Уравнение конвекции – диффузии - Convection–diffusion equation

В уравнение конвекции – диффузии представляет собой комбинацию распространение и конвекция (адвекция ) уравнения и описывает физические явления, когда частицы, энергия или другие физические величины передаются внутри физической системы за счет двух процессов: распространение и конвекция. В зависимости от контекста то же уравнение можно назвать адвекция –Уравнение диффузии, дрейф –Уравнение диффузии,^[1] или (общее) скалярное уравнение переноса.^[2]

Уравнение

Общее

Общее уравнение^[3][4]

${displaystyle {frac {partial c}{partial t}}=mathbf {abla } cdot (Dmathbf {abla } c)-mathbf {abla } cdot (mathbf {v} c)+R}$

где

• c - интересующая переменная (концентрация видов для массообмен, температура для теплопередача ),
• D коэффициент диффузии (также называемый коэффициент диффузии ), такие как массовая диффузия для движения частицы или температуропроводность для теплопередачи,
• v это скорость поле, в котором движется количество. Это функция времени и пространства. Например, в адвекция, c может быть концентрация соли в реке, а затем v будет скоростью потока воды как функция времени и местоположения. Другой пример, c может быть концентрация мелких пузырьков в спокойном озере, а затем v будет скорость пузырьков, поднимающихся к поверхности на плавучесть (увидеть ниже ) в зависимости от времени и местоположения пузыря. Для многофазные потоки и течет в пористая среда, v это (гипотетический) поверхностная скорость.
• р описывает источники или поглотители количества c. Например, для химического вещества р > 0 означает, что химическая реакция создает больше видов, и р < 0 означает, что химическая реакция уничтожает вид. Для теплопередачи, р > 0 может произойти, если тепловая энергия вырабатывается трение.
• ∇ представляет собой градиент и ∇ ⋅ представляет собой расхождение. В этом уравнении ∇c представляет градиент концентрации.

Понимание задействованных терминов

Правая часть уравнения представляет собой сумму трех вкладов.

• Первый, ∇ ⋅ (D∇c), описывает распространение. Представьте себе, что c это концентрация химического вещества. Когда концентрация где-то низкая по сравнению с окружающими районами (например, местный минимум концентрации), вещество будет диффундировать из окружающей среды, поэтому концентрация увеличится. И наоборот, если концентрация высока по сравнению с окружающей средой (например, локальный максимум концентрации), то вещество будет диффундировать и концентрация снизится. Чистая диффузия пропорциональна Лапласиан (или вторая производная ) концентрации, если коэффициент диффузии D является константой.
• Второй вклад, −∇ ⋅ (vc), описывает конвекция (или адвекция). Представьте, что вы стоите на берегу реки и каждую секунду измеряете соленость воды (количество соли). Выше по течению кто-то сбрасывает в реку ведро с солью. Некоторое время спустя вы увидите, как соленость внезапно повышается, а затем падает, когда зона соленой воды проходит мимо. Таким образом, концентрация в данном месте может измениться из-за потока.
• Последний вклад, р, описывает создание или уничтожение количества. Например, если c - концентрация молекулы, то р описывает, как молекула может быть создана или разрушена химическими реакциями. р может быть функцией c и других параметров. Часто существует несколько величин, каждая из которых имеет свое собственное уравнение конвекции-диффузии, где разрушение одной величины влечет за собой создание другой. Например, при горении метана происходит не только разрушение метана и кислорода, но также образование углекислого газа и водяного пара. Следовательно, хотя у каждого из этих химических веществ есть собственное уравнение конвекции-диффузии, они связаны вместе и должны решаться как система одновременный дифференциальные уравнения.

Общие упрощения

В обычной ситуации коэффициент диффузии постоянен, нет источников или стоков, а поле скорости описывает несжимаемый поток (т.е. он имеет нулевое расхождение ). Тогда формула упрощается до:^[5][6][7]

${displaystyle {frac {partial c}{partial t}}=Dabla ^{2}c-mathbf {v} cdot abla c.}$

В таком виде уравнение конвекции – диффузии объединяет оба параболический и гиперболический уравнения в частных производных.

