Финитистская теория множеств - Finitist set theory

Конечная теория множеств (FST)^[1] теория коллекций, предназначенная для моделирования конечных вложенных структур отдельных лиц и множества переходный и антитранзитивный цепочки связи между людьми. В отличие от классических установить теории Такие как ZFC и КПУ, FST не предназначен для использования в качестве основы математики, а только как инструмент в онтологическое моделирование. FST функционирует как логическая основа классической интерпретации слоеного пирога,^[2] и ему удается включить большую часть функций дискретная мереология.

Модели FST относятся к типу ${\displaystyle \{U_{\alpha },S_{\beta },\in \}}$, сокращенно ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\alpha ,\beta }}$. ${\displaystyle U_{\alpha }}$ это коллекция ur-элементов модели ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\alpha ,\beta }}$. Ур-элементы (урс) - неделимые примитивы. Присваивая конечное целое число, такое как 2, в качестве значения ${\displaystyle \alpha }$, установлено, что ${\displaystyle U_{\alpha }}$ содержит ровно 2 урс. ${\displaystyle S_{\beta }}$ - это коллекция, элементы которой мы будем называть наборами. ${\displaystyle \beta \geq 0}$ является конечным целым числом, которое обозначает максимальный ранг (уровень вложенности) множеств в ${\displaystyle S_{\beta }}$. Каждый набор в ${\displaystyle S_{\beta }}$ имеет в качестве членов один или несколько наборов, urs или обоих. Назначенный ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ и применяемые аксиомы фиксируют содержание ${\displaystyle U_{\alpha }}$ и ${\displaystyle S_{\beta }}$. Чтобы облегчить использование языка, такие выражения, как "наборы, которые являются элементами ${\displaystyle S_{\beta }}$ модели ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\alpha ,\beta }}$ и урс, которые являются элементами ${\displaystyle U_{\alpha }}$ модели ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\alpha ,\beta }}$сокращенно "наборы" и "urs", которые являются элементами ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\alpha ,\beta }}$".

Формальная разработка FST соответствует его предназначенной функции в качестве инструмента онтологического моделирования. Задача инженера, применяющего FST, - выбрать аксиомы которые дают модель, которая однозначно коррелирует с целевым доменом, который должен быть смоделирован с помощью FST, например, диапазон химические соединения или же социальные конструкции которые встречаются в природе. Целевая область дает инженеру интуитивное представление о содержании модели FST, которая должна быть один-один коррелированный с этим. FST обеспечивает основу, которая облегчает выбор конкретных аксиом, которые дают корреляцию один-один. Аксиомы протяженность и ограничения постулируются во всех версиях FST, но аксиомы построения множеств (аксиомы вложенности и аксиомы объединения) различаются; присвоение конечных целых значений ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ неявно присутствует в выбранных аксиомах построения множества.

Таким образом, FST является не единственной теорией, а названием семейства теорий или версий FST, где каждая версия имеет свой собственный набор конструктивных аксиом и уникальную модель. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\alpha ,\beta }}$, имеющий конечную мощность и все его множества имеют конечное классифицировать и мощность. Аксиомы FST сформулированы логика первого порядка дополнен членом отношения ${\displaystyle \in }$. Все версии FST - теории первого порядка. В аксиомах и определениях символы ${\displaystyle x,y,z,v,w}$ - переменные для множеств, ${\displaystyle r,s,t}$ являются переменными как для множеств, так и для urs, ${\displaystyle u}$ переменная для urs, а ${\displaystyle a,b,c,d}$ обозначают индивидуальные урны модели. Символы urs могут появляться только с левой стороны ${\displaystyle \in }$. Символы наборов могут появляться на обоих ${\displaystyle u\in y}$.

