Алгоритмическое охлаждение - Algorithmic cooling

Алгоритмическое охлаждение является алгоритмический способ передачи высокая температура (или же энтропия ) от некоторых кубиты другим^[1] или вне системы и в окружающую среду, что приводит к охлаждающему эффекту. В этом методе используются обычные квантовые операции на ансамблях кубитов, и можно показать, что он может преуспеть за пределами Ограничение Шеннона на сжатие данных.^[2] Явление является результатом связи между термодинамика и теория информации.

Само охлаждение осуществляется алгоритмически с использованием обычных квантовых операций. На входе - набор кубитов, на выходе - подмножество кубитов, охлажденных до желаемого порогового значения, определяемого пользователем. Этот охлаждающий эффект может использоваться при инициализации холодного (очень сильного) чистый ) кубиты для квантовые вычисления и в увеличении поляризации некоторых спинов в ядерный магнитный резонанс. Следовательно, его можно использовать в процессе инициализации, происходящем перед обычным квантовым вычислением.

Обзор

Квантовым компьютерам нужны кубиты (квантовые биты), на которых они работают. Как правило, чтобы сделать вычисления более надежными, кубиты должны иметь вид чистый по возможности, сводя к минимуму возможные колебания. Поскольку чистота кубита связана с энтропия фон Неймана и чтобы температура сделать кубиты как можно более чистыми - это то же самое, что сделать их как можно более холодными (или иметь как можно меньшую энтропию). Один из методов охлаждения кубитов - это извлечение из них энтропии и их очистка. Это можно сделать двумя основными способами: обратимо (а именно, используя унитарные операции ) или же необратимо (например, используя тепловая ванна ). Алгоритмическое охлаждение - это название семейства алгоритмов, которым предоставляется набор кубитов и которые очищают (охлаждают) их подмножество до желаемого уровня.

Это также можно рассматривать с точки зрения вероятности. Поскольку кубиты являются двухуровневыми системами, их можно рассматривать как монеты, несправедливые в целом. Очистка кубита означает (в этом контексте) создание монеты как несправедливый по возможности: максимально увеличивать разницу между вероятностями подбрасывания разных результатов. Более того, указанную выше энтропию можно рассматривать через призму теория информации, который приписывает энтропию любому случайная переменная. Следовательно, очистка может рассматриваться как использование вероятностных операций (таких как классические логические ворота и условная возможность ) для минимизации энтропии монет, делая их более несправедливыми.

Случай, в котором алгоритмический метод обратим, так что полная энтропия системы не изменяется, был впервые назван «тепловой двигатель молекулярного масштаба».^[3] и также называется «обратимое алгоритмическое охлаждение». Этот процесс охлаждает одни кубиты и нагревает другие. Он ограничен вариантом Связь Шеннона на сжатие данных, и это может асимптотически достичь довольно близко к границе.

Более общий метод, «необратимое алгоритмическое охлаждение», использует необратимую передачу высокая температура вне системы и в окружающую среду (и, следовательно, может обойти ограничение Шеннона). Такой средой может быть термостат, и семейство алгоритмов, в котором оно используется, называется «алгоритмическое охлаждение с термостатом».^[4] В этом алгоритмическом процессе энтропия обратимо переносится на определенные кубиты (называемые спинами сброса), которые связаны с окружающей средой гораздо сильнее, чем другие. После последовательности обратимых шагов, которые позволяют энтропии этих кубитов сброса, они становятся горячее, чем окружающая среда. Тогда сильный связь приводит к передаче тепла (необратимо) от этих спинов сброса в окружающую среду. Весь процесс можно повторять и применять рекурсивно для достижения низких температур для некоторых кубитов.

Фон

Термодинамика

Алгоритмическое охлаждение можно обсудить с помощью классических и квантовых термодинамика точки зрения.

Охлаждение

Классическая интерпретация «охлаждения» - это передача тепла от одного объекта к другому. Однако тот же процесс можно рассматривать как энтропия передача. Например, если два газовых баллона, оба в тепловое равновесие при контакте двух разных температур энтропия будет передаваться от более «горячего» объекта (с более высокой энтропией) к «более холодному». Этот подход может быть использован при обсуждении охлаждения объекта, температура не всегда интуитивно определяется, например единственная частица. Следовательно, процесс охлаждения спинов можно рассматривать как процесс передачи энтропии между спинами или вне системы.

Тепловой резервуар

Концепция чего-либо тепловой резервуар широко обсуждается в классической термодинамике (например, в Цикл Карно ). Для алгоритмического охлаждения достаточно рассматривать тепловые резервуары или «тепловые ванны» как большие объекты, температура которых остается неизменной даже при контакте с объектами других («нормальных» размеров). Интуитивно это можно представить как ванну, наполненную водой комнатной температуры, которая практически сохраняет свою температуру, даже когда в нее помещают небольшой кусок горячего металла.

Используя энтропийную форму мышления из предыдущего подраздела, объект, который считается горячим (с большой энтропией), может передавать тепло (и энтропию) более холодному термостату, тем самым понижая собственную энтропию. В результате этого процесса происходит охлаждение.

В отличие от передачи энтропии между двумя «обычными» объектами, которая сохраняет энтропию системы, перенос энтропии в термостат обычно считается несохраняющим. Это связано с тем, что ванна обычно не рассматривается как часть соответствующей системы из-за ее размера. Следовательно, передавая энтропию термостату, можно существенно понизить энтропию их системы или, что то же самое, охладить ее. Продолжая этот подход, цель алгоритмического охлаждения - максимально уменьшить энтропию системы кубитов, тем самым охлаждая ее.

Квантовая механика

Общее введение

Алгоритмическое охлаждение применяется к квант системы. Поэтому важно знать как основные принципы, так и соответствующие обозначения.

