Слабая сходимость (гильбертово пространство) - Weak convergence (Hilbert space)

В математика, слабая конвергенция в Гильбертово пространство является конвергенция из последовательность очков в слабая топология.

Определение

А последовательность очков ${\displaystyle (x_{n})}$ в гильбертовом пространстве ЧАС говорят сходятся слабо в точку Икс в ЧАС если

${\displaystyle \langle x_{n},y\rangle \to \langle x,y\rangle }$

для всех у в ЧАС. Здесь, ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ понимается как внутренний продукт на гильбертовом пространстве. Обозначение

${\displaystyle x_{n}\rightharpoonup x}$

иногда используется для обозначения такого рода сходимости.

Характеристики

• Если последовательность сходится сильно (т. Е. Сходится по норме), то она также сходится слабо.
• Поскольку любое замкнутое и ограниченное множество слабо относительно компактный (его замыкание в слабой топологии компактно) каждое ограниченная последовательность ${\displaystyle x_{n}}$ в гильбертовом пространстве ЧАС содержит слабо сходящуюся подпоследовательность. Отметим, что замкнутые и ограниченные множества, вообще говоря, не являются слабо компактными в гильбертовых пространствах (рассмотрим множество, состоящее из ортонормированный базис в бесконечномерном гильбертовом пространстве, которое является замкнутым и ограниченным, но не слабо компактным, поскольку оно не содержит 0). Однако ограниченные и слабо замкнутые множества слабо компактны, поэтому каждое выпуклое ограниченное замкнутое множество слабо компактно.
• Как следствие принцип равномерной ограниченности, каждая слабо сходящаяся последовательность ограничена.
• Норма (последовательно) слабо полунепрерывный снизу: если ${\displaystyle x_{n}}$ слабо сходится к Икс, тогда

${\displaystyle \Vert x\Vert \leq \liminf _{n\to \infty }\Vert x_{n}\Vert ,}$

и это неравенство строгое, если сходимость не сильная. Например, бесконечные ортонормированные последовательности слабо сходятся к нулю, как показано ниже.

• Если ${\displaystyle x_{n}}$ слабо сходится к ${\displaystyle x}$ и у нас есть дополнительное предположение, что ${\displaystyle \lVert x_{n}\rVert \to \lVert x\rVert }$, тогда ${\displaystyle x_{n}}$ сходится к ${\displaystyle x}$ сильно:

${\displaystyle \langle x-x_{n},x-x_{n}\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x_{n},x_{n}\rangle -\langle x_{n},x\rangle -\langle x,x_{n}\rangle \rightarrow 0.}$

• Если гильбертово пространство конечномерно, т.е. Евклидово пространство, то понятия слабой и сильной сходимости совпадают.

Пример

Первые 3 функции в последовательности ${\displaystyle f_{n}(x)=\sin(nx)}$ на ${\displaystyle [0,2\pi ]}$. В качестве ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle f_{n}}$ слабо сходится к ${\displaystyle f=0}$.

Гильбертово пространство ${\displaystyle L^{2}[0,2\pi ]}$ это пространство квадратично интегрируемые функции на интервале ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ оснащен внутренним продуктом, определяемым

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{2\pi }f(x)\cdot g(x)\,dx,}$

(видеть L^п Космос ). Последовательность функций ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$ определяется

${\displaystyle f_{n}(x)=\sin(nx)}$

слабо сходится к нулевой функции в ${\displaystyle L^{2}[0,2\pi ]}$, как интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin(nx)\cdot g(x)\,dx.}$

стремится к нулю для любой интегрируемой с квадратом функции ${\displaystyle g}$ на ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ когда ${\displaystyle n}$ уходит в бесконечность, что по Лемма Римана – Лебега., т.е.

${\displaystyle \langle f_{n},g\rangle \to \langle 0,g\rangle =0.}$

Несмотря на то что ${\displaystyle f_{n}}$ имеет увеличивающееся количество нулей в ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ в качестве ${\displaystyle n}$ уходит в бесконечность, она, конечно, не равна нулю функции ни при каких ${\displaystyle n}$. Обратите внимание, что ${\displaystyle f_{n}}$ не сходится к 0 в ${\displaystyle L_{\infty }}$ или же ${\displaystyle L_{2}}$ норм. Это несходство - одна из причин, почему этот тип конвергенции считается «слабым».

Слабая сходимость ортонормированных последовательностей

Рассмотрим последовательность ${\displaystyle e_{n}}$ который был сконструирован как ортонормированный, то есть

${\displaystyle \langle e_{n},e_{m}\rangle =\delta _{mn}}$

куда ${\displaystyle \delta _{mn}}$ равно единице, если м = п и ноль в противном случае. Мы утверждаем, что если последовательность бесконечна, то она слабо сходится к нулю. Простое доказательство состоит в следующем. За Икс ∈ ЧАС, у нас есть

${\displaystyle \sum _{n}|\langle e_{n},x\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}}$ (Неравенство Бесселя )

где равенство имеет место при {е_п} является базисом гильбертова пространства. Следовательно

${\displaystyle |\langle e_{n},x\rangle |^{2}\rightarrow 0}$ (поскольку указанный выше ряд сходится, соответствующая ему последовательность должна стремиться к нулю)

т.е.

${\displaystyle \langle e_{n},x\rangle \rightarrow 0.}$

Теорема Банаха – Сакса.

В Теорема Банаха – Сакса. утверждает, что каждая ограниченная последовательность ${\displaystyle x_{n}}$ содержит подпоследовательность ${\displaystyle x_{n_{k}}}$ и точка Икс такой, что

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}x_{n_{k}}}$

сильно сходится к Икс в качестве N уходит в бесконечность.

Обобщения

Смотрите также: Слабая топология и Слабая топология (полярная топология)

Определение слабой сходимости можно распространить на Банаховы пространства. Последовательность точек ${\displaystyle (x_{n})}$ в банаховом пространстве B говорят сходятся слабо в точку Икс в B если

${\displaystyle f(x_{n})\to f(x)}$

для любого ограниченного линейного функциональный ${\displaystyle f}$ определено на ${\displaystyle B}$, то есть для любого ${\displaystyle f}$ в двойное пространство ${\displaystyle B'}$. Если ${\displaystyle B}$ является Lp пространство на ${\displaystyle \Omega }$, и ${\displaystyle p<\infty }$ тогда любой такой ${\displaystyle f}$ имеет форму

${\displaystyle f(x)=\int _{\Omega }x\,y\,d\mu }$

Для некоторых ${\displaystyle y\in \,L^{q}(B)}$ куда ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$ и ${\displaystyle \mu }$ это мера на ${\displaystyle \Omega }$.

В случае, когда ${\displaystyle B}$ является гильбертовым пространством, то в силу Теорема Рисса о представлении,

${\displaystyle f(\cdot )=\langle \cdot ,y\rangle }$

для некоторых ${\displaystyle y}$ в ${\displaystyle B}$, так что получается определение слабой сходимости в гильбертовом пространстве.