Интегралы Уоллиса - Wallis integrals

В математика, а точнее в анализ, то Интегралы Уоллиса составляют семью интегралы представлен Джон Уоллис.

Определение, основные свойства

В Интегралы Уоллиса являются членами последовательности ${\displaystyle (W_{n})_{n\geq 0}}$ определяется

${\displaystyle W_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx,}$

или эквивалентно (заменой ${\displaystyle x={\tfrac {\pi }{2}}-t}$),

${\displaystyle W_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx.}$

Первые несколько членов этой последовательности:

${\displaystyle W_{0}}$	${\displaystyle W_{1}}$	${\displaystyle W_{2}}$	${\displaystyle W_{3}}$	${\displaystyle W_{4}}$	${\displaystyle W_{5}}$	${\displaystyle W_{6}}$	${\displaystyle W_{7}}$	${\displaystyle W_{8}}$	...	${\displaystyle W_{n}}$
${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{16}}}$	${\displaystyle {\frac {8}{15}}}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{32}}}$	${\displaystyle {\frac {16}{35}}}$	${\displaystyle {\frac {35\pi }{256}}}$	...	${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}W_{n-2}}$

Последовательность ${\displaystyle (W_{n})}$ уменьшается и имеет положительные значения. Фактически, для всех ${\displaystyle n\geq 0:}$

• ${\displaystyle W_{n}>0,}$ потому что это интеграл неотрицательной непрерывной функции, не равной тождественно нулю;
• ${\displaystyle W_{n}-W_{n+1}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n+1}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\sin ^{n}x)(1-\sin x)\,dx>0,}$ опять же, потому что последний интеграл является неотрицательной функцией.

Поскольку последовательность ${\displaystyle (W_{n})}$ убывает и ограничивается снизу нулем, сходится к неотрицательному пределу. Действительно, предел равен нулю (см. Ниже).

Отношение рецидива

Посредством интеграция по частям, а отношение повторения может быть получен. Используя личность ${\displaystyle \sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x}$у нас есть для всех ${\displaystyle n\geq 2}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\sin ^{n-2}x)(1-\cos ^{2}x)\,dx\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}x\,dx-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}x\cos ^{2}x\,dx.\qquad {\text{Equation (1)}}\end{aligned}}}$

Интегрируя второй интеграл по частям, с:

• ${\displaystyle u'(x)=\cos(x)\sin ^{n-2}(x)}$, чей антипроизводная является ${\displaystyle u(x)={\frac {1}{n-1}}\sin ^{n-1}(x)}$
• ${\displaystyle v(x)=\cos(x)}$, чей производная является ${\displaystyle v'(x)=-\sin(x)}$

у нас есть:

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}x\cos ^{2}x\,dx=\left[{\frac {\sin ^{n-1}x}{n-1}}\cos x\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{n-1}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-1}x\sin x\,dx=0+{\frac {1}{n-1}}W_{n}.}$

Подставляя этот результат в уравнение (1), получаем

${\displaystyle W_{n}=W_{n-2}-{\frac {1}{n-1}}W_{n},}$

и поэтому

${\displaystyle W_{n}={\frac {n-1}{n}}W_{n-2},}$

для всех ${\displaystyle n\geq 2.}$

Это рекуррентное соотношение, дающее ${\displaystyle W_{n}}$ с точки зрения ${\displaystyle W_{n-2}}$. Это вместе со значениями ${\displaystyle W_{0}}$ и ${\displaystyle W_{1},}$ дадут нам два набора формул для членов последовательности ${\displaystyle (W_{n})}$, в зависимости от того, ${\displaystyle n}$ нечетное или четное:

• ${\displaystyle W_{2p}={\frac {2p-1}{2p}}\cdot {\frac {2p-3}{2p-2}}\cdots {\frac {1}{2}}W_{0}={\frac {(2p-1)!!}{(2p)!!}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {(2p)!}{2^{2p}(p!)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}},}$
• ${\displaystyle W_{2p+1}={\frac {2p}{2p+1}}\cdot {\frac {2p-2}{2p-1}}\cdots {\frac {2}{3}}W_{1}={\frac {(2p)!!}{(2p+1)!!}}={\frac {2^{2p}(p!)^{2}}{(2p+1)!}}.}$

Другое отношение для оценки интегралов Уоллиса

Интегралы Уоллиса можно вычислить, используя Интегралы Эйлера:

1. Эйлер интеграл первого вида: the Бета-функция:

   ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$ за Re (Икс), Re (у) > 0

2. Интеграл Эйлера второго рода: the Гамма-функция:

   ${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}$ за Re (z) > 0.