А кубит (или квантовый кусочек ) - единица информации, которая может быть суперпозиция из двух состояния, обозначенный как ${\displaystyle |0\rangle }$ и ${\displaystyle |1\rangle }$. Общая суперпозиция может быть записана как ${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle ,\,}$куда ${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$ и ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$. Если один меры состояние кубита в ортонормированный базис состоит из ${\displaystyle |0\rangle }$ и ${\displaystyle |1\rangle }$, получается результат ${\displaystyle |0\rangle }$ с вероятность ${\displaystyle |\alpha |^{2}}$ и результат ${\displaystyle |1\rangle }$ с вероятностью ${\displaystyle |\beta |^{2}}$.

Приведенное выше описание известно как квантовое чистый государственный. Генерал смешанное квантовое состояние может быть подготовлен как распределение вероятностей над чистыми состояниями и представлен матрица плотности общего вида ${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$, где каждый ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ чистое состояние (см. кет-бюстгальтер обозначения ) и каждый ${\displaystyle p_{i}}$ это вероятность ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ в раздаче. Квантовые состояния, которые играют основную роль в алгоритмическом охлаждении, являются смешанными состояниями в диагональ форма ${\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}{\frac {1+\epsilon }{2}}&0\\0&{\frac {1-\epsilon }{2}}\\\end{pmatrix}}}$ за ${\displaystyle \epsilon \in [-1,1]}$. По сути, это означает, что государство чистое. ${\displaystyle |0\rangle }$ состояние с вероятностью ${\displaystyle {\frac {1+\epsilon }{2}}}$ и чисто ${\displaystyle |1\rangle }$ с вероятностью ${\displaystyle {\frac {1-\epsilon }{2}}}$. в кет-бюстгальтер обозначения, то матрица плотности является ${\displaystyle {\frac {1+\epsilon }{2}}|0\rangle \langle 0|+{\frac {1-\epsilon }{2}}|1\rangle \langle 1|}$. За ${\displaystyle \epsilon =\pm 1}$ состояние называется чистым, а при ${\displaystyle \epsilon =0}$ состояние называется полностью смешанным (представлено нормализованным единичная матрица ). Полностью смешанное состояние представляет собой равномерное распределение вероятностей по штатам ${\displaystyle |0\rangle }$ и ${\displaystyle |1\rangle }$.

Поляризация или предвзятость состояния

Штат ${\displaystyle \rho }$ выше называется ${\displaystyle \epsilon }$-поляризованный, или ${\displaystyle \epsilon }$-смещен, поскольку отклоняется на ${\displaystyle \epsilon }$ в диагональных входах из полностью смешанного состояния.

Другой подход к определению смещения или поляризации заключается в использовании Сфера Блоха (или вообще Блох мяч ). Ограниченное диагональной матрицей плотности, состояние может находиться на прямой линии, соединяющей противоположные точки, представляющие состояния ${\displaystyle |0\rangle }$ и ${\displaystyle |1\rangle }$ («северный и южный полюса» сферы). При таком подходе ${\displaystyle \epsilon }$ параметр (${\displaystyle \epsilon \in [-1,1]}$) - это точное расстояние (с точностью до знака) состояния от центра шара, которое представляет собой полностью смешанное состояние. За ${\displaystyle \epsilon =\pm 1}$ состояние ровно на полюсах и для ${\displaystyle \epsilon =0}$ государство точно в центре. Смещение может быть отрицательным (например, ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$), и в этом случае состояние находится посередине между центром и южным полюсом.

в Матрицы Паули форма представления, ${\displaystyle \epsilon }$-смещенное квантовое состояние ${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+\epsilon &0\\0&1-\epsilon \end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}\left(I+(0,0,\epsilon )\cdot {\vec {\sigma }}\right)={\frac {1}{2}}(I+\epsilon \sigma _{z})}$.^[4]

Энтропия

Поскольку речь идет о квантовых системах, здесь используется энтропия энтропия фон Неймана. Для одного кубита, представленного (диагональной) матрицей плотности выше, его энтропия равна ${\displaystyle H(\epsilon )=-{\Bigl (}{\frac {1+\epsilon }{2}}\log {\frac {1+\epsilon }{2}}+{\frac {1-\epsilon }{2}}\log {\frac {1-\epsilon }{2}}{\Bigr )}}$ (где логарифм является базой ${\displaystyle 2}$). Это выражение совпадает с энтропия из несправедливая монета с "уклоном" ${\displaystyle \epsilon }$, что означает вероятность ${\displaystyle {\frac {1+\epsilon }{2}}}$ для подбрасывания голов. Монета с уклоном ${\displaystyle \epsilon =\pm 1}$ является детерминированный с нулевой энтропией, а монета со смещением ${\displaystyle \epsilon =0}$ справедлива с максимальной энтропией (${\displaystyle H(\epsilon =0)=\log 2=1)}$.

Связь между монетным подходом и энтропией фон Неймана является примером связи между энтропия в термодинамике и теории информации.

Интуиция

Интуиция в отношении этого семейства алгоритмов может исходить из различных областей и мышления, которые не обязательно являются квантовыми. Это связано с тем, что эти алгоритмы явно не используют квантовые явления в своих операциях или анализе и в основном полагаются на теория информации. Таким образом, проблема может рассматриваться с классической (физической, вычислительной и т. Д.) Точки зрения.