В невзаимодействующих материалах D = 0 (например, когда температура близка к полный ноль, в разбавленном газе почти нет массовая диффузия ), следовательно, уравнение переноса просто:

${displaystyle {frac {partial c}{partial t}}+mathbf {v} cdot abla c=0.}$

С помощью преобразование Фурье как во временной, так и в пространственной области (то есть с интегральное ядро ${displaystyle e^{jomega t+jmathbf {k} cdot mathbf {x} }}$), его характеристическое уравнение может быть получен:

${displaystyle jomega { ilde {c}}+mathbf {v} cdot jmathbf {k} { ilde {c}}=0ightarrow omega =-mathbf {k} cdot mathbf {v} ,}$

что дает общее решение:

${displaystyle c=f(mathbf {x} -mathbf {v} t),}$

где ${displaystyle f}$ есть ли дифференцируемая скалярная функция. Это основа измерения температуры для около Конденсат Бозе – Эйнштейна^[8] через время полета метод.^[9]

Стационарная версия

В стационарное уравнение конвекции – диффузии описывает устойчивое состояние поведение конвективно-диффузионной системы. В устойчивом состоянии ∂c/∂т = 0, поэтому формула:

${displaystyle 0=abla cdot (Dabla c)-abla cdot (mathbf {v} c)+R.}$

Вывод

Уравнение конвекции-диффузии может быть получено простым способом^[4] от уравнение неразрывности, который утверждает, что скорость изменения для скалярная величина в дифференциал контрольный объем задается потоком и диффузией в эту часть системы и из нее вместе с любым генерированием или потреблением внутри контрольного объема:

${displaystyle {frac {partial c}{partial t}}+abla cdot mathbf {j} =R,}$

где j это общая поток и р является чистым источником объема для c. В этой ситуации есть два источника потока. Первый, диффузный поток возникает из-за распространение. Обычно это приблизительно равно Первый закон Фика:

${displaystyle mathbf {j} _{ ext{diff}}=-Dabla c}$

т.е. поток диффундирующего материала (относительно объемного движения) в любой части системы пропорционален локальной концентрации градиент. Во-вторых, когда есть общая конвекция или поток, существует связанный поток, называемый адвективный поток:

${displaystyle mathbf {j} _{ ext{adv}}=mathbf {v} c}$

Полный поток (в стационарной системе координат) определяется суммой этих двух:

${displaystyle mathbf {j} =mathbf {j} _{ ext{diff}}+mathbf {j} _{ ext{adv}}=-Dabla c+mathbf {v} c.}$

Подключаемся к уравнению неразрывности:

${displaystyle {frac {partial c}{partial t}}+abla cdot left(-Dabla c+mathbf {v} cight)=R.}$

Сложные явления перемешивания

В общем, D, v, и р может меняться в зависимости от места и времени. В случаях, когда они также зависят от концентрации, уравнение становится нелинейным, что приводит к появлению многих характерных явлений перемешивания, таких как Конвекция Рэлея-Бенара когда v зависит от температуры в рецептуре теплопередачи и реакция – диффузия формирование картины, когда р зависит от концентрации в массообменной композиции.

Скорость в ответ на силу

В некоторых случаях поле средней скорости v существует из-за силы; например, уравнение может описывать поток ионов, растворенных в жидкости, с электрическое поле тянущие ионы в каком-то направлении (как в гель-электрофорез ). В этой ситуации его обычно называют уравнение дрейфа-диффузии или Уравнение Смолуховского,^[1] после Мариан Смолуховский кто описал это в 1915 году^[10] (не путать с Соотношение Эйнштейна – Смолуховского или Уравнение коагуляции Смолуховского ).

Как правило, средняя скорость прямо пропорциональна приложенной силе, что дает уравнение:^[11][12]

${displaystyle {frac {partial c}{partial t}}=abla cdot (Dabla c)-abla cdot left(zeta ^{-1}mathbf {F} cight)+R}$

где F это сила, а ζ характеризует трение или вязкое сопротивление. (Обратное ζ⁻¹ называется мобильность.)

Вывод соотношения Эйнштейна.