Применяемая модель FST всегда является минимальной моделью, удовлетворяющей применяемым аксиомам. Это гарантирует, что в прикладной модели существуют те и только те элементы, которые явно сконструированы выбранными аксиомами: существуют только те urs, о существовании которых заявлено путем присвоения их числа, и существуют только те множества, которые построены с помощью выбранных аксиом; кроме них не существует других элементов. Эта интерпретация необходима для типичных аксиом FST, которые генерируют, например, ровно один комплект ${\displaystyle \{a\}}$ не исключайте иначе наборы, такие как ${\displaystyle \{\{a\}\},\{\{\{a\}\}\},\ldots \,.}$

Полные модели FST

Полные модели FST содержат все перестановки множеств и urs в пределах ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$. Аксиомы для полных моделей FST - это расширяемость, ограничение, одноэлементные множества и объединение множеств. Расширяемость и ограничение являются аксиомами всех версий FST, тогда как аксиома для одноэлементных множеств - это временная аксиома вложенности (${\displaystyle \Gamma }$-аксиома), а аксиома объединения множеств является временной аксиомой объединения (${\displaystyle \cup }$-аксиома).

• Топор. Расширяемость: ${\displaystyle \forall r(r\in x\leftrightarrow r\in y)\leftrightarrow x=y}$. Набор ${\displaystyle x}$ идентичен набору ${\displaystyle y}$ если и только если) ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ имеют одинаковые элементы, это могут быть наборы, urs или и то, и другое.
• Топор. Ограничение: ${\displaystyle \forall x\exists r(r\in x)}$. Каждый набор имеет либо набор, либо ur в качестве члена. Пустой набор ${\displaystyle \{\}}$ не имеет членов, поэтому не существует такой вещи, как ${\displaystyle \{\}}$ в FST. Урс - единственные ${\displaystyle \in }$-минимальные элементы в FST. Каждый набор FST содержит по крайней мере один ur как ${\displaystyle \in }$-минимальный член внизу.
• Топор. Одноэлементные наборы: ${\displaystyle \forall r_{<\beta }\exists x\forall s(s=r\leftrightarrow s\in x)}$. Для каждого ур и набора ${\displaystyle r}$ который имеет ранг меньше, чем ${\displaystyle \beta }$, существует одноэлементное множество ${\displaystyle x=\{r\}}$. Ограничение ранга (${\displaystyle r_{<\beta }}$) в аксиоме выполняет работу аксиомы, лежащей в основе традиционных теорий множеств: ограничение ранга множеств заданным конечным ${\displaystyle \beta }$ влечет за собой отсутствие необоснованных множеств, поскольку такие множества имели бы трансфинитный ранг. Учитывая урс ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ в ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2,1}}$, аксиома одноэлементных наборов порождает только наборы ${\displaystyle \{a\}}$ и ${\displaystyle \{b\}}$, тогда как аксиома спаривания традиционных теорий множеств порождает ${\displaystyle \{a\}}$, ${\displaystyle \{b\}}$ и ${\displaystyle \{a,b\}}$.
• Топор. Союз множеств: ${\displaystyle \forall x\forall y\exists z\forall r((r\in x\lor r\in y)\leftrightarrow r\in z)}$. Для всех комплектов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, существует множество ${\displaystyle z}$ который содержит в качестве членов все те и только те наборы и urs, которые являются членами ${\displaystyle x}$, Члены ${\displaystyle y}$, или члены обоих ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$. Например, если установлено ${\displaystyle \{a\}}$ и ${\displaystyle \{b\}}$ существуют, аксиома объединения множеств утверждает, что множество ${\displaystyle \{a,b\}}$ существуют. Если устанавливает ${\displaystyle \{a,b\}}$ и ${\displaystyle \{b,c\}}$ существуют, аксиома утверждает, что ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ существуют. Если ${\displaystyle \{a\}}$ и ${\displaystyle \{\{b\}\}}$ существуют, аксиома утверждает, что ${\displaystyle \{a,\{b\}\}}$ существуют. Эта аксиома отличается от аксиомы объединения традиционных теорий множеств.^[3]

Полные модели FST ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\alpha ,\beta }}$ содержат все перестановки множеств и urs в пределах заданного ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$. Мощность ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\alpha ,\beta }}$ это количество наборов и урс ${\displaystyle sets(\alpha ,\beta )+\alpha }$.Рассмотрим несколько примеров.