Физика

Физическая интуиция этого семейства алгоритмов исходит из классических термодинамика.^[3]

Реверсивный корпус

Базовый сценарий - это массив кубиты с одинаковыми начальными предубеждениями. Это означает, что массив содержит небольшие термодинамические системы, каждая с одинаковым энтропия. Цель состоит в том, чтобы передать энтропию от одних кубитов к другим, что в конечном итоге приведет к подмассиву «холодных» кубитов и другому подмассиву «горячих» кубитов (подмассивы различаются энтропией своих кубитов, как в фон раздел). Передача энтропии ограничена, чтобы быть обратимой, что означает, что полная энтропия сохраняется. Следовательно, обратимое алгоритмическое охлаждение можно рассматривать как акт перераспределения энтропии всех кубитов для получения набора более холодных кубитов, в то время как другие более горячие.

Чтобы увидеть аналогию из классической термодинамики, два кубита можно рассматривать как газовый контейнер с двумя отсеками, разделенными подвижной и теплоизоляционный раздел. Если внешний работай применяется для обратимого перемещения перегородки, газ в одном отсеке сжимается, в результате чего увеличивается температура (и энтропия), в то время как газ в другом расширяется, что аналогичным образом приводит к снижению температуры (и энтропии). Так как это обратимо, можно сделать обратное действие, вернув емкость и газы в исходное состояние. Передача энтропии здесь аналогична передаче энтропии при алгоритмическом охлаждении в том смысле, что, применяя внешнюю работу, энтропия может обратимо передаваться между кубитами.

Необратимый случай

Базовый сценарий остается прежним, но присутствует дополнительный объект - тепловая ванна. Это означает, что энтропия может передаваться от кубитов во внешний резервуар, а некоторые операции могут быть необратимыми, что может быть использовано для охлаждения одних кубитов без нагрева других. В частности, горячие кубиты (более горячие, чем ванна), которые были на принимающей стороне обратимой передачи энтропии, могут быть охлаждены, позволяя им взаимодействовать с тепловой ванной. Классической аналогией этой ситуации является Холодильник Карно, в частности, стадия, на которой двигатель контактирует с холодным резервуар и тепло (и энтропия) течет от двигателя к резервуару.

Теория информации

Интуиция к этому семейству алгоритмов может исходить из расширения решения Фон-Неймана для проблемы получения справедливые результаты от необъективной монеты.^[5] В этом подходе к алгоритмическому охлаждению смещение кубитов является просто смещением вероятности или «несправедливостью» монеты.

Приложения

Два типичных приложения, требующих большого количества чистых кубитов: квантовая коррекция ошибок (QEC)^[4] и ансамблевые вычисления.^[2] В реализации квантовые вычисления (реализация и применение алгоритмов на реальных кубитах), алгоритмическое охлаждение участвовало в реализациях в оптические решетки.^[6] Кроме того, алгоритмическое охлаждение может применяться к in vivo магнитно-резонансная спектроскопия.^[7]

Квантовая коррекция ошибок

Квантовая коррекция ошибок квантовый алгоритм защиты от ошибок. Алгоритм работает с соответствующими кубитами (которые работают в рамках вычислений) и требует поставки новых чистых кубитов для каждого раунда. Это требование можно ослабить^[4][8] к чистоте выше определенного порога вместо того, чтобы требовать полностью чистых кубитов. Для этого можно использовать алгоритмическое охлаждение для получения кубитов желаемой чистоты для квантовой коррекции ошибок.

Ансамблевые вычисления

Ансамблевые вычисления - это вычислительная модель, в которой используется макроскопический количество одинаковых компьютеров. Каждый компьютер содержит определенное количество кубитов, и вычислительные операции выполняются одновременно на всех компьютерах. Результат вычисления может быть получен путем измерения состояния всего ансамбля, которое будет средним выводом каждого компьютера в нем.^[9] Поскольку количество компьютеров является макроскопическим, выходной сигнал легче обнаружить и измерить, чем выходной сигнал каждого отдельного компьютера.

Эта модель широко используется в ЯМР квантовые вычисления: каждый компьютер представлен одной (идентичной) молекулой, а кубиты каждого компьютера являются ядерные спины своего атомы. Полученный (усредненный) выход является обнаруживаемым магнитный сигнал.

ЯМР-спектроскопия

Спектроскопия ядерного магнитного резонанса (иногда называемый MRS - магнитно-резонансная спектроскопия) - это неинвазивный метод, связанный с МРТ (магнитно-резонансная томография ) для анализа метаболический изменения in vivo (от латинского: «внутри живого организма»), который потенциально может быть использован для диагностика опухоли головного мозга, болезнь Паркинсона, депрессия и др. Он использует некоторые магнитные свойства соответствующих метаболиты измерить их концентрации в организме, которые коррелируют с определенными заболеваниями. Например, разница между концентрациями метаболитов глутамат и глутамин можно связать с некоторыми этапами нейродегенеративный болезни, такие как Болезнь Альцгеймера.^[10]

Некоторые виды использования MRS сосредоточены на углерод атомы метаболитов (см. Ядерный магнитный резонанс углерода-13 ). Одна из основных причин этого - присутствие углерода в большей части всех протестированных метаболитов. Еще одна причина - способность отметка определенные метаболиты ¹³C изотоп, который легче измерить, чем обычно используемый водород атомов в основном из-за его магнитных свойств (таких как гиромагнитное отношение ).

В MRS ядерные спины атомов метаболитов должны быть с определенной степенью поляризации, поэтому спектроскопия может добиться успеха. Может применяться алгоритмическое охлаждение^[7] in vivo, увеличивая разрешение и точность MRS. Реализация (не in vivo) алгоритмического охлаждения метаболитов с ¹³Было показано, что изотоп C увеличивает поляризацию ¹³C в аминокислотах^[11] и другие метаболиты.^[12][13]

MRS можно использовать для получения биохимический информация об определенном теле ткани неинвазивным способом. Это означает, что операцию необходимо проводить в помещении. температура. Некоторые методы увеличения поляризации спинов (например, гиперполяризация, и в частности динамическая ядерная поляризация ) не могут работать в этих условиях, так как им требуется холодная среда (типичное значение - 1K, около -272 градусов Цельсия ). С другой стороны, алгоритмическое охлаждение может работать при комнатной температуре и использоваться в MRS. in vivo,^[7] в то время как методы, требующие более низкой температуры, могут использоваться в биопсия, вне живого тела.

