К-квадрат DAgostinos - DAgostinos K-squared test

В статистика, Д’Агостино K² тест, названный в честь Ральф Д'Агостино, это добродетель мера отклонения от нормальность, то есть тест направлен на то, чтобы установить, принадлежит ли данная выборка к нормально распределенной совокупности. Тест основан на преобразованиях образца эксцесс и перекос, и имеет силу только против альтернатив, что распределение искажено и / или куртично.

Асимметрия и эксцесс

В следующих, {Икс_я } обозначает образец п наблюдения грамм₁ и грамм₂ образец перекос и эксцесс, м_jЯвляются j-й образец центральные моменты, и ${\displaystyle {\bar {x}}}$ это образец иметь в виду. Часто в литературе, связанной с проверка нормальности, асимметрия и эксцесс обозначаются как √β₁ и β₂ соответственно. Такое обозначение может быть неудобным, поскольку, например, √β₁ может быть отрицательной величиной.

Асимметрия и эксцесс образца определяются как

${\displaystyle {\begin{aligned}&g_{1}={\frac {m_{3}}{m_{2}^{3/2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{3}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}\ ,\\&g_{2}={\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}-3={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{4}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{2}}}-3\ .\end{aligned}}}$

Эти количества последовательно оцените теоретическую асимметрию и эксцесс распределения соответственно. Более того, если выборка действительно происходит из нормальной популяции, то точные конечные выборочные распределения асимметрии и эксцесса сами могут быть проанализированы с точки зрения их средних значений. μ₁, отклонения μ₂, перекосы γ₁, и куртозы γ₂. Это было сделано Пирсон (1931), который вывел следующие выражения:^{[нужен лучший источник ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mu _{1}(g_{1})=0,\\&\mu _{2}(g_{1})={\frac {6(n-2)}{(n+1)(n+3)}},\\&\gamma _{1}(g_{1})\equiv {\frac {\mu _{3}(g_{1})}{\mu _{2}(g_{1})^{3/2}}}=0,\\&\gamma _{2}(g_{1})\equiv {\frac {\mu _{4}(g_{1})}{\mu _{2}(g_{1})^{2}}}-3={\frac {36(n-7)(n^{2}+2n-5)}{(n-2)(n+5)(n+7)(n+9)}}.\end{aligned}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mu _{1}(g_{2})=-{\frac {6}{n+1}},\\&\mu _{2}(g_{2})={\frac {24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^{2}(n+3)(n+5)}},\\&\gamma _{1}(g_{2})\equiv {\frac {\mu _{3}(g_{2})}{\mu _{2}(g_{2})^{3/2}}}={\frac {6(n^{2}-5n+2)}{(n+7)(n+9)}}{\sqrt {\frac {6(n+3)(n+5)}{n(n-2)(n-3)}}},\\&\gamma _{2}(g_{2})\equiv {\frac {\mu _{4}(g_{2})}{\mu _{2}(g_{2})^{2}}}-3={\frac {36(15n^{6}-36n^{5}-628n^{4}+982n^{3}+5777n^{2}-6402n+900)}{n(n-3)(n-2)(n+7)(n+9)(n+11)(n+13)}}.\end{aligned}}}$

Например, образец размером п = 1000 можно ожидать, что, взятые из нормально распределенной популяции, будут иметь асимметрию 0, SD 0,08 и эксцесс 0, стандартное отклонение 0,15, где SD означает стандартное отклонение.^{[нужна цитата ]}

Преобразованная асимметрия и эксцесс образца

Асимметрия образца грамм₁ и эксцесс грамм₂ оба асимптотически нормальны. Однако скорость их сходимости к пределу распределения удручающе мала, особенно для грамм₂. Например даже с п = 5000 наблюдения образец эксцесса грамм₂ имеет как асимметрию, так и эксцесс примерно 0,3, что немаловажно. Чтобы исправить эту ситуацию, было предложено преобразовать величины грамм₁ и грамм₂ таким образом, чтобы их распределение было максимально приближено к стандартному нормальному.