Основная статья: Соотношение Эйнштейна (кинетическая теория)

Когда сила связана с потенциальная энергия F = −∇U (увидеть консервативная сила ), а устойчивое состояние решение вышеуказанного уравнения (т.е. 0 = р = ∂c/∂т) является:

${displaystyle cpropto exp left(-D^{-1}zeta ^{-1}Uight)}$

(при условии D и ζ постоянны). Другими словами, частиц с меньшей энергией больше. Ожидается, что этот профиль концентрации будет соответствовать Распределение Больцмана (точнее, Мера Гиббса ). Исходя из этого предположения, Соотношение Эйнштейна можно доказать:^[12]

${displaystyle Dzeta =k_{mathrm {B} }T.}$

Смолуховский уравнение конвекции-диффузии

Уравнение конвективной диффузии Смолуховского представляет собой стохастическое (Смолуховское) уравнение диффузии с дополнительным конвективным полем течения,^[13]

${displaystyle {frac {partial c}{partial t}}=abla cdot (Dabla c)-mathbf {abla } cdot (mathbf {v} c)-abla cdot left(zeta ^{-1}mathbf {F} cight)}$

В этом случае сила F описывает консервативную силу межчастичного взаимодействия между двумя коллоидными частицами или силу межмолекулярного взаимодействия между двумя молекулами в жидкости, и это не связано с внешней скоростью потока v. Стационарная версия этого уравнения является основой для описания функция распределения пар (который можно отождествить с c) коллоидных суспензий при сдвиговых потоках.^[13]

Приближенное решение стационарной версии этого уравнения было найдено с использованием метод согласованных асимптотических разложений.^[14] Это решение обеспечивает теорию контролируемой транспортом скорости реакции двух молекул в сдвиговом потоке, а также дает возможность расширить Теория DLVO коллоидной устойчивости к коллоидным системам, подверженным сдвиговым потокам (например, в микрофлюидика, химические реакторы, экологические потоки ). Полное решение стационарного уравнения, полученное с помощью метод согласованных асимптотических разложений, был разработан Алессио Закконе и Л. Банеттой для вычисления функция распределения пар взаимодействующих частиц Леннард-Джонса в сдвиговый поток^[15] и впоследствии расширен для вычисления функция распределения пар стабилизированного заряда (Юкава или Дебай-Хюккель ) коллоидные частицы в сдвиговых потоках.^[16]

Как стохастическое дифференциальное уравнение

Уравнение конвекции-диффузии (без источников и стоков, р = 0) можно рассматривать как стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее случайное движение с коэффициентом диффузии D и предвзятость v. Например, уравнение может описывать броуновское движение отдельной частицы, где переменная c описывает распределение вероятностей чтобы частица находилась в заданном положении в данный момент времени. Причина, по которой уравнение может использоваться таким образом, заключается в том, что нет математической разницы между распределением вероятностей отдельной частицы и профилем концентрации набора из бесконечного количества частиц (до тех пор, пока частицы не взаимодействуют друг с другом).

В Уравнение Ланжевена описывает адвекцию, диффузию и другие явления явно стохастическим образом. Одна из простейших форм уравнения Ланжевена - это когда его "шумовой член" равен Гауссовский; в этом случае уравнение Ланжевена в точности эквивалентно уравнению конвекции – диффузии.^[12] Однако уравнение Ланжевена является более общим.^[12]

Численное решение

Основная статья: Численное решение уравнения конвекции – диффузии.

Уравнение конвекции – диффузии редко можно решить ручкой и бумагой. Чаще всего для численного приближения решения уравнения используются компьютеры, обычно с использованием метод конечных элементов. Для получения дополнительной информации и алгоритмов см .: Численное решение уравнения конвекции – диффузии..

Подобные уравнения в других контекстах

Уравнение конвекции-диффузии - это относительно простое уравнение, описывающее потоки или, альтернативно, описывающее стохастически изменяющуюся систему. Следовательно, одно и то же или подобное уравнение возникает во многих контекстах, не связанных с потоками в пространстве.

• Формально идентичен Уравнение Фоккера – Планка для скорости частицы.
• Это тесно связано с Уравнение Блэка – Шоулза и другие уравнения финансовой математики.^[17]
• Это тесно связано с Уравнения Навье – Стокса, потому что поток импульс в жидкости математически подобен потоку массы или энергии. Соответствие наиболее очевидно в случае несжимаемой ньютоновской жидкости, и в этом случае уравнение Навье – Стокса имеет вид:

${displaystyle {frac {partial mathbf {M} }{partial t}}={frac {mu }{ho }}abla ^{2}mathbf {M} -mathbf {v} cdot abla mathbf {M} +(mathbf {f} -abla P)}$

где M - импульс жидкости (на единицу объема) в каждой точке (равный плотности ρ умноженное на скорость v), μ вязкость, п давление жидкости, и ж любой другой сила тела такие как сила тяжести. В этом уравнении член в левой части описывает изменение количества движения в данной точке; первый член справа описывает вязкость, что на самом деле является диффузией количества движения; второй член справа описывает адвективный поток количества движения; а последние два члена справа описывают внешние и внутренние силы, которые могут действовать как источники или поглотители импульса.