Реверсивное алгоритмическое охлаждение - базовая процедура сжатия

Алгоритм работает с массивом одинаково (и независимо) смещенных кубитов. После того, как алгоритм передает тепло (и энтропию) от одних кубитов к другим, полученные кубиты перестраиваются в порядке возрастания смещения. Затем этот массив делится на два подмассива: «холодные» кубиты (со смещением, превышающим определенный порог, выбранный пользователем) и «горячие» кубиты (со смещением ниже этого порога). Для дальнейшего используются только «холодные» кубиты. квантовые вычисления. Основная процедура называется «Базовая подпрограмма сжатия».^[2] или «3-битное сжатие».^[14]

Обратимый случай можно продемонстрировать на 3 кубитах, используя вероятностный подход. Каждый кубит представляет собой «монету» (двухуровневую систему), стороны которой помечены 0 и 1, и с определенным уклоном: каждая монета независимо с уклоном ${\displaystyle \epsilon }$, что означает вероятность ${\displaystyle {\frac {1+\epsilon }{2}}}$ для подбрасывания 0. Монеты ${\displaystyle A,B,C}$ и цель - использовать монеты ${\displaystyle B,C}$ охладить монету (кубит) ${\displaystyle A}$. Процедура:

1. Подбрасывать монеты ${\displaystyle A,B,C}$ независимо.
2. Подать заявление C-НЕ на ${\displaystyle B,C}$.
3. Использовать монету ${\displaystyle B}$ для кондиционирования C-SWAP монет ${\displaystyle A,C}$.

После этой процедуры средний (ожидаемое значение ) уклона монеты ${\displaystyle A}$ есть, чтобы ведущий заказ, ${\displaystyle \epsilon _{new}^{average}={\frac {3}{2}}\epsilon }$.^[14]

C-NOT шаг

Монеты ${\displaystyle B,C}$ используются для C-НЕ операция, также известная как XOR (Эксклюзивный или). Операция применяется следующим образом: ${\displaystyle A_{new}=A,B_{new}=B\oplus C,C_{new}=C}$, что обозначает ${\displaystyle B\oplus C}$ вычисляется и заменяет старое значение ${\displaystyle B}$, и ${\displaystyle A,C}$ оставаться без изменений. В частности, применяется следующая операция:

• Если результат монеты ${\displaystyle C}$ равно 1:
  • Подбросить монету ${\displaystyle B}$ не глядя на результат
• Иначе (результат монеты ${\displaystyle C}$ равно 0):
  • Ничего не делать (все еще не глядя на результат ${\displaystyle B}$)

Теперь результат монеты ${\displaystyle B_{new}}$ проверяется (не глядя на ${\displaystyle A_{new},C_{new}}$). Классически это означает, что результат монеты ${\displaystyle C}$ должны быть «забыты» (больше не могут использоваться). Классически это несколько проблематично, потому что результат монеты ${\displaystyle C}$ больше не является вероятностным; однако эквивалентные квантовые операторы (которые фактически используются в реализациях и реализациях алгоритма) могут это делать.^[14]

После того, как операция C-NOT завершена, уклон монеты ${\displaystyle C_{new}}$ вычисляется с использованием условная возможность:

1. Если ${\displaystyle B_{new}=0}$ (смысл ${\displaystyle B=C}$): ${\displaystyle P(C_{new}=0|B=C)={\frac {P(B=C=0)}{P(B=C)}}={\frac {\frac {(1+\epsilon )^{2}}{4}}{{\frac {(1+\epsilon )^{2}}{4}}+{\frac {(1-\epsilon )^{2}}{4}}}}={\frac {\frac {(1+\epsilon )^{2}}{4}}{\frac {1+\epsilon ^{2}}{2}}}={\frac {1+{\frac {2\epsilon }{1+\epsilon ^{2}}}}{2}}}$. Таким образом, новый уклон монеты ${\displaystyle C_{new}}$ является ${\displaystyle {\frac {2\epsilon }{1+\epsilon ^{2}}}}$.
2. Если ${\displaystyle B_{new}=1}$ (смысл ${\displaystyle B\neq C}$): ${\displaystyle P(C_{new}=0|B\neq C)={\frac {P(C=0,B=1)}{P(B\neq C)}}={\frac {{\frac {1+\epsilon }{2}}{\frac {1-\epsilon }{2}}}{{\frac {1+\epsilon }{2}}{\frac {1-\epsilon }{2}}+{\frac {1-\epsilon }{2}}{\frac {1+\epsilon }{2}}}}={\frac {\frac {1-\epsilon ^{2}}{4}}{\frac {1-\epsilon ^{2}}{2}}}={\frac {1}{2}}}$. Таким образом, новый уклон монеты ${\displaystyle C_{new}}$ является ${\displaystyle 0}$.

Шаг C-SWAP

Монеты ${\displaystyle A_{new},B_{new},C_{new}}$ используются для C-ЗАМЕНА операция. Операция применяется следующим образом: ${\displaystyle A'=A_{new}B_{new}+{\overline {B_{new}}}C_{new},B'=B_{new},C'=A_{new}{\overline {B_{new}}}+B_{new}C_{new}}$, что обозначает ${\displaystyle A_{new},C_{new}}$ меняются местами, если ${\displaystyle B_{new}=0}$.

