощью их нормальных форм Кантора, что приводит к представлению ε₀ как упорядоченный набор всех конечные корневые деревья, следующее. Любой порядковый ${\displaystyle \alpha <\varepsilon _{0}}$ имеет нормальную форму Кантора ${\displaystyle \alpha =\omega ^{\beta _{1}}+\omega ^{\beta _{2}}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}}$ куда k натуральное число и ${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$ являются ординалами с ${\displaystyle \alpha >\beta _{1}\geq \cdots \geq \beta _{k}}$, однозначно определяется ${\displaystyle \alpha }$. Каждый из ординалов ${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$ в свою очередь имеет аналогичную нормальную форму Кантора. Мы получаем конечное корневое дерево, представляющее α, путем соединения корней деревьев, представляющих ${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$ в новый корень. (Это приводит к тому, что число 0 представлено одним корнем, а число ${\displaystyle 1=\omega ^{0}}$ представлен деревом, содержащим корень и единственный лист.) Порядок на множестве конечных корневых деревьев определяется рекурсивно: сначала мы упорядочиваем поддеревья, соединенные с корнем, в порядке убывания, а затем используем лексикографический порядок на этих упорядоченных последовательностях поддеревьев. Таким образом, множество всех конечных корневых деревьев становится упорядоченный набор которое по порядку изоморфно ε₀.

Иерархия Веблена

Основная статья: Функция Веблена

Неподвижные точки «эпсилон-отображения» ${\displaystyle x\mapsto \varepsilon _{x}}$ образуют нормальную функцию, неподвижные точки которой образуют нормальную функцию, у которой…; это известно как Иерархия Веблена (функции Веблена с базой φ₀(α) = ω^α). В обозначениях иерархии Веблена эпсилон-отображение - это φ₁, а его неподвижные точки нумеруются φ₂.

Продолжая в том же духе, можно определить отображения φ_α для прогрессивно увеличивающихся ординалов α (включая, с помощью этой разреженной формы трансфинитной рекурсии, предельные ординалы) с постепенно увеличивающимися наименьшими фиксированными точками_{α + 1}(0). Наименьший порядковый номер, недоступный из 0 с помощью этой процедуры - i. е., наименьший ординал α, для которого φ_α(0) = α, или, что то же самое, первая неподвижная точка отображения ${\displaystyle \alpha \mapsto \varphi _{\alpha }(0)}$-это Порядковый номер Фефермана – Шютте Γ₀. В теории множеств, где можно доказать существование такого ординала, существует отображение Γ, которое перечисляет неподвижные точки Γ₀, Γ₁, Γ₂, ... из ${\displaystyle \alpha \mapsto \varphi _{\alpha }(0)}$; это все еще эпсилон-числа, поскольку они лежат в образе φ_β для любого β ≤ Γ₀, в том числе отображения φ₁ который перечисляет числа эпсилона.

Сюрреалистические числа ε

В О числах и играх, классическая экспозиция на сюрреалистические числа, Джон Хортон Конвей предоставил ряд примеров понятий, которые имеют естественные расширения от ординалов до сюрреалов. Одна из таких функций - ${\displaystyle \omega }$-карта ${\displaystyle n\mapsto \omega ^{n}}$; это отображение естественным образом обобщается и включает в себя все сюрреалистические числа. домен, что, в свою очередь, обеспечивает естественное обобщение Нормальная форма Кантора для сюрреалистических чисел.

Естественно рассматривать любую фиксированную точку этой расширенной карты как эпсилон-число, независимо от того, является ли это строго порядковым числом. Некоторые примеры неординальных чисел эпсилон:

${\displaystyle \varepsilon _{-1}=\{0,1,\omega ,\omega ^{\omega },\ldots \mid \varepsilon _{0}-1,\omega ^{\varepsilon _{0}-1},\ldots \}}$

и

${\displaystyle \varepsilon _{\frac {1}{2}}=\{\varepsilon _{0}+1,\omega ^{\varepsilon _{0}+1},\ldots \mid \varepsilon _{1}-1,\omega ^{\varepsilon _{1}-1},\ldots \}.}$

Есть естественный способ определить ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$ за каждое сюрреалистическое число п, и карта остается сохраняющей порядок. Конвей продолжает определять более широкий класс «неприводимых» сюрреалистических чисел, который включает в себя числа эпсилон как особенно интересный подкласс.

Смотрите также

• Порядковая арифметика
• Большой счетный порядковый номер

Рекомендации

• J.H. Конвей, О числах и играх (1976) Academic Press ISBN  0-12-186350-6
• Раздел XIV.20 Серпинский, Вацлав (1965), Кардинальные и порядковые числа (2-е изд.), PWN - Польские научные издательства