Центральный момент - Central moment

В теория вероятности и статистика, а центральный момент это момент из распределение вероятностей из случайная переменная о случайной величине иметь в виду; то есть это ожидаемое значение заданной целочисленной степени отклонения случайной величины от среднего. Различные моменты образуют один набор значений, с помощью которого можно эффективно охарактеризовать свойства распределения вероятностей. Центральные моменты используются вместо обычных моментов, вычисляемых в терминах отклонений от среднего, а не от нуля, потому что центральные моменты более высокого порядка относятся только к разбросу и форме распределения, а не также к его. место расположения.

Наборы центральных моментов могут быть определены как для одномерного, так и для многомерного распределения.

Одномерные моменты

В пth момент о иметь в виду (или же пth центральный момент) действительного случайная переменная Икс это количество μ_п : = E [(Икс - E [Икс])^п], где E - оператор ожидания. Для непрерывный одномерный распределение вероятностей с функция плотности вероятности ж(Икс), пй момент о среднем μ является

${displaystyle mu _{n}=operatorname {E} left[(X-operatorname {E} [X])^{n}ight]=int _{-infty }^{+infty }(x-mu )^{n}f(x),mathrm {d} x.}$^[1]

Для случайных величин, не имеющих среднего значения, таких как Распределение Коши, центральные моменты не определены.

Первые несколько центральных моментов имеют интуитивную интерпретацию:

• «Нулевой» центральный момент μ₀ равно 1.
• Первый центральный момент μ₁ равно 0 (не путать с первым сырые моменты или ожидаемое значение μ).
• Второй центральный момент μ₂ называется отклонение, и обычно обозначается σ², где σ представляет собой стандартное отклонение.
• Третий и четвертый центральные моменты используются для определения стандартизированные моменты которые используются для определения перекос и эксцесс, соответственно.

Характеристики

В п-й центральный момент инвариантен относительно сдвига, т.е.для любой случайной величины Икс и любая постоянная c, у нас есть

${displaystyle mu _{n}(X+c)=mu _{n}(X).,}$

Для всех п, то п-й центральный момент однородный степени п:

${displaystyle mu _{n}(cX)=c^{n}mu _{n}(X).,}$

Только за п такое, что n равно 1, 2 или 3, есть ли у нас свойство аддитивности для случайных величин Икс и Y которые независимый:

${displaystyle mu _{n}(X+Y)=mu _{n}(X)+mu _{n}(Y),}$ при условии п ∈ {1, 2, 3}.

Связанный функционал, который разделяет свойства трансляционной инвариантности и однородности с пцентральный момент, но продолжает иметь это свойство аддитивности, даже когда п ≥ 4 - это пth кумулянт κ_п(Икс). За п = 1, пй кумулянт - это просто ожидаемое значение; за п = либо 2, либо 3, пй кумулянт - это просто п-й центральный момент; за п ≥ 4, пй кумулянт пУнитарный многочлен -й степени от первого п моменты (около нуля), а также (проще) пмногочлен -й степени от первого п центральные моменты.

Отношение к моментам о происхождении

Иногда удобно преобразовать моменты о происхождении в моменты о среднем значении. Общее уравнение для преобразования пмомент порядка от начала до момента о среднем равен

${displaystyle mu _{n}=operatorname {E} left[left(X-operatorname {E} [X]ight)^{n}ight]=sum _{j=0}^{n}{n choose j}(-1)^{n-j}mu '_{j}mu ^{n-j},}$

куда μ - среднее значение распределения, а момент начала координат определяется выражением

${displaystyle mu '_{m}=int _{-infty }^{+infty }x^{m}f(x),dx=operatorname {E} [X^{m}]=sum _{j=0}^{m}{m choose j}mu _{j}mu ^{m-j}.}$

Для случаев п = 2, 3, 4 - которые представляют наибольший интерес из-за связи с отклонение, перекос, и эксцесс соответственно - эта формула принимает вид (отмечая, что ${displaystyle mu =mu '_{1}}$ и ${displaystyle mu '_{0}=1}$):

${displaystyle mu _{2}=mu '_{2}-mu ^{2},}$ который обычно называют ${displaystyle operatorname {Var} (X)=operatorname {E} [X^{2}]-left(operatorname {E} [X]ight)^{2}}$

${displaystyle mu _{3}=mu '_{3}-3mu mu '_{2}+2mu ^{3},}$

${displaystyle mu _{4}=mu '_{4}-4mu mu '_{3}+6mu ^{2}mu '_{2}-3mu ^{4}.,}$

... и так далее,^[2] следующий Треугольник Паскаля, т.е.

${displaystyle mu _{5}=mu '_{5}-5mu mu '_{4}+10mu ^{2}mu '_{3}-10mu ^{3}mu '_{2}+4mu ^{5}.,}$

потому что ${displaystyle 5mu ^{4}mu '_{1}-mu ^{5}mu '_{0}=5mu ^{4}mu -mu ^{5}=5mu ^{5}-mu ^{5}=4mu ^{5}}$

Следующая сумма представляет собой стохастическую переменную, имеющую составное распределение

${displaystyle W=sum _{i=1}^{M}Y_{i},}$

где ${displaystyle Y_{i}}$ являются взаимно независимыми случайными величинами с одним и тем же общим распределением и ${displaystyle M}$ случайная целочисленная переменная, не зависящая от ${displaystyle Y_{k}}$ с собственной раздачей. Моменты ${displaystyle W}$ получены как ^[3]

${displaystyle operatorname {E} [W^{n}]=sum _{i=0}^{n}operatorname {E} left[{M choose i}ight]sum _{j=0}^{i}{i choose j}(-1)^{i-j}operatorname {E} left[left(sum _{k=1}^{j}Y_{k}ight)^{n}ight],}$

куда ${displaystyle operatorname {E} left[left(sum _{k=1}^{j}Y_{k}ight)^{n}ight]}$ определяется как ноль для ${displaystyle j=0}$.

Симметричные распределения

В симметричное распределение (тот, на который не влияет отраженный о его среднем), все нечетные центральные моменты равны нулю, потому что в формуле для пМомент, каждый член, включающий значение Икс меньше среднего на определенную сумму, в точности исключает термин, включающий значение Икс больше среднего на такую ​​же величину.

Многовариантные моменты

Для непрерывный двумерный распределение вероятностей с функция плотности вероятности ж(Икс,у) (j,k) момент о среднем μ = (μ_Икс, μ_Y) является

${displaystyle mu _{j,k}=operatorname {E} left[(X-operatorname {E} [X])^{j}(Y-operatorname {E} [Y])^{k}ight]=int _{-infty }^{+infty }int _{-infty }^{+infty }(x-mu _{X})^{j}(y-mu _{Y})^{k}f(x,y),dx,dy.}$

Смотрите также

• Стандартный момент
• Момент изображения
• Нормальное распределение § Моменты

Рекомендации

1. Гриммет, Джеффри; Стирзакер, Дэвид (2009). Вероятность и случайные процессы. Оксфорд, Англия: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978 0 19 857222 0.
2. http://mathworld.wolfram.com/CentralMoment.html
3. Grubbström, Роберт В .; Тан, Оу (2006). «Моменты и центральные моменты сложного распределения». Европейский журнал операционных исследований. 170: 106–119. Дои:10.1016 / j.ejor.2004.06.012.