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,0}}$: Один ур ${\displaystyle a}$ существуют. ${\displaystyle card({\mathcal {M}}_{1,0})=sets(1,0)+1=0+1=1}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2,0}}$: Два урса ${\displaystyle a,b}$ существовать. ${\displaystyle card({\mathcal {M}}_{2,0})=sets(2,0)+2=0+2=2.}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$: Один ур ${\displaystyle a}$ и набор ${\displaystyle \{a\}}$ существовать. ${\displaystyle card({\mathcal {M}}_{1,0})=sets(\alpha ,\beta )+\alpha =sets(1,1)+1=1+1=2.}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2,1}}$: Два урса ${\displaystyle a,b}$ и устанавливает ${\displaystyle \{a\}}$, ${\displaystyle \{b\}}$, ${\displaystyle \{a,b\}}$ существовать. ${\displaystyle card({\mathcal {M}}_{2,1})=sets(2,1)+2=3+2=5.}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,2}}$: Один ур ${\displaystyle a}$ и устанавливает ${\displaystyle \{a\}}$, ${\displaystyle \{\{a\}\}}$, ${\displaystyle \{a,\{a\}\}}$ существовать. ${\displaystyle card({\mathcal {M}}_{1,2})=sets(1,2)+1=3+1=4.}$

Рекурсивная формула ${\displaystyle sets(\alpha ,\beta )}$ дает количество наборов в ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\alpha ,\beta }}$:

${\displaystyle sets(\alpha ,0)=0.}$

${\displaystyle sets(\alpha ,1)=2^{\alpha }-1.}$

${\displaystyle sets(\alpha ,\beta )=2^{\alpha +sets(\alpha ,\beta -1)}-1.}$

В ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2,2}}$ Существуют ${\displaystyle sets(2,2)=2^{2+sets(2,1)}-1=2^{2+3}-1=31}$ наборы.

В ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{2,3}}$ Существуют ${\displaystyle sets(2,3)=2^{2+31}-1=2^{33}-1}$ наборы.

Определения FST

Определения FST следует понимать как практические соглашения об именах, которые используются для утверждения, что элементы прикладной модели FST связаны или не взаимосвязаны определенным образом. Определения не следует рассматривать как аксиомы: только аксиомы влекут за собой существование элементов модели FST, а не определения. Во избежание конфликтов (особенно с аксиомами для неполных моделей FST) определения должны быть подчинены применяемым аксиомам с заданными ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$. Чтобы проиллюстрировать кажущийся конфликт, предположим, что ${\displaystyle \{a,b\}}$ и ${\displaystyle \{b,c\}}$ являются единственными наборами применяемой модели. Определение пересечения гласит, что ${\displaystyle \{a,b\}\cap \{b,c\}=\{b\}}$. В качестве ${\displaystyle \{b\}}$ не существует в прикладной модели, определение пересечения может показаться аксиомой. Однако это только очевидно, поскольку ${\displaystyle \{b\}}$ не обязательно существовать, чтобы утверждать, что единственный общий элемент ${\displaystyle \{a,b\}}$ и ${\displaystyle \{b,c\}}$ является ${\displaystyle b}$, которая является функцией определения пересечения. Аналогично со всеми определениями.

