Лемма о неподвижной точке для нормальных функций - Fixed-point lemma for normal functions

В лемма о неподвижной точке для нормальных функций это основной результат в аксиоматическая теория множеств заявляя, что любой нормальная функция имеет произвольно большой фиксированные точки (Леви 1979: с. 117). Впервые это было доказано Освальд Веблен в 1908 г.

Предпосылки и официальное заявление

А нормальная функция это класс функция ${\displaystyle f}$ из класса Ord of порядковые номера себе такое, что:

• ${\displaystyle f}$ является строго возрастающий: ${\displaystyle f(\alpha )<f(\beta )}$ всякий раз, когда ${\displaystyle \alpha <\beta }$.
• ${\displaystyle f}$ является непрерывный: для каждого предельного порядкового номера ${\displaystyle \lambda }$ (т.е. ${\displaystyle \lambda }$ не является ни нулем, ни преемником), ${\displaystyle f(\lambda )=\sup\{f(\alpha ):\alpha <\lambda \}}$.

Можно показать, что если ${\displaystyle f}$ тогда нормально ${\displaystyle f}$ ездит с супрема; для любого непустого множества ${\displaystyle A}$ ординалов,

${\displaystyle f(\sup A)=\sup f(A)=\sup\{f(\alpha ):\alpha \in A\}}$.

Действительно, если ${\displaystyle \sup A}$ порядковый номер преемника, то ${\displaystyle \sup A}$ является элементом ${\displaystyle A}$ а равенство следует из возрастающего свойства ${\displaystyle f}$. Если ${\displaystyle \sup A}$ является предельным ординалом, то равенство следует из непрерывного свойства ${\displaystyle f}$.

А фиксированная точка нормальной функции - порядковый номер ${\displaystyle \beta }$ такой, что ${\displaystyle f(\beta )=\beta }$.

Лемма о неподвижной точке утверждает, что класс неподвижных точек любой нормальной функции непуст и фактически неограничен: для любого ординала ${\displaystyle \alpha }$, существует порядковый ${\displaystyle \beta }$ такой, что ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$ и ${\displaystyle f(\beta )=\beta }$.

Непрерывность нормальной функции означает, что класс неподвижных точек замкнут (верхняя грань любого подмножества класса неподвижных точек снова является неподвижной точкой). Таким образом, лемма о неподвижной точке эквивалентна утверждению, что неподвижные точки нормальной функции образуют закрытый и неограниченный учебный класс.

Доказательство

Первым шагом доказательства является проверка того, что ж(γ) ≥ γ для всех ординалов γ и что ж коммутирует с suprema. Учитывая эти результаты, индуктивно определим возрастающую последовательность <α_п> (п <ω), положив α₀ = α и α_п+1 = ж(α_п) за п ∈ ω. Пусть β = sup {α_п : п ∈ ω}, поэтому β ≥ α. Более того, поскольку ж ездит с супремой,

ж(β) = ж(sup {α_п : п <ω})

= sup {ж(α_п) : п <ω}

= sup {α_п+1 : п <ω}

= β.

Последнее равенство следует из того, что последовательность <α_п> увеличивается. ${\displaystyle \square }$

Кроме того, можно продемонстрировать, что найденное таким образом β является наименьшей фиксированной точкой, большей или равной α.

Пример приложения

Функция ж : Ord → Ord, ж(α) = ω_α нормально (см. начальный порядковый номер ). Таким образом, существует ординал θ такой, что θ = ω_θ. Фактически, лемма показывает, что существует замкнутый неограниченный класс таких θ.

Рекомендации

• Леви, А. (1979). Основная теория множеств. Springer. ISBN  978-0-387-08417-6. Переиздано, Дувр, 2002.
• Веблен, О. (1908). «Непрерывно возрастающие функции конечных и трансфинитных ординалов». Пер. Амер. Математика. Soc. 9 (3): 280–292. Дои:10.2307/1988605. ISSN  0002-9947. JSTOR  1988605. Доступно через JSTOR.