Особенно, Д’Агостино (1970) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFD’Agostino1970 (помощь) предложил следующее преобразование для асимметрии образца:

${\displaystyle Z_{1}(g_{1})=\delta \operatorname {asinh} \left({\frac {g_{1}}{\alpha {\sqrt {\mu _{2}}}}}\right),}$

где константы α и δ вычисляются как

${\displaystyle {\begin{aligned}&W^{2}={\sqrt {2\gamma _{2}+4}}-1,\\&\delta =1/{\sqrt {\ln W}},\\&\alpha ^{2}=2/(W^{2}-1),\end{aligned}}}$

и где μ₂ = μ₂(грамм₁) - дисперсия грамм₁, и γ₂ = γ₂(грамм₁) - это эксцесс - выражения, приведенные в предыдущем разделе.

По аналогии, Анскомб и Глинн (1983) предложил преобразование для грамм₂, который достаточно хорошо работает для выборки от 20 и более:

${\displaystyle Z_{2}(g_{2})={\sqrt {\frac {9A}{2}}}\left\{1-{\frac {2}{9A}}-\left({\frac {1-2/A}{1+{\frac {g_{2}-\mu _{1}}{\sqrt {\mu _{2}}}}{\sqrt {2/(A-4)}}}}\right)^{\!1/3}\right\},}$

куда

${\displaystyle A=6+{\frac {8}{\gamma _{1}}}\left({\frac {2}{\gamma _{1}}}+{\sqrt {1+4/\gamma _{1}^{2}}}\right),}$

и μ₁ = μ₁(грамм₂), μ₂ = μ₂(грамм₂), γ₁ = γ₁(грамм₂) - величины, вычисленные Пирсоном.

Омнибус K² статистика

Статистика Z₁ и Z₂ могут быть объединены для создания комплексного теста, способного обнаруживать отклонения от нормы из-за асимметрии или эксцесса (Д’Агостино, Белэнджер и Д’Агостино, 1990 г. ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFD’AgostinoBelangerD’Agostino1990 (помощь):

${\displaystyle K^{2}=Z_{1}(g_{1})^{2}+Z_{2}(g_{2})^{2}\,}$

Если нулевая гипотеза нормальности верно, то K² примерно χ²-распределенный с 2 степенями свободы.

Обратите внимание, что статистика грамм₁, грамм₂ не являются независимыми, а только некоррелированными. Следовательно, их преобразования Z₁, Z₂ будет также зависимым (Шентон и Боуман 1977 ), что делает χ² приближение сомнительно. Моделирование показывает, что при нулевой гипотезе K² статистика теста характеризуется

	ожидаемое значение	стандартное отклонение	95% квантиль
п = 20	1.971	2.339	6.373
п = 50	2.017	2.308	6.339
п = 100	2.026	2.267	6.271
п = 250	2.012	2.174	6.129
п = 500	2.009	2.113	6.063
п = 1000	2.000	2.062	6.038
χ^2(2) распределение	2.000	2.000	5.991

Смотрите также

• Тест Шапиро-Уилка
• Тест Жарка – Бера

Рекомендации

• Анскомб, Ф.Дж .; Глинн, Уильям Дж. (1983). «Распределение статистики эксцесса б₂ для нормальной статистики ». Биометрика. 70 (1): 227–234. Дои:10.1093 / biomet / 70.1.227. JSTOR  2335960.
• Д’Агостино, Ральф Б. (1970). "Преобразование к нормальности нулевого распределения грамм₁". Биометрика. 57 (3): 679–681. Дои:10.1093 / biomet / 57.3.679. JSTOR  2334794.
• Д’Агостино, Ральф Б.; Альберт Белэнджер; Ральф Б. Д’Агостино мл. (1990). «Предложение по использованию мощных и информативных тестов на нормальность» (PDF). Американский статистик. 44 (4): 316–321. Дои:10.2307/2684359. JSTOR  2684359. Архивировано из оригинал (PDF) 25 марта 2012 г.
• Пирсон, Эгон С. (1931). «Примечание о тестах на нормальность». Биометрика. 22 (3/4): 423–424. Дои:10.1093 / biomet / 22.3-4.423. JSTOR  2332104.
• Shenton, L.R .; Боуман, К. (1977). "Двумерная модель распределения √b₁ и б₂". Журнал Американской статистической ассоциации. 72 (357): 206–211. Дои:10.1080/01621459.1977.10479940. JSTOR  2286939.