После завершения операции C-SWAP:

1. Если ${\displaystyle B_{new}=0}$: монеты ${\displaystyle A_{new}}$ и ${\displaystyle C_{new}}$ были обменены, следовательно, монета ${\displaystyle A'}$ сейчас ${\displaystyle {\frac {2\epsilon }{1+\epsilon ^{2}}}}$-смещенный и монетный ${\displaystyle C'}$ является ${\displaystyle \epsilon }$-пристрастный.
2. Еще (${\displaystyle B_{new}=1}$): монета ${\displaystyle A'}$ остается без изменений (все еще предвзятый ${\displaystyle \epsilon }$) и монеты ${\displaystyle C'}$ остается с предвзятостью ${\displaystyle 0}$. В этом случае монета ${\displaystyle C'}$ может быть исключен из системы, так как она слишком "горячая" (слишком низкая смещение или, что то же самое, ее энтропия слишком высока).

Средний уклон монеты ${\displaystyle A'}$ можно рассчитать, глядя на эти два случая, используя окончательную систематическую ошибку в каждом случае и вероятность каждого случая:

${\displaystyle \epsilon _{new}^{average}=P(B_{new}=0)\cdot {\frac {2\epsilon }{1+\epsilon ^{2}}}+P(B_{new}=1)\cdot \epsilon =\left({\frac {(1+\epsilon )^{2}}{4}}+{\frac {(1-\epsilon )^{2}}{4}}\right)\cdot {\frac {2\epsilon }{1+\epsilon ^{2}}}+\left({\frac {1+\epsilon }{2}}{\frac {1-\epsilon }{2}}+{\frac {1-\epsilon }{2}}{\frac {1+\epsilon }{2}}\right)\cdot \epsilon ={\frac {3\epsilon }{2}}-{\frac {\epsilon ^{3}}{2}}}$

Используя приближение ${\displaystyle \epsilon \ll 1}$, новое среднее смещение монеты ${\displaystyle A'}$ является ${\displaystyle \epsilon _{new}^{average}={\frac {3}{2}}\epsilon }$. Следовательно, эти два шага увеличивают поляризацию монеты. ${\displaystyle A}$ в среднем.

Альтернативное объяснение: квантовые операции

Алгоритм может быть написан с использованием квантовых операций над кубитами, в отличие от классической обработки. В частности, шаги C-NOT и C-SWAP можно заменить одним унитарный квантовый оператор который работает с 3 кубитами.^[14] Хотя эта операция меняет кубиты ${\displaystyle B,C}$ иначе, чем два классических шага, он дает такое же окончательное смещение для кубита ${\displaystyle A}$. Оператор ${\displaystyle U}$ может быть однозначно определен его действием на вычислительной основе Гильбертово пространство из 3 кубитов:

${\displaystyle |000\rangle \mapsto |000\rangle }$,

${\displaystyle |001\rangle \mapsto |001\rangle }$,

${\displaystyle |010\rangle \mapsto |010\rangle }$,

${\displaystyle |011\rangle \mapsto |100\rangle }$,

${\displaystyle |100\rangle \mapsto |011\rangle }$,

${\displaystyle |101\rangle \mapsto |101\rangle }$,

${\displaystyle |110\rangle \mapsto |110\rangle }$,

${\displaystyle |111\rangle \mapsto |111\rangle }$.

В матричной форме этот оператор представляет собой единичная матрица размера 8, за исключением того, что 4-й и 5-й ряды меняются местами. Результат этой операции можно получить, написав состояние продукта из 3 кубитов, ${\displaystyle \rho _{A,B,C}=\rho _{A}\otimes \rho _{B}\otimes \rho _{C}}$, и применяя ${\displaystyle U}$ в теме. После этого смещение кубита ${\displaystyle A}$ можно рассчитать по проектирование его состояние по состоянию ${\displaystyle |0\rangle }$ (без проецирования кубитов ${\displaystyle B,C}$) и взяв след результата (см. измерение матрицы плотности ):

${\displaystyle {\frac {1+\epsilon _{new}^{average}}{2}}=\operatorname {tr} [(P_{0}\otimes I\otimes I)(U\rho _{A,B,C}U^{\dagger })]={\frac {1+{\frac {3\epsilon }{2}}-{\frac {\epsilon ^{3}}{2}}}{2}}}$, куда ${\displaystyle P_{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}=|0\rangle \langle 0|}$ это проекция на состояние ${\displaystyle |0\rangle }$.

Опять же, используя приближение ${\displaystyle \epsilon \ll 1}$, новое среднее смещение монеты ${\displaystyle A}$ является ${\displaystyle \epsilon _{new}^{average}={\frac {3}{2}}\epsilon }$.

Алгоритмическое охлаждение тепловой ванной (необратимое алгоритмическое охлаждение)

Необратимый случай является расширением обратимого случая: он использует обратимый алгоритм как подпрограмму. Необратимый алгоритм содержит еще одну процедуру под названием «Обновить».^[4][14] и расширяет обратимый, используя тепловая ванна. Это позволяет охлаждать определенные кубиты (так называемые «кубиты сброса»), не затрагивая другие, что приводит к общему охлаждению всех кубитов как системы. Охлажденные кубиты сброса используются для охлаждения остальных (называемых «вычислительными кубитами») путем применения к ним сжатия, которое аналогично базовой подпрограмме сжатия из обратимого случая. «Изоляция» вычислительных кубитов от термостата - это теоретическая идеализация, которая не всегда выполняется при реализации алгоритма. Однако при правильном выборе физической реализации каждого типа кубита это предположение справедливо.^[1][15]

Существует множество различных версий этого алгоритма с различным использованием кубитов сброса и разными достижимыми смещениями.^{[1][2][14][7][15]} Общую идею, лежащую в их основе, можно продемонстрировать с помощью трех кубитов: двух вычислительных кубитов. ${\displaystyle A,B}$ и один кубит сброса ${\displaystyle C}$.^[4]

Каждый из трех кубитов изначально находится в полностью смешанном состоянии со смещением ${\displaystyle 0}$ (см. фон раздел). Затем применяются следующие шаги:

1. Обновить: кубит сброса ${\displaystyle C}$ взаимодействует с тепловой ванной.
2. Сжатие: к трем кубитам применяется обратимое сжатие (перенос энтропии).

