Кинжал симметричной моноидальной категории - Dagger symmetric monoidal category

В математической области теория категорий, а кинжал симметричная моноидальная категория это моноидальная категория ${\displaystyle \langle \mathbf {C} ,\otimes ,I\rangle }$ который также обладает структура кинжала. То есть эта категория оснащена не только тензорное произведение в теоретико-категорийный смысл, но и с структура кинжала, который используется для описания унитарные морфизмы и самосопряженные морфизмы в ${\displaystyle \mathbf {C} }$: абстрактные аналоги найденных в FdHilb, то категория конечномерных гильбертовых пространств. Этот тип категория был представлен Питером Селинджером^[1] как промежуточная структура между категории кинжалов и кинжал компактные категории которые используются в категориальная квантовая механика, область, которая теперь также рассматривает кинжал-симметричные моноидальные категории при работе с бесконечномерными квантово-механический концепции.

Формальное определение

А кинжал симметричная моноидальная категория это симметричная моноидальная категория ${\displaystyle \mathbf {C} }$ который также имеет структура кинжала такой, что для всех ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$, ${\displaystyle g:C\rightarrow D}$ и все ${\displaystyle A,B,C}$ и ${\displaystyle D}$ в ${\displaystyle Ob(\mathbf {C} )}$,

• ${\displaystyle (f\otimes g)^{\dagger }=f^{\dagger }\otimes g^{\dagger }:B\otimes D\rightarrow A\otimes C}$;
• ${\displaystyle \alpha _{A,B,C}^{\dagger }=\alpha _{A,B,C}^{-1}:A\otimes (B\otimes C)\rightarrow (A\otimes B)\otimes C}$;
• ${\displaystyle \rho _{A}^{\dagger }=\rho _{A}^{-1}:A\rightarrow A\otimes I}$;
• ${\displaystyle \lambda _{A}^{\dagger }=\lambda _{A}^{-1}:A\rightarrow I\otimes A}$ и
• ${\displaystyle \sigma _{A,B}^{\dagger }=\sigma _{A,B}^{-1}:B\otimes A\rightarrow A\otimes B}$.

Здесь, ${\displaystyle \alpha ,\lambda ,\rho }$ и ${\displaystyle \sigma }$ являются естественные изоморфизмы которые образуют симметричная моноидальная структура.

Примеры

Следующее категории примеры кинжальных симметричных моноидальных категорий:

• В категория Rel из наборы и отношения где тензор задается товар и где кинжал отношения дается его реляционным обращением.
• В категория FdHilb из конечномерные гильбертовые пространства кинжал-симметричная моноидальная категория, где тензор является обычным тензорное произведение гильбертовых пространств и где кинжал линейная карта дается его Эрмитово сопряженный.

Симметричная моноидальная категория кинжала, которая также компактный закрытый это кинжал компактная категория; оба приведенных выше примера действительно компактны.

Смотрите также

• Математический портал

• Сильно ленточная категория

Рекомендации

1. П. Селинджер, Кинжал компактные замкнутые категории и полностью положительные отображения, Труды 3-го Международного семинара по языкам квантового программирования, Чикаго, 30 июня - 1 июля 2005 г.