Если мы сделаем следующую замену внутри бета-функции:${\displaystyle \quad \left\{{\begin{matrix}t=\sin ^{2}u\\1-t=\cos ^{2}u\\dt=2\sin u\cos u,\,du\end{matrix}}\right.}$
мы получаем:

${\displaystyle \mathrm {B} (a,b)=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2a-1}u\cos ^{2b-1}u\,du,}$

Таким образом, это дает нам следующее соотношение для вычисления интегралов Уоллиса:

${\displaystyle W_{n}={\frac {1}{2}}\mathrm {B} \left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma \left({\tfrac {n+1}{2}}\right)\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)}{2\,\Gamma \left({\tfrac {n}{2}}+1\right)}}.}$

Итак, для нечетных ${\displaystyle n}$, письмо ${\displaystyle n=2p+1}$, у нас есть:

${\displaystyle W_{2p+1}={\frac {\Gamma \left(p+1\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{2\,\Gamma \left(p+1+{\frac {1}{2}}\right)}}={\frac {p!\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{(2p+1)\,\Gamma \left(p+{\frac {1}{2}}\right)}}={\frac {2^{p}\;p!}{(2p+1)!!}}={\frac {2^{2\,p}\;(p!)^{2}}{(2p+1)!}}}$

тогда как даже ${\displaystyle n}$, письмо ${\displaystyle n=2p}$ и зная, что ${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}})={\sqrt {\pi }}}$, мы получили :

${\displaystyle W_{2p}={\frac {\Gamma \left(p+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{2\,\Gamma \left(p+1\right)}}={\frac {(2p-1)!!\;\pi }{2^{p+1}\;p!}}={\frac {(2p)!}{2^{2\,p}\;(p!)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}.}$

Эквивалентность

• Из приведенной выше формулы повторения ${\displaystyle \mathbf {(2)} }$, мы можем сделать вывод, что

${\displaystyle \ W_{n+1}\sim W_{n}}$ (эквивалентность двух последовательностей).

Действительно, для всех ${\displaystyle n\in \,\mathbb {N} }$ :

${\displaystyle \ W_{n+2}\leqslant W_{n+1}\leqslant W_{n}}$ (так как последовательность убывает)

${\displaystyle {\frac {W_{n+2}}{W_{n}}}\leqslant {\frac {W_{n+1}}{W_{n}}}\leqslant 1}$ (поскольку ${\displaystyle \ W_{n}>0}$)

${\displaystyle {\frac {n+1}{n+2}}\leqslant {\frac {W_{n+1}}{W_{n}}}\leqslant 1}$ (по уравнению ${\displaystyle \mathbf {(2)} }$).

Посредством теорема о сэндвиче, заключаем, что ${\displaystyle {\frac {W_{n+1}}{W_{n}}}\to 1}$, и поэтому ${\displaystyle \ W_{n+1}\sim W_{n}}$.

• Изучая ${\displaystyle W_{n}W_{n+1}}$, получаем следующую эквивалентность:

${\displaystyle W_{n}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2\,n}}}\quad }$ ( и следовательно ${\displaystyle \quad \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt {n}}\,W_{n}={\sqrt {\pi /2}}\quad }$ ).

Доказательство

Для всех ${\displaystyle n\in \,\mathbb {N} }$, позволять ${\displaystyle u_{n}=(n+1)\,W_{n}\,W_{n+1}}$.

Оказывается, что, ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\,u_{n+1}=u_{n}}$ из-за уравнения ${\displaystyle \mathbf {(2)} }$.Другими словами ${\displaystyle \ (u_{n})}$ является константой.

Отсюда следует, что для всех ${\displaystyle n\in \,\mathbb {N} }$,${\displaystyle u_{n}=u_{0}=W_{0}\,W_{1}={\frac {\pi }{2}}}$.

Теперь, поскольку ${\displaystyle \ n+1\sim n}$ и ${\displaystyle \ W_{n+1}\sim W_{n}}$, по правилам произведения эквивалентов имеем ${\displaystyle \ u_{n}\sim n\,W_{n}^{2}}$.

