Двоичная функция - Binary function

В математика, а двоичная функция (также называемый двумерная функция, или же функция двух переменных) это функция это требует двух входов.

Точно сказано, функция ${displaystyle f}$ является двоичным, если существует наборы ${displaystyle X, Y, Z}$ такой, что

{displaystyle, fcolon X imes Yightarrow Z}

куда ${displaystyle X imes Y}$ это Декартово произведение из ${displaystyle X}$ и ${displaystyle Y.}$

Альтернативные определения

Теоретически множественный, двоичную функцию можно представить как подмножество из Декартово произведение ${displaystyle X imes Y imes Z}$ , куда ${displaystyle (x, y, z)}$ принадлежит к подмножеству если и только если ${displaystyle f (x, y) = z}$ . И наоборот, подмножество ${displaystyle R}$ определяет бинарную функцию тогда и только тогда, когда для любого ${displaystyle xin X}$ и ${displaystyle yin Y}$ , Существует а уникальный ${displaystyle zin Z}$ такой, что ${displaystyle (x, y, z)}$ принадлежит ${displaystyle R}$ . ${displaystyle f (x, y)}$ тогда определяется как это ${displaystyle z}$ .

В качестве альтернативы двоичную функцию можно интерпретировать как просто функция из ${displaystyle X imes Y}$ к ${displaystyle Z}$ Однако, даже если подумать об этом, обычно пишут ${displaystyle f (x, y)}$ вместо ${displaystyle f ((x, y))}$ . (То есть одна и та же пара круглых скобок используется для обозначения обоих приложение функции и формирование упорядоченная пара.)

Примеры

Отдел целые числа можно рассматривать как функцию. Если ${displaystyle mathbb {Z}}$ это набор целые числа, ${displaystyle mathbb {N} ^ {+}}$ это набор натуральные числа (кроме нуля), и ${displaystyle mathbb {Q}}$ это набор рациональное число, тогда разделение это двоичная функция ${displaystyle f: mathbb {Z} imes mathbb {N} ^ {+} ightarrow mathbb {Q}}$ .

Другой пример - это внутренние продукты или, в более общем смысле, функции формы ${displaystyle (x, y) mapsto x ^ {T} My}$ , куда ${displaystyle x, y}$ являются вещественными векторами подходящего размера и ${displaystyle M}$ это матрица. Если ${displaystyle M}$ это положительно определенная матрица, это дает внутренний продукт.^[1]

Функции двух действительных переменных

Функции, домен которых является подмножеством ${displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ часто также называют функциями двух переменных, даже если их область определения не образует прямоугольник и, следовательно, декартово произведение двух наборов.^[2]

Ограничения на обычные функции

В свою очередь, из бинарной функции можно вывести и обычные функции одной переменной. ${displaystyle xin X}$ , есть функция ${displaystyle f ^ {x}}$ , или же ${displaystyle f (x, cdot)}$ , из ${displaystyle Y}$ к ${displaystyle Z}$ , данный ${displaystyle f ^ {x} (y) = f (x, y)}$ Аналогично, для любого элемента ${displaystyle yin Y}$ , есть функция ${displaystyle f_ {y}}$ , или же ${displaystyle f (cdot, y)}$ , из ${displaystyle X}$ к ${displaystyle Z}$ , данный ${displaystyle f_ {y} (x) = f (x, y)}$ . В информатике это отождествление функции из ${displaystyle X imes Y}$ к ${displaystyle Z}$ и функция из ${displaystyle X}$ к ${displaystyle Z ^ {Y}}$ , куда ${displaystyle Z ^ {Y}}$ это набор всех функций из ${displaystyle Y}$ к ${displaystyle Z}$ , называется карри.

Обобщения

Различные концепции, относящиеся к функциям, также могут быть обобщены на бинарные функции. Например, приведенный выше пример деления выглядит следующим образом: сюръективный (или же на), потому что каждое рациональное число может быть выражено как частное от целого числа к натуральному. инъективный в каждый вход отдельно, потому что функции ж ^Икс и ж _у всегда инъективны, но не инъективны одновременно в обеих переменных, потому что (например) ж (2,4) = ж (1,2).

Можно также рассмотреть частичный двоичные функции, которые могут быть определены только для определенных значений входов. Например, приведенный выше пример деления также может быть интерпретирован как частичная двоичная функция из Z и N к Q, куда N - это набор всех натуральных чисел, включая ноль, но эта функция не определена, если второй вход равен нулю.

А бинарная операция - бинарная функция, в которой множества Икс, Y, и Z все равны; бинарные операции часто используются для определения алгебраические структуры.

В линейная алгебра, а билинейное преобразование - бинарная функция, в которой множества Икс, Y, и Z все векторные пространства и производные функции ж ^Икс и ж_у все линейные преобразования.Билинейное преобразование, как и любую двоичную функцию, можно интерпретировать как функцию от Икс × Y к Z, но эта функция в общем случае не будет линейной. Однако билинейное преобразование также можно интерпретировать как одно линейное преобразование из тензорное произведение ${displaystyle Xotimes Y}$ к Z.

Обобщения на троичные и другие функции

Концепция двоичной функции обобщается на тройной (или же 3-арный) функция, четвертичный (или же 4-арный) функция, или в более общем плане n-арная функция для любого натуральное число п.A 0-арная функция к Z просто задается элементом Z. Можно также определить А-арная функция куда А есть ли набор; есть один вход для каждого элемента А.

Теория категорий

В теория категорий, п-арные функции обобщаются на п-арные морфизмы в мультикатегория.Толкование п-арный морфизм как обычные морфизмы, область определения которых является своего рода произведением областей исходного п-арный морфизм будет работать в моноидальная категория.Построение производных морфизмов одной переменной будет работать в закрытая моноидальная категория Категория множеств является замкнутой моноидальной, но также и категория векторных пространств, что дает понятие билинейного преобразования выше.