• Def. Классифицировать. Ранг набора является формальным аналогом уровня индивида. Это звание набора ${\displaystyle x}$ является ${\displaystyle n}$, записывается как ${\displaystyle {\rm {rank}}(x)=n}$, и сокращенно ${\displaystyle x_{\beta }}$ в некоторых аксиомах вложенности. По соглашению, ранг ur-элемента равен 0. Поскольку в FST нет пустого множества, наименьший возможный ранг набора FST равен 1, тогда как в традиционных теориях множеств ранг {} равен 0. ранг набора ${\displaystyle z}$ определяется как самый высокий уровень вложенности из всех ${\displaystyle \in }$-минимальные элементы ${\displaystyle z}$. Ранг ${\displaystyle \{a\}}$ равно 1, так как уровень вложенности ${\displaystyle a}$ в ${\displaystyle \{a\}}$ равно 1. Ранг ${\displaystyle \{\{a\}\}}$ равно 2, так как ${\displaystyle a}$ вложен двумя концентрическими наборами. Ранг ${\displaystyle \{\{a\},a\}}$ равно 2, так как 2 - это самый высокий уровень вложенности из всех ${\displaystyle \in }$-минимальные элементы ${\displaystyle \{\{a\},a\}}$. Ранг ${\displaystyle \{\{\{a\}\}\}}$ 3, ранг ${\displaystyle \{\{\{\{a\}\}\}\}}$ равно 4 и так далее. Формально:

${\displaystyle {\rm {rank}}(s)=0\leftrightarrow s}$ это ур-элемент.

${\displaystyle {\rm {rank}}(s)\geq n}$, куда ${\displaystyle n\geq 1}$, определяется как: ${\displaystyle \exists s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}(s_{1}\in s_{2}\in \ldots \in s_{n}\in s).}$

${\displaystyle {\rm {rank}}(s)=n}$, куда ${\displaystyle n\geq 1}$, определяется как: ${\displaystyle {\rm {rank}}(s)\geq n\land \lnot ({\rm {rank}}(s)\geq n+1).}$

Применяя определение ${\displaystyle n}$-член (ниже) ранг можно определить как:

${\displaystyle {\rm {rank}}(s)=0\leftrightarrow s}$ это ур-элемент.

${\displaystyle {\rm {rank}}(r)=n}$, определяется как ${\displaystyle \exists a(a\in _{n}x)\land \not \exists a(a\in _{n+1}x).}$

• Def. Подмножество: ${\displaystyle \forall r(r\in x\rightarrow r\in y)}$, обозначается как ${\displaystyle x\subseteq y}$. ${\displaystyle x}$ это подмножество ${\displaystyle y}$ если и только каждый член ${\displaystyle x}$ является членом ${\displaystyle y}$. Примеры: ${\displaystyle \{a\}\subseteq \{a\}}$; ${\displaystyle \{a,b\}\subseteq \{a,b,c\}}$. Который ${\displaystyle x}$ не является частью ${\displaystyle y}$ записывается как ${\displaystyle x\not \subseteq y}$. Примеры: ${\displaystyle \{a\}\not \subseteq \{b\}}$; ${\displaystyle \{a,b\}\not \subseteq \{b,c\}}$. За счет исключения пустого множества ${\displaystyle \{\}}$, в FST ${\displaystyle x\subseteq y}$ означает, что все члены ${\displaystyle x}$ являются членами ${\displaystyle y}$, и существует хотя бы один член в ${\displaystyle x}$ и по крайней мере один член в ${\displaystyle y}$. В традиционных теориях множеств, где ${\displaystyle \{\}}$ существовать, ${\displaystyle x\subseteq y}$ Значит это ${\displaystyle x}$ не имеет членов, которые { it не} являются членами ${\displaystyle y}$. Следовательно, в традиционных теориях множеств ${\displaystyle \{\}\subseteq y}$ справедливо для каждого ${\displaystyle y}$.

• Def. Правильное подмножество: ${\displaystyle x\subseteq y\land y\not \subseteq x,}$ обозначается как ${\displaystyle x\subset y}$. ${\displaystyle x}$ является собственным подмножеством ${\displaystyle y}$ если только ${\displaystyle x}$ это подмножество ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle y}$ не является частью ${\displaystyle x}$. Примеры: ${\displaystyle \{a\}\subset \{a,b\}}$; ${\displaystyle \{a,b\}\subset \{a,b,c\}}$. Который ${\displaystyle x}$ не является правильным подмножеством ${\displaystyle y}$ записывается как ${\displaystyle x\not \subset y}$. Примеры: ${\displaystyle \{a\}\not \subset \{a\}}$; ${\displaystyle \{a,b,c\}\not \subset \{a,b\}}$. В FST, ${\displaystyle x\subset y}$ означает, что все члены ${\displaystyle x}$ являются членами ${\displaystyle y}$, есть хотя бы один член в ${\displaystyle x}$, минимум два члена в ${\displaystyle y}$, и хотя бы один член ${\displaystyle y}$ не является членом ${\displaystyle x}$. В традиционных теориях множеств ${\displaystyle x\subset y}$ Значит это ${\displaystyle x}$ не имеет членов, которые { it не} являются членами ${\displaystyle y}$, и ${\displaystyle y}$ имеет по крайней мере один член, который не является членом ${\displaystyle x}$. Следовательно, в традиционных теориях множеств ${\displaystyle \{\}\subset y}$ справедливо для каждого ${\displaystyle y}$ куда ${\displaystyle y\neq \{\}}$.
  

• Def. Несвязанность: ${\displaystyle \not \exists r(r\in x\land r\in y),}$ обозначается как ${\displaystyle x\wr y}$. ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ непересекаются, если у них нет общих членов. Примеры: ${\displaystyle \{a\}\wr \{b\}}$ (когда ${\displaystyle a\neq b}$); ${\displaystyle \{a\}\wr \{\{a\}\}}$.
  

• Def. Перекрывать: ${\displaystyle \exists r(r\in x\land r\in y),}$ обозначается как ${\displaystyle x\circ y}$. ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ перекрываются, если у них есть один или несколько общих членов. Примеры: ${\displaystyle \{a\}\circ \{a\}}$; ${\displaystyle \{a,b\}\circ \{b,c\}}$. Непересекаемость противоположна перекрытию: ${\displaystyle x\circ y\leftrightarrow \lnot (x\wr y)}$; ${\displaystyle \lnot (x\circ y)\leftrightarrow x\wr y}$.
  

• Def. Пересечение: ${\displaystyle \forall r((r\in x\land r\in y)\leftrightarrow r\in z),}$ обозначается как ${\displaystyle z=x\cap y}$. Пересечение ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z=x\cap y}$, содержит те и только те наборы и ur-элементы, которые являются членами обоих ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$. Примеры: ${\displaystyle \{a\}\cap \{a\}=\{a\}}$; ${\displaystyle \{a,b,c\}\cap \{b,c,d\}=\{b,c\}}$. Поскольку пустое множество не существует в FST, пересечение двух непересекающихся множеств не существует. Когда ${\displaystyle r\neq s}$, ${\displaystyle \{r\}\cap \{s\}=y}$ не верно ни для одного ${\displaystyle y}$. В этом случае отношение дизъюнктности ${\displaystyle \wr }$ может быть использован: ${\displaystyle \{r\}\wr \{s\}}$. В традиционных теориях множеств пересечение двух непересекающихся множеств { it} пустое множество: ${\displaystyle \{a\}\cap \{b\}=\{\}}$. Если бы аксиома ограничения была удалена и постулировалось существование пустого множества, это все равно не означало бы, что пустое множество { it является} пересечением двух непересекающихся множеств.
  

• Def. Союз: ${\displaystyle \forall r((r\in x\lor r\in y)\leftrightarrow r\in z),}$ обозначается как ${\displaystyle z=x\cup y}$. Набор ${\displaystyle z}$ содержит в качестве членов все те наборы и ur-элементы, которые являются членами ${\displaystyle x}$, Члены ${\displaystyle y}$, или члены обоих ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$. Примеры: ${\displaystyle \{a\}\cup \{a\}=\{a\}}$; ${\displaystyle \{a,b\}\cup \{b,c\}=\{a,b,c\}}$; ${\displaystyle \{a\}\cup \{\{b\}\}=\{a,\{b\}\}}$.
  