Таким образом, ${\displaystyle \ n\,W_{n}^{2}\sim {\frac {\pi }{2}}}$, откуда следует желаемый результат (учитывая, что ${\displaystyle \ W_{n}>0}$).

Вывод формулы Стирлинга

Предположим, что у нас есть следующая эквивалентность (известная как Формула Стирлинга ):

${\displaystyle n!\sim C{\sqrt {n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n},}$

для некоторой постоянной ${\displaystyle C}$ что мы хотим определить. Сверху у нас есть

${\displaystyle W_{2p}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{4p}}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2{\sqrt {p}}}}}$ (уравнение (3))

Расширение ${\displaystyle W_{2p}}$ и используя приведенную выше формулу для факториалов, мы получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{2p}&={\frac {(2p)!}{2^{2p}(p!)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\\&\sim {\frac {C\left({\frac {2p}{e}}\right)^{2p}{\sqrt {2p}}}{2^{2p}C^{2}\left({\frac {p}{e}}\right)^{2p}\left({\sqrt {p}}\right)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\\&={\frac {\pi }{C{\sqrt {2p}}}}.{\text{ (equation (4))}}\end{aligned}}}$

Из (3) и (4) по транзитивности получаем:

${\displaystyle {\frac {\pi }{C{\sqrt {2p}}}}\sim {\frac {\sqrt {\pi }}{2{\sqrt {p}}}}.}$

Решение для ${\displaystyle C}$ дает ${\displaystyle C={\sqrt {2\pi }}.}$ Другими словами,

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$

Вычисление гауссова интеграла

В Гауссов интеграл можно оценить с помощью интегралов Уоллиса.

Сначала докажем следующие неравенства:

• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \forall u\in \mathbb {R} _{+}\quad u\leqslant n\quad \Rightarrow \quad (1-u/n)^{n}\leqslant e^{-u}}$
• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \forall u\in \mathbb {R} _{+}\qquad e^{-u}\leqslant (1+u/n)^{-n}}$

Фактически, позволяя ${\displaystyle \quad u/n=t}$, первое неравенство (в котором ${\displaystyle t\in [0,1]}$) эквивалентно ${\displaystyle 1-t\leqslant e^{-t}}$; второе неравенство сводится к${\displaystyle e^{-t}\leqslant (1+t)^{-1}}$, который становится ${\displaystyle e^{t}\geqslant 1+t}$Эти два последних неравенства следуют из выпуклости экспоненциальной функции (или из анализа функции ${\displaystyle t\mapsto e^{t}-1-t}$).

Сдача ${\displaystyle u=x^{2}}$ и используя основные свойства несобственных интегралов (сходимость интегралов очевидна), получаем неравенства:

${\displaystyle \int _{0}^{\sqrt {n}}(1-x^{2}/n)^{n}dx\leqslant \int _{0}^{\sqrt {n}}e^{-x^{2}}dx\leqslant \int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}dx\leqslant \int _{0}^{+\infty }(1+x^{2}/n)^{-n}dx}$для использования с теорема о сэндвиче (в качестве ${\displaystyle n\to \infty }$).

Первый и последний интегралы легко вычисляются с помощью интегралов Уоллиса. Пусть для первого интегралы ${\displaystyle x={\sqrt {n}}\,\sin \,t}$(t изменяется от 0 до ${\displaystyle \pi /2}$Тогда интеграл принимает вид ${\displaystyle {\sqrt {n}}\,W_{2n+1}}$.Для последнего интеграла положим ${\displaystyle x={\sqrt {n}}\,\tan \,t}$(t варьируется от ${\displaystyle 0}$ к ${\displaystyle \pi /2}$), Тогда он становится ${\displaystyle {\sqrt {n}}\,W_{2n-2}}$.

Как мы показали ранее,${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt {n}}\;W_{n}={\sqrt {\pi /2}}}$. Отсюда следует, что${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}/2}$.

Замечание: Существуют и другие методы вычисления интеграла Гаусса, некоторые из них более прямой.

Примечание

Те же свойства приводят к Уоллис продукт, который выражает ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\,}$(видеть ${\displaystyle \pi }$ ) в виде бесконечный продукт.

внешняя ссылка

• Паскаль Себа и Ксавье Гурдон. Введение в гамма-функцию. В PostScript и HTML форматы.