Каждый раунд алгоритма состоит из трех итераций, и каждая итерация состоит из этих двух шагов (обновление, а затем сжатие). Шаг сжатия на каждой итерации немного отличается, но его цель - отсортировать кубиты в порядке убывания смещения, чтобы кубит сброса имел наименьшее смещение (а именно, самую высокую температуру) из всех кубитов. Это служит двум целям:

• Передача как можно большего количества энтропии от вычислительных кубитов.
• Передача как можно большего количества энтропии из всей системы (и в частности кубита сброса) в ванну на следующем этапе обновления.

При записи матриц плотности после каждой итерации шаг сжатия в 1-м раунде можно эффективно обрабатывать следующим образом:

• 1-я итерация: поменять местами кубит ${\displaystyle A}$ с предварительно обновленным кубитом сброса ${\displaystyle C}$.
• 2-я итерация: поменять местами кубит ${\displaystyle B}$ с предварительно обновленным кубитом сброса ${\displaystyle C}$.
• 3-я итерация: усиление смещения кубита ${\displaystyle A}$.

Описание этапа сжатия в следующих циклах зависит от состояния системы до начала цикла и может быть более сложным, чем приведенное выше описание. В этом иллюстративном описании алгоритма повышенное смещение кубита ${\displaystyle A}$ (получается после окончания первого раунда) ${\displaystyle {\frac {3\epsilon _{b}}{2}}-{\frac {\epsilon _{b}^{3}}{2}}}$, куда ${\displaystyle \epsilon _{b}}$ это смещение кубитов в термостате.^[4] Этот результат получается после последнего шага сжатия; непосредственно перед этим шагом кубиты были ${\displaystyle \epsilon _{b}}$-смещенный, что в точности соответствует состоянию кубитов до применения обратимого алгоритма.

Обновить шаг

Контакт, который устанавливается между кубитом сброса и термостатом, можно смоделировать несколькими способами:

1. Физическое взаимодействие между двумя термодинамическими системами, которое в конечном итоге приводит к сбросу кубита, температура которого идентична температуре ванны (что эквивалентно - со смещением, равным смещению кубитов в ванне, ${\displaystyle \epsilon _{b}}$).
2. Математический проследить на кубите сброса с последующим переводом системы в состояние продукта с новым новым кубитом из ванны. Это означает, что мы теряем прежний кубит сброса и получаем новый, обновленный. Формально это можно записать как ${\displaystyle \rho _{new}=tr_{C}(\rho )\otimes \rho _{\epsilon _{b}}}$, куда ${\displaystyle \rho _{new}}$ - новая матрица плотности (после проведения операции), ${\displaystyle tr_{C}(\rho )}$ это частичный след операция на кубите сброса ${\displaystyle C}$, и ${\displaystyle \rho _{\epsilon _{b}}}$ - матрица плотности, описывающая (новый) кубит из ванны, со смещением ${\displaystyle \epsilon _{b}}$.

В обоих случаях результатом является кубит сброса, смещение которого идентично смещению кубитов в ванне. Кроме того, полученный кубит сброса не коррелирует с другими, независимо от корреляций между ними до того, как был проведен шаг обновления. Следовательно, этап обновления можно рассматривать как отбрасывание информации о текущем кубите сброса и получение информации о новом кубите из ванны.

Шаг сжатия

Цель этого шага - обратимо перераспределить энтропию всех кубитов таким образом, чтобы смещения кубитов были в порядке убывания (или не возрастания). Операция выполняется обратимо, чтобы предотвратить увеличение энтропии всей системы (поскольку она не может уменьшаться в закрытой системе, см. энтропия ). Что касается температуры, на этом этапе кубиты перестраиваются в порядке возрастания температуры, так что кубиты сброса являются самыми горячими. На примере трех кубитов ${\displaystyle A,B,C}$, это означает, что после сжатия смещение кубита ${\displaystyle A}$ самый высокий и предвзятость ${\displaystyle C}$ самый низкий. Кроме того, сжатие используется для охлаждения вычислительных кубитов.

Состояние системы обозначим через ${\displaystyle (\epsilon _{A},\epsilon _{B},\epsilon _{C})}$ если кубиты ${\displaystyle A,B,C}$ не коррелированы между собой (а именно, если система находится в состояние продукта ) и соответствующие смещения ${\displaystyle \epsilon _{A},\epsilon _{B},\epsilon _{C}}$.

