Теорема Уолдса - Wolds theorem

Эта статья посвящена теореме, используемой в анализе временных рядов. Для абстрактного математического утверждения см. Разложение Вольда.

В статистика, Разложение Вольда или Теорема Вольда о представлении (не путать с теоремой Вольда, которая является аналогом дискретного времени Теорема Винера – Хинчина ), названный в честь Герман Вольд, говорит, что каждый ковариационно-стационарный Временные ряды ${\displaystyle Y_{t}}$ можно записать как сумму двух временных рядов, один детерминированный и один стохастический.

Формально

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\varepsilon _{t-j}+\eta _{t},}$

куда:

• ${\displaystyle Y_{t}}$ это Временные ряды рассматривается,

• ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ некоррелированная последовательность, которая является инновационный процесс к процессу ${\displaystyle Y_{t}}$ - то есть процесс белого шума, который вводится в линейный фильтр ${\displaystyle \{b_{j}\}}$.

• ${\displaystyle b}$ это возможно бесконечный вектор скользящих средних весов (коэффициентов или параметров)

• ${\displaystyle \eta _{t}}$ представляет собой детерминированный временной ряд, например, представленный синусоидой.

Коэффициенты скользящего среднего имеют следующие свойства:

1. Стабильный, то есть суммируемый по квадрату ${\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }|b_{j}|^{2}}$ < ${\displaystyle \infty }$
2. Причинная (т.е. нет терминов с j < 0)
3. Минимальная задержка^{[требуется разъяснение ]}
4. Постоянный (${\displaystyle b_{j}}$ независим от т)
5. Принято определять ${\displaystyle b_{0}=1}$

Эту теорему можно рассматривать как теорему существования: любой стационарный процесс имеет это, казалось бы, особое представление. Примечательно не только существование такого простого линейного и точного представления, но еще более особый характер модели скользящего среднего. Представьте, что вы создаете процесс, который является скользящей средней, но не удовлетворяет этим свойствам 1–4. Например, коэффициенты ${\displaystyle b_{j}}$ может определить акаузальную и неминимальная задержка^{[требуется разъяснение ]} модель. Тем не менее теорема гарантирует существование причинно-следственной связи. скользящее среднее с минимальной задержкой^{[требуется разъяснение ]} что точно представляет этот процесс. Как все это работает для случая причинности и свойства минимальной задержки, обсуждается в Scargle (1981), где обсуждается расширение разложения Уолда.

Полезность теоремы Вольда заключается в том, что она позволяет динамичный эволюция переменной ${\displaystyle Y_{t}}$ быть приближенным к линейная модель. Если нововведения ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ находятся независимый, то линейная модель является единственно возможным представлением, связывающим наблюдаемое значение ${\displaystyle Y_{t}}$ к его прошлой эволюции. Однако когда ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ это просто некоррелированный но не независимая последовательность, то линейная модель существует, но это не единственное представление динамической зависимости ряда. В этом последнем случае линейная модель может оказаться не очень полезной, и возникнет нелинейная модель, связывающая наблюдаемое значение ${\displaystyle Y_{t}}$ к его прошлой эволюции. Однако на практике анализ временных рядов, часто рассматриваются только линейные предикторы, отчасти из соображений простоты, и в этом случае разложение Вольда имеет прямое отношение.

Представление Вольда зависит от бесконечного числа параметров, хотя на практике они обычно быстро затухают. В авторегрессионная модель является альтернативой, которая может иметь только несколько коэффициентов, если у соответствующей скользящей средней их много. Эти две модели можно объединить в модель авторегрессионного скользящего среднего (ARMA), или модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA), если нестационарность присутствует. Видеть Scargle (1981) и ссылки там; Кроме того, в этой статье дается расширение теоремы Вольда, которое позволяет сделать скользящее среднее более универсальным (не обязательно стабильным, причинным или минимальным запаздыванием), сопровождаемым более точной характеристикой инновации (идентично и независимо распределенной, а не только некоррелированной). Это расширение позволяет создавать модели, которые более точно соответствуют физическим или астрофизическим процессам и, в частности, могут определять «стрелу времени».

Рекомендации

• Андерсон, Т. (1971). Статистический анализ временных рядов. Вайли.
• Нерлов, М.; Grether, Дэвид М .; Карвалью, Хосе Л. (1995). Анализ экономических временных рядов (Пересмотренная ред.). Сан-Диего: Academic Press. стр.30–36. ISBN  0-12-515751-7.
• Скаргл, Дж. Д. (1981). Исследования по анализу астрономических временных рядов. I - Моделирование случайных процессов во временной области. Серия дополнений к астрофизическим журналам. 45. С. 1–71.
• Уолд, Х. (1954) Исследование анализа стационарных временных рядов, Второе исправленное издание, с Приложением "Последние изменения в анализе временных рядов" автора Питер Уиттл. Almqvist and Wiksell Book Co., Упсала.