• Теорема о слабом дополнении: ${\displaystyle x\subset y\rightarrow \exists z(z\subset y\land z\wr x).}$ ^[4] Слабое дополнение (WS) означает, что правильное подмножество ${\displaystyle x}$ из ${\displaystyle y}$ не весь ${\displaystyle y}$, но должно быть дополнено другим подмножеством ${\displaystyle z}$ сочинять ${\displaystyle y}$, куда ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle x}$ не пересекаются. В FST, когда ${\displaystyle x}$ является собственным подмножеством ${\displaystyle y}$, тогда ${\displaystyle y}$ есть другое подмножество ${\displaystyle z}$ это не пересекается с ${\displaystyle x}$. Например, ${\displaystyle \{a\}\subset \{a,b\}\rightarrow (\{b\}\subset \{a,b\}\land \{b\}\wr \{a\})}$ верно во всех моделях FST, содержащих множество ${\displaystyle \{a,b\}}$.

• Def. Разница: ${\displaystyle \forall r(r\in z\leftrightarrow (r\in x\land r\notin y)),}$ обозначается как ${\displaystyle z=x\setminus y.}$ Разница ${\displaystyle z}$ из ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ содержит каждого члена ${\displaystyle x}$ который не является членом ${\displaystyle y}$. Примеры: ${\displaystyle \{a\}\setminus \{b\}=\{a\}}$; ${\displaystyle \{a,b,c\}\setminus \{a,b\}=\{c\}}$. Поскольку пустого множества не существует, нельзя сказать, что ${\displaystyle \{x\}\setminus \{x\}=\{\}}$. Если ${\displaystyle x}$ это подмножество ${\displaystyle y}$, не существует ${\displaystyle z}$ такой, что ${\displaystyle z=x\setminus y}$: ${\displaystyle \forall x,y(x\subseteq y\leftrightarrow \not \exists z(z=x\setminus y)).}$
  

• Def. Мощность. Мощность обозначает количество членов набора. Мощность определяется только для множеств: ur-элементы не имеют мощности. Мощность ${\displaystyle \{r\}}$ равно 1, независимо от того, ${\displaystyle r}$ это набор или ур-элемент. Наименьшая возможная мощность множества FST равна 1, тогда как в традиционных теориях множеств мощность ${\displaystyle \{\}}$ равно 0. ${\displaystyle {\rm {card}}(x)=n}$ означает, что мощность множества ${\displaystyle x}$ является ${\displaystyle n}$. Например. ${\displaystyle {\rm {card}}(\{y,z\})=2}$, ${\displaystyle {\rm {card}}(\{x,y,\{z\}\})=3}$, ${\displaystyle {\rm {card}}(\{x,\{x\},\{\{x\}\}\})=3}$, и ${\displaystyle {\rm {card}}(\{x,y,z,w\})=4}$.
  

${\displaystyle {\rm {card}}(x)=1}$ определяется как: ${\displaystyle \exists s(s\in x\land \forall r(r\in x\leftrightarrow r=s)).}$

${\displaystyle {\rm {card}}(x)\geq n}$, куда ${\displaystyle n\geq 2}$, определяется как: ${\displaystyle \exists s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n}((\bigwedge _{k=1}^{n}s_{k}\in x)\land \bigwedge _{a=1}^{n-1}\bigwedge _{b=a+1}^{n}s_{a}\neq s_{b}).}$

${\displaystyle {\rm {card}}(x)=n}$, куда ${\displaystyle n\geq 2}$ определяется как: ${\displaystyle {\rm {card}}(x)\geq n\land \lnot ({\rm {card}}(x)\geq n+1).}$

• Def. Набор мощности: ${\displaystyle \forall z(z\in y\leftrightarrow z\subseteq x),}$ обозначается как ${\displaystyle y=P(x)}$. Примеры: ${\displaystyle P(\{r\})=\{\{r\}\}}$; ${\displaystyle P(\{r,s\})=\{\{r\},\{s\},\{r,s\}\}}$. Наборы мощности в FST не содержат пустого набора, и поэтому ${\displaystyle {\rm {card}}(P(x))=2^{{\rm {card}}(x)}-1}$. В FST набор мощности не требуется в строительных наборах, тогда как, например, в теории множеств ZF аксиома мощного множества играет важную роль в построении иерархических трансфинитных множеств. В наборах мощности ZF содержится пустой набор, например как в ${\displaystyle P(\{y,x\})=\{\{\},\{y\},\{z\},\{y,z\}\}}$, что делает ${\displaystyle {\rm {card}}(P(x))=2^{{\rm {card}}(x)}}$.
  

• Def. n-элемент и уровень раздела:
  

${\displaystyle r\in _{1}x}$ определяется как ${\displaystyle r\in x}$.

${\displaystyle r\in _{2}x}$ определяется как ${\displaystyle \exists y(r\in y\in x)}$.

${\displaystyle r\in _{n}x}$, куда ${\displaystyle n\geq 2}$, определяется как ${\displaystyle \exists y(r\in _{n-1}y\in x)}$.

Который ${\displaystyle r\in _{1}x}$ можно констатировать, сказав, что ${\displaystyle r}$ существует в первый уровень раздела из ${\displaystyle x}$. Который ${\displaystyle r\in _{2}x}$ можно констатировать, сказав, что ${\displaystyle r}$ существует на втором уровне раздела ${\displaystyle x}$. И так далее. ^[5]

• Def. ${\displaystyle [n\,m]}$ Члены.
  

${\displaystyle r\in _{[n\,m]}x}$, куда ${\displaystyle n\leq m}$, определяется как: ${\displaystyle r\in _{n}x\lor r\in _{n+1}x\lor r\in _{n+2}x\lor \ldots \lor r\in _{m}x}$.

${\displaystyle r}$ является ${\displaystyle n}$-к-${\displaystyle m}$ член ${\displaystyle x}$ когда ${\displaystyle r}$ является членом ${\displaystyle x}$ или n + 1 член ${\displaystyle x}$ или ldots или ${\displaystyle m}$-член ${\displaystyle x}$.

• Def. Набор перегородок. Набор разделов, содержащий все ${\displaystyle n}$-Члены набора определяются как:

${\displaystyle partition_{1}(x)=x}$.

${\displaystyle partition_{2}(x)=y}$ определяется как: ${\displaystyle \forall r(r\in _{2}x\leftrightarrow r\in y)}$.

${\displaystyle partition_{n}(x)=y}$ определяется как: ${\displaystyle \forall r(r\in _{n}x\leftrightarrow r\in y)}$.

• Def. Переходное закрытие: ${\displaystyle \forall r(r\in _{[1\,rank(x)]}x\leftrightarrow r\in y)}$, обозначенный как ${\displaystyle y=Tc(x)}$. ${\displaystyle y=Tc(x)}$ означает, что набор ${\displaystyle y}$ - транзитивное замыкание множества ${\displaystyle x}$. ${\displaystyle y}$ содержит все наборы и ur-элементы входного набора ${\displaystyle x}$, т.е. вся внутренняя структура ${\displaystyle x}$. Примеры:

${\displaystyle Tc(\{\{a,b\}\})=\{a,b,\{a,b\}\}.}$

${\displaystyle Tc(\{\{\{a\}\}\})=\{a,\{a\},\{\{a\}\}\}.}$

${\displaystyle Tc(\{a,\{a\}\})=\{a,\{a\}\}.}$

Определения, включающие функциональность дискретной мереологии

Как переходные теории, Мереология и Булева алгебра не могут моделировать вложенные структуры. Поэтому разумно использовать FST или другую непереходную теорию в качестве первичной при моделировании вложенных структур. Однако также функциональность транзитивных теорий находит применение при моделировании вложенных структур. Большая часть функциональных возможностей дискретной мереологии (DM) может быть включена в FST в терминах отношений, которые имитируют отношения DM.

DM работает с бесструктурными агрегатами, такими как ${\displaystyle ab}$ который состоит из урс ${\displaystyle a,b}$, и ${\displaystyle abcd}$ который состоит из урс ${\displaystyle a,b,c,d}$. DM ${\displaystyle \preceq }$ и