Сжатие можно описать как операцию сортировки диагональных элементов матрица плотности который описывает систему. Например, если состояние системы после определенного шага сброса ${\displaystyle (2\epsilon _{b},0,\epsilon _{b})}$, то сжатие действует для состояния следующим образом:

${\displaystyle \rho _{ABC}={\frac {1}{8}}\operatorname {diag} {\begin{pmatrix}(1+2\epsilon _{b})(1+\epsilon _{b})\\(1+2\epsilon _{b})(1-\epsilon _{b})\\(1+2\epsilon _{b})(1+\epsilon _{b})\\(1+2\epsilon _{b})(1-\epsilon _{b})\\(1-2\epsilon _{b})(1+\epsilon _{b})\\(1-2\epsilon _{b})(1-\epsilon _{b})\\(1-2\epsilon _{b})(1+\epsilon _{b})\\(1-2\epsilon _{b})(1-\epsilon _{b})\end{pmatrix}}{\xrightarrow {compression}}\rho _{ABC}'={\frac {1}{8}}\operatorname {diag} {\begin{pmatrix}(1+2\epsilon _{b})(1+\epsilon _{b})\\(1+2\epsilon _{b})(1+\epsilon _{b})\\(1+2\epsilon _{b})(1-\epsilon _{b})\\(1+2\epsilon _{b})(1-\epsilon _{b})\\(1-2\epsilon _{b})(1+\epsilon _{b})\\(1-2\epsilon _{b})(1+\epsilon _{b})\\(1-2\epsilon _{b})(1-\epsilon _{b})\\(1-2\epsilon _{b})(1-\epsilon _{b})\end{pmatrix}}}$

Это обозначение обозначает диагональная матрица чьи диагональные записи указаны в скобках. Матрицы плотности ${\displaystyle \rho _{ABC},\rho _{ABC}'}$ представляют состояние системы (включая возможные корреляции между кубитами) до и после этапа сжатия соответственно. В приведенных выше обозначениях состояние после сжатия ${\displaystyle (2\epsilon _{b},\epsilon _{b},0)}$.

Эта операция сортировки используется для переупорядочивания кубитов в порядке убывания смещения.^[15][4] Как и в примере, в некоторых случаях операцию сортировки можно описать более простой операцией, например замена. Однако общая форма операции сжатия - это операция сортировки диагональных элементов матрицы плотности.

Для интуитивной демонстрации шага сжатия ниже представлена ​​последовательность алгоритма в первом раунде:

• 1-я итерация:
  • После шага обновления состояние ${\displaystyle (0,0,\epsilon _{b})}$.
  • После этапа сжатия (который меняет местами кубиты ${\displaystyle A,C}$) состояние ${\displaystyle (\epsilon _{b},0,0)}$.
• 2-я итерация:
  • После шага обновления состояние ${\displaystyle (\epsilon _{b},0,\epsilon _{b})}$.
  • После этапа сжатия (который меняет местами кубиты ${\displaystyle B,C}$) состояние ${\displaystyle (\epsilon _{b},\epsilon _{b},0)}$.
• 3-я итерация:
  • После шага обновления состояние ${\displaystyle (\epsilon _{b},\epsilon _{b},\epsilon _{b})}$.
  • После этапа сжатия (который увеличивает смещение кубита ${\displaystyle A}$), смещения кубитов равны ${\displaystyle {\frac {3\epsilon _{b}}{2}}-{\frac {\epsilon _{b}^{3}}{2}},{\frac {\epsilon _{b}}{2}}+{\frac {\epsilon _{b}^{3}}{2}},{\frac {\epsilon _{b}}{2}}+{\frac {\epsilon _{b}^{3}}{2}}}$, который может быть аппроксимирован (в ведущем порядке) выражением ${\displaystyle {\frac {3\epsilon _{b}}{2}},{\frac {\epsilon _{b}}{2}},{\frac {\epsilon _{b}}{2}}}$. Здесь каждое смещение независимо определяется как смещение соответствующего кубита при отбрасывании остальной части системы (используя частичный след ), даже если есть корреляции между ними. Следовательно, эти обозначения не могут полностью описать систему, а могут использоваться только как интуитивная демонстрация шагов алгоритма.

По окончании 1-го раунда смещение кубита сброса (${\displaystyle {\frac {\epsilon _{b}}{2}}+{\frac {\epsilon _{b}^{3}}{2}}}$) меньше, чем смещение термостата (${\displaystyle \epsilon _{b}}$). Это означает, что на следующем шаге обновления (во 2-м раунде алгоритма) кубит сброса будет заменен новым кубитом со смещением ${\displaystyle \epsilon _{b}}$: это охлаждает всю систему, как и на предыдущих этапах обновления. Далее алгоритм продолжается аналогичным образом.

Общие результаты

Количество раундов не ограничено: поскольку смещения кубитов сброса асимптотически достигают смещения ванны после каждого раунда, смещение целевого вычислительного кубита асимптотически достигает своего предела по мере выполнения алгоритма.^[2][15] Целевой кубит - это вычислительный кубит, который алгоритм стремится охладить больше всего. «Предел охлаждения» (максимальное смещение, которого может достичь целевой кубит) зависит от смещения ванны и количества кубитов каждого типа в системе. If the number of the computational qubits (excluding the target one) is ${\displaystyle n'}$ and the number of reset qubits is ${\displaystyle m}$, then the cooling limit is ${\displaystyle \epsilon _{max}={\frac {(1+\epsilon _{b})^{m2^{n'}}-(1-\epsilon _{b})^{m2^{n'}}}{(1+\epsilon _{b})^{m2^{n'}}+(1-\epsilon _{b})^{m2^{n'}}}}}$.^[4] В случае, когда ${\displaystyle \epsilon _{b}\ll m2^{n'}}$, the maximal polarization that can be obtained is proportional to ${\displaystyle m2^{n'}}$. Otherwise, the maximal bias reaches arbitrarily close to ${\displaystyle 1}$. The number of rounds required in order to reach a certain bias depends on the desired bias, the bias of the bath and the number of qubits, and moreover varies between different versions of the algorithm.^[16][4][1]

There are other theoretical results which give bounds on the number of iterations required to reach a certain bias. For example, if the bias of the bath is ${\displaystyle \epsilon _{b}\ll 1}$, then the number of iterations required to cool a certain qubit to bias ${\displaystyle k\epsilon _{b}\ll 1}$ по крайней мере ${\displaystyle k^{2}}$.

Рекомендации

1. Takui, Takeji; Berliner, Lawrence J.; Hanson, Graeme (2016). "Heat Bath Algorithmic Cooling with Spins: Review and Prospects". Electron spin resonance (ESR) based quantum computing. Biological Magnetic Resonance. 31. pp. 227–255. arXiv:1501.00952. Дои:10.1007/978-1-4939-3658-8_8. ISBN  9781493936588. OCLC  960701571.
2. Boykin, P. Oscar; Mor, Tal; Roychowdhury, Vwani; Vatan, Farrokh; Vrijen, Rutger (2002-03-19). "Algorithmic cooling and scalable NMR quantum computers". Труды Национальной академии наук. 99 (6): 3388–3393. arXiv:quant-ph/0106093. Bibcode:2002PNAS...99.3388B. Дои:10.1073/pnas.241641898. ЧВК  122533. PMID  11904402.
3. Schulman, Leonard J.; Vazirani, Umesh V. (1999-01-01). Molecular Scale Heat Engines and Scalable Quantum Computation. Материалы тридцать первого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений. STOC '99. Нью-Йорк, Нью-Йорк, США: ACM. pp. 322–329. arXiv:quant-ph/9804060. Дои:10.1145/301250.301332. ISBN  978-1581130676.
4. Park, Daniel K.; Rodriguez-Briones, Nayeli A.; Feng, Guanru; Darabad, Robabeh R.; Baugh, Jonathan; Laflamme, Raymond (2015-01-05). "Heat Bath Algorithmic Cooling with Spins: Review and Prospects". arXiv:1501.00952 [Quant-ph ].
5. Peres, Yuval (1992-03-01). "Iterating Von Neumann's Procedure for Extracting Random Bits". Анналы статистики. 20 (1): 590–597. Дои:10.1214/aos/1176348543.
6. Bakr, Waseem S.; Preiss, Philipp M.; Tai, M. Eric; Ma, Ruichao; Simon, Jonathan; Greiner, Markus (2011-12-22). "Orbital excitation blockade and algorithmic cooling in quantum gases". Природа. 480 (7378): 500–503. arXiv:1105.5834. Bibcode:2011Natur.480..500B. Дои:10.1038/nature10668. PMID  22193104.
7. Brassard, Gilles; Elias, Yuval; Mor, Tal; Weinstein, Yossi (2014-11-28). "Prospects and limitations of algorithmic cooling". The European Physical Journal Plus. 129 (11): 258. arXiv:1404.6824. Bibcode:2014EPJP..129..258B. Дои:10.1140/epjp/i2014-14258-0.
8. Criger, Ben; Мусса, Усама; Laflamme, Raymond (2012-04-20). "Quantum Error Correction with Mixed Ancilla Qubits". Физический обзор A. 85 (4): 044302. arXiv:1201.1517. Bibcode:2012PhRvA..85d4302C. Дои:10.1103/PhysRevA.85.044302.
9. Cory, David G.; Fahmy, Amr F.; Havel, Timothy F. (1997-03-04). "Ensemble quantum computing by NMR spectroscopy". Труды Национальной академии наук. 94 (5): 1634–1639. Bibcode:1997PNAS...94.1634C. Дои:10.1073/pnas.94.5.1634. ЧВК  19968. PMID  9050830.
10. Jansen, Jacobus F. A.; Backes, Walter H.; Nicolay, Klaas; Kooi, M. Eline (2006-08-01). "1H MR Spectroscopy of the Brain: Absolute Quantification of Metabolites". Радиология. 240 (2): 318–332. Дои:10.1148 / радиол.2402050314. PMID  16864664.
11. Elias, Y.; Gilboa, H.; Mor, T.; Weinstein, Y. (2011-12-07). "Heat-bath cooling of spins in two amino acids". Письма по химической физике. 517 (4–6): 126–131. arXiv:1108.5109. Bibcode:2011CPL...517..126E. Дои:10.1016/j.cplett.2011.10.039.
12. Atia, Yosi; Elias, Yuval; Mor, Tal; Weinstein, Yossi (2016-01-14). "Algorithmic Cooling in Liquid State NMR". Физический обзор A. 93 (1): 012325. arXiv:1411.4641. Bibcode:2016PhRvA..93a2325A. Дои:10.1103/PhysRevA.93.012325.
13. Brassard, G.; Elias, Y.; Fernandez, J. M.; Gilboa, H.; Jones, J. A.; Mor, T.; Weinstein, Y.; Xiao, L. (2014-12-16). "Experimental heat-bath cooling of spins". The European Physical Journal Plus. 129 (12): 266. arXiv:quant-ph/0511156. Дои:10.1140/epjp/i2014-14266-0.
14. Fernandez, Jose M.; Ллойд, Сет; Mor, Tal; Roychowdhury, Vwani (2004-01-21). "Algorithmic Cooling of Spins: A Practicable Method for Increasing Polarization". International Journal of Quantum Information. 2 (4): 461–467. arXiv:quant-ph/0401135. Дои:10.1142/S0219749904000419.
15. Schulman, L.; Mor, T.; Weinstein, Y. (2007-01-01). "Physical Limits of Heat‐Bath Algorithmic Cooling" (PDF). SIAM Журнал по вычислениям. 36 (6): 1729–1747. Дои:10.1137/050666023.
16. Elias, Yuval; Mor, Tal; Weinstein, Yossi (2011-04-29). "Semi-optimal Practicable Algorithmic Cooling". Физический обзор A. 83 (4): 042340. arXiv:1110.5892. Bibcode:2011PhRvA..83d2340E. Дои:10.1103/PhysRevA.83.042340.