Связка (математика) - Bundle (mathematics)

В математика, а пучок является обобщением пучок волокон отказ от условия местной структуры продукта. Требование локальной структуры продукта основывается на пакете, имеющем топология. Без этого требования более общие объекты могут считаться связками. Например, можно рассмотреть расслоение π: E→ B с E и B наборы. Уже неверно, что прообразы ${ Displaystyle pi ^ {- 1} (х)}$ все должны выглядеть одинаково, в отличие от пучков волокон, в которых все волокна должны быть изоморфный (в случае векторные пакеты ) и гомеоморфный.

Определение

Связка - это тройка $(E, п, B)$ куда $E, B$ наборы и $п : E \to B$ это карта.^[1]

$E$ называется общая площадь
$B$ это базовое пространство пакета
$п$ это проекция

Это определение пакета не ограничивает. Например, пустая функция определяет пакет. Тем не менее, он хорошо подходит для введения базовой терминологии, и каждый тип связки имеет основные ингредиенты, указанные выше, с ограничениями на $E, п, B$ и обычно есть дополнительная структура.

Для каждого $б \in B, п -1 (б)$ это волокно или же волокно пакета над $б$ .

Набор $(E *, п*, B *)$ это подгруппа из $(E, п, B)$ если $B * \subset B, E * \subset E$ и $п* = п | E *$ .

А поперечное сечение это карта $s : B \to E$ такой, что $п (s (б)) = б$ для каждого $б \in B$ , то есть, $s (б) \in п -1 (б)$ .

Примеры

Если $E$ и $B$ находятся гладкие многообразия и $п$ гладкая, сюръективный и вдобавок погружение, то расслоение является слоистое многообразие. Здесь и в следующих примерах условие гладкости может быть ослаблено до непрерывного или уточнено до аналитического, или оно может быть любым разумным, например, непрерывно дифференцируемым ( $C 1$ ), между.
Если за каждые два балла $б 1$ и $б 2$ в основе соответствующие волокна $п -1 (б 1)$ и $п -1 (б 2)$ находятся гомотопический эквивалент, то расслоение является расслоение.
Если за каждые два балла $б 1$ и $б 2$ в основе соответствующие волокна $п -1 (б 1)$ и $п -1 (б 2)$ находятся гомеоморфный, а кроме того, пучок удовлетворяет некоторым условиям местная мелочь описанные в соответствующих связанных статьях, тогда этот пакет является пучок волокон. Обычно есть дополнительная структура, например а структура группы или структура векторного пространства, на волокнах помимо топологии. Тогда требуется, чтобы гомеоморфизм был изоморфизмом по отношению к этой структуре, и условия локальной тривиальности соответственно уточняются.
А основной пакет расслоение с правым групповое действие с определенными свойствами. Одним из примеров основного пакета является комплект кадров.
Если за каждые два балла $б 1$ и $б 2$ в основе соответствующие волокна $п -1 (б 1)$ и $п -1 (б 2)$ находятся векторные пространства такой же размерности, то пучок является векторный набор если выполнены соответствующие условия локальной тривиальности. В касательный пучок является примером векторного расслоения.

Объединить объекты

В более общем смысле, пакеты или связать объекты можно определить в любом категория: в категории C, пучок - это просто эпиморфизм π: E → B. Если категория не конкретный, то понятие прообраза карты не обязательно. Следовательно, в этих связках могут вообще не быть волокон, хотя для категорий с достаточно хорошим поведением они есть; например, для категории с откаты и конечный объект 1 точки B можно отождествить с морфизмами п:1→B и волокна п получается как откат п и π. Категория связок выше B является подкатегорией категория срезов (C↓B) объектов над B, а категория связок без фиксированного базового объекта является подкатегорией категория запятой (C↓C), который также является категория функторов C², категория морфизмы в C.

Категория гладких векторных расслоений - это объект расслоения над категорией гладких многообразий в Кот, то категория малых категорий. В функтор приводя каждое многообразие к своему касательный пучок является примером раздела этого объекта пакета.

Смотрите также

Примечания

^ Хусемоллер 1994 С. 11.