В биологии

В биологии уравнение реакция – диффузия – адвекция используется для моделирования хемотаксис наблюдаются у бактерий, миграции населения, эволюционной адаптации к изменяющимся условиям окружающей среды и пространственно-временной динамики молекулярных видов, включая морфогенез. Примером может служить исследование VEGFC формирование паттернов в контексте лимфангиогенез.^[18]

В физике полупроводников

Поскольку носители генерируются (зеленые: электроны и фиолетовый: дырки) из-за света, сияющего в центре собственного полупроводника, они рассеиваются к двум концам. Электроны имеют более высокую константу диффузии, чем дырки, что приводит к меньшему количеству избыточных электронов в центре по сравнению с дырками.

В физика полупроводников, это уравнение называется уравнение дрейфа-диффузии. Слово «дрейф» связано с дрейфовый ток и скорость дрейфа. Уравнение обычно записывается:^[19]

${displaystyle {egin{aligned}{frac {mathbf {J} _{n}}{-q}}&=-D_{n}abla n-nmu _{n}mathbf {E} {frac {mathbf {J} _{p}}{q}}&=-D_{p}abla p+pmu _{p}mathbf {E} {frac {partial n}{partial t}}&=-abla cdot {frac {mathbf {J} _{n}}{-q}}+R{frac {partial p}{partial t}}&=-abla cdot {frac {mathbf {J} _{p}}{q}}+Rend{aligned}}}$

где

• п и п - концентрации (плотности) электронов и дыры соответственно
• q > 0 это элементарный заряд,
• J_п и J_п являются электрические токи за счет электронов и дырок соответственно,
• J_п/−q и J_п/q - соответствующие "токи частиц" электронов и дырок соответственно,
• р представляет собой генерация и рекомбинация носителей (р > 0 для генерации электронно-дырочных пар, р < 0 для рекомбинации.)
• E это электрическое поле вектор
• ${displaystyle mu _{n}}$ и ${displaystyle mu _{p}}$ находятся подвижность электронов и дырок.

Коэффициент диффузии и подвижность связаны соотношением Соотношение Эйнштейна как указано выше:

${displaystyle {egin{aligned}D_{n}&={frac {mu _{n}k_{mathrm {B} }T}{q}},D_{p}&={frac {mu _{p}k_{mathrm {B} }T}{q}},end{aligned}}}$

где k_B это Постоянная Больцмана и Т является абсолютная температура. В дрейфовый ток и диффузионный ток относятся отдельно к двум членам в выражениях для J, а именно:

${displaystyle {egin{aligned}{frac {mathbf {J} _{n,{ ext{drift}}}}{-q}}&=-nmu _{n}mathbf {E} ,{frac {mathbf {J} _{p,{ ext{drift}}}}{q}}&=pmu _{p}mathbf {E} ,{frac {mathbf {J} _{n,{ ext{diff}}}}{-q}}&=-D_{n}abla n,{frac {mathbf {J} _{p,{ ext{diff}}}}{q}}&=-D_{p}abla p.end{aligned}}}$

Это уравнение можно решить вместе с Уравнение Пуассона численно.^[20]

Пример результатов решения уравнения дрейфовой диффузии показан справа. Когда свет падает на центр полупроводника, носители генерируются в середине и рассеиваются к двум концам. В этой структуре решается уравнение дрейфа-диффузии, а распределение электронной плотности показано на рисунке. Виден градиент несущей от центра к двум концам.

Смотрите также

• Расширенная библиотека моделирования
• Уравнения сохранения
• Несжимаемые уравнения Навье – Стокса.
• Уравнение Нернста – Планка
• Двойная диффузионная конвекция
• Естественная конвекция
• Уравнение Бакли – Леверетта

использованная литература

1. Чандрасекхар (1943). «Стохастические задачи физики и астрономии». Ред. Мод. Phys. 15 (1): 1. Bibcode:1943РвМП ... 15 .... 1С. Дои:10.1103 / RevModPhys.15.1. См. Уравнение (312)
2. Вычислительная гидродинамика при промышленном сжигании Баукал и Герштейн, стр. 67, ссылка на книги Google.
3. Введение в климатическое моделирование, Томас Стокер, стр. 57, ссылка на книги Google
4. Уравнение адвективной диффузии, лекции Скотта А. Соколофски и Герхарда Х. Йирки, ссылка на сайт
5. Бежан А (2004). Конвекционная теплопередача.
6. Берд, Стюарт, Лайтфут (1960). Транспортные явления.
7. Пробштейн Р. (1994). Физико-химическая гидродинамика.
8. Ketterle, W .; Durfee, D. S .; Стампер-Курн, Д. М. (1999-04-01). «Создание, исследование и понимание конденсатов Бозе-Эйнштейна». arXiv:cond-mat / 9904034.
9. Brzozowski, Tomasz M; Мачинская, Мария; Завада, Михал; Захоровский, Ежи; Гавлик, Войцех (14 января 2002 г.). «Времяпролетное измерение температуры холодных атомов на малых расстояниях между ловушкой и зондом». Журнал оптики B: Квантовая и полуклассическая оптика. 4 (1): 62–66. Bibcode:2002JOptB ... 4 ... 62B. Дои:10.1088/1464-4266/4/1/310. ISSN  1464-4266. S2CID  67796405.
10. Смолуховский, М. В. (1915). "Über Brownsche Molekularbewegung unter Einwirkung äußerer Kräfte und den Zusammenhang mit der verallgemeinerten Diffusionsgleichung" (PDF). Анна. Phys. 4. Фольге. 353 (48): 1103–1112.
11. "Уравнение диффузии Смолуховского" (PDF).
12. Дои и Эдвардс. Теория динамики полимеров. С. 46–52 - через Google Книги.
13. Введение в динамику коллоидов Дж. К. Г. Донт, стр. 195, ссылка на книги Google
14. Zaccone, A .; Gentili, D .; Wu, H .; Морбиделли, М. (2009). «Теория процессов активированной скорости при сдвиге с приложением к агрегации коллоидов, вызванной сдвигом». Физический обзор E. 80 (5): 051404. Дои:10.1103 / PhysRevE.80.051404. HDL:2434/653702. PMID  20364982. S2CID  22763509.
15. Banetta, L .; Закконе, А. (2019). «Радиальная функция распределения леннард-джонсовских жидкостей в сдвиговых потоках от промежуточных асимптотик». Физический обзор E. 99 (5): 052606. arXiv:1901.05175. Дои:10.1103 / PhysRevE.99.052606. PMID  31212460. S2CID  119011235.
16. Banetta, L .; Закконе, А. (2020). «Парная корреляционная функция коллоидных систем со стабилизированным зарядом в условиях сдвига». Коллоидная и полимерная наука. 298 (7): 761–771. Дои:10.1007 / s00396-020-04609-4.
17. Arabas, S .; Фархат, А. "Производное ценообразование как транспортная проблема: решения MPDATA уравнений типа Блэка-Шоулза". J. Comput. Appl. Математика. 373. Дои:10.1016 / j.cam.2019.05.023.
18. Wertheim, Kenneth Y .; Русе, Тиина (2017). «Математическая модель лимфангиогенеза в эмбрионе рыбок данио». Вестник математической биологии. 79 (4): 693–737. Дои:10.1007 / s11538-017-0248-7. ISSN  1522-9602. ЧВК  5501200. PMID  28233173.
19. Ху, Юэ (2015). «Моделирование фотоприемника с частично обедненным поглотителем (КПК)». Оптика Экспресс. 23 (16): 20402–20417. Bibcode:2015OExpr..2320402H. Дои:10.1364 / OE.23.020402. HDL:11603/11470. PMID  26367895.
20. Ху, Юэ (2014). «Моделирование источников нелинейности в простом штыревом фотоприемнике». Журнал технологии световых волн. 32 (20): 3710–3720. Bibcode:2014JLwT ... 32.3710H. CiteSeerX  10.1.1.670.2359. Дои:10.1109 / JLT.2014.2315740. S2CID  9882873.

• Грэнвилл Сьюэлл, Численное решение обыкновенных и частных дифференциальных уравнений., Academic Press (1988). ISBN  0-12-637475-9