Урэлемент - Urelement

В теория множеств, филиал математика, урэлемент или ur-элемент (от Немецкий приставка ур-, 'изначальный') - это объект, не являющийся набор, но это может быть элемент комплекта. Мочевики иногда называют «атомами» или «индивидуумами».

Теория

Существует несколько различных, но по сути эквивалентных способов лечения мочеточников в теория первого порядка.

Один из способов - работать в теории первого порядка с двумя видами, наборами и элементами, с а ∈ б определяется только когда б это набор. В этом случае, если U это урэлемент, нет смысла говорить , несмотря на то что совершенно законно.

Другой способ - работать в односортированный теория с унарное отношение используется для различения наборов и урэлементов. Поскольку непустые множества содержат члены, а урэлементы - нет, унарное отношение необходимо только для того, чтобы отличать пустой набор от урэлементов. Обратите внимание, что в этом случае аксиома протяженности должны быть сформулированы так, чтобы применяться только к объектам, которые не являются мочевыми элементами.

Эта ситуация аналогична трактовке теорий множеств и классы. Действительно, мочеточники в некотором смысле двойственны правильные классы: urelements не может иметь членов, тогда как соответствующие классы не могут быть членами. Иными словами, мочеточники минимальный объекты, в то время как собственные классы являются максимальными объектами по отношению принадлежности (которое, конечно, не является отношением порядка, поэтому эту аналогию не следует понимать буквально).

Урэлементы в теории множеств

В Теория множеств Цермело 1908 г. включал мочевые элементы, и, следовательно, это версия, которую мы теперь называем ZFA или ZFCA (то есть ZFA с аксиома выбора ).[1] Вскоре стало понятно, что в контексте этого и тесно связанных аксиоматические теории множеств, мочевые элементы не понадобились, потому что их можно легко смоделировать в теории множеств без мочевых элементов.[2] Таким образом, стандартные изложения канонической аксиоматические теории множеств ZF и ZFC не упоминайте мочеточники. (В качестве исключения см. Suppes.[3]) Аксиоматизации теории множеств, которые действительно вызывают определенные элементы, включают Теория множеств Крипке – Платека с элементарными элементами., и вариант Теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя. описан Мендельсоном.[4] В теория типов, объект типа 0 можно назвать урэлементом; отсюда и название «атом».

Добавление мурэлементов в систему Новые основы (NF) для производства NFU имеет удивительные последствия. В частности, Дженсен доказал[5] то последовательность НФУ относительно Арифметика Пеано; Между тем, непротиворечивость NF относительно чего-либо остается открытой проблемой до проверки доказательства Холмса его непротиворечивости относительно ZF. Более того, НФУ остается относительно последовательный при добавлении аксиома бесконечности и аксиома выбора. Между тем отрицание аксиомы выбора, как ни странно, является теоремой НФ. Холмс (1998) считает эти факты доказательством того, что НФУ является более успешным фондом для математики, чем НФ. Холмс далее утверждает, что теория множеств более естественна с элементами, чем без них, поскольку мы можем принимать в качестве элементов объекты любой теории или физического мира. вселенная.[6] В финитистская теория множеств элементы сопоставляются с компонентами самого нижнего уровня целевого явления, такими как атомарные составляющие физического объекта или членов организации.

Атомы хайна

Альтернативный подход к urelements состоит в том, чтобы рассматривать их, а не как тип объекта, отличный от множеств, как особый тип множества. Атомы хайна (названный в честь Уиллард Ван Орман Куайн ) - это множества, которые содержат только себя, то есть множества, удовлетворяющие формуле Икс = {Икс}.[7]

Атомы хайна не могут существовать в системах теории множеств, включающих аксиома регулярности, но они могут существовать в необоснованная теория множеств. Теория множеств ZF без аксиомы регулярности не может доказать, что существуют какие-либо необоснованные множества (или, скорее, это означало бы, что ZF несовместима), но она совместима с существованием атомов Куайна. Антиосновная аксиома Акзеля подразумевает, что существует уникальный атом Куайна. Другие необоснованные теории могут допускать наличие множества отдельных атомов Куайна; на противоположном конце спектра лежит Боффовский аксиома сверхуниверсальности, что означает, что отдельные атомы Куайна образуют правильный класс.[8]

Атомы хайна также встречаются у Куайна. Новые основы, что позволяет иметь более одного такого набора.[9]

Атомы хайна - единственные наборы, называемые рефлексивные множества от Питер Акзель,[8] хотя другие авторы, например Джон Барвайз и Лоуренс Мосс используют последний термин для обозначения более широкого класса множеств со свойством Икс ∈ Икс.[10]

использованная литература

  1. ^ Декстер Чуа и др .: ZFA: теория множеств Цермело – Френкеля с атомами, на: ncatlab.org: nLab, исправлено 16 июля 2016 г.
  2. ^ Jech, Thomas J. (1973). Аксиома выбора. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publ. п.45. ISBN  0486466248.
  3. ^ Суппес, Патрик (1972). Аксиоматическая теория множеств ([Ed. Corr. Et augm. Du texte paru en 1960]. Ed.). Нью-Йорк: Dover Publ. ISBN  0486616304. Получено 17 сентября 2012.
  4. ^ Мендельсон, Эллиотт (1997). Введение в математическую логику (4-е изд.). Лондон: Чепмен и Холл. С. 297–304. ISBN  978-0412808302. Получено 17 сентября 2012.
  5. ^ Йенсен, Рональд Бьёрн (Декабрь 1968 г.). "О непротиворечивости небольшой (?) Модификации новых основ Куайна"'". Синтез. Springer. 19 (1/2): 250–264. Дои:10.1007 / bf00568059. ISSN  0039-7857. JSTOR  20114640.
  6. ^ Холмс, Рэндалл, 1998. Элементарная теория множеств с универсальным множеством. Academia-Bruylant.
  7. ^ Томас Форстер (2003). Логика, индукция и множества. Издательство Кембриджского университета. п. 199. ISBN  978-0-521-53361-4.
  8. ^ а б Aczel, Питер (1988), Необоснованные наборы, Лекционные заметки CSLI, 14, Стэнфордский университет, Центр изучения языка и информации, стр.57, ISBN  0-937073-22-9, Г-Н  0940014, получено 2016-10-17
  9. ^ Барвайз, Джон; Мосс, Лоуренс С. (1996), Замкнутые круги. О математике необоснованных явлений, Лекционные заметки CSLI, 60, Публикации CSLI, стр. 306, г. ISBN  1575860090
  10. ^ Барвайз, Джон; Мосс, Лоуренс С. (1996), Замкнутые круги. О математике необоснованных явлений, Лекционные заметки CSLI, 60, Публикации CSLI, стр. 57, ISBN  1575860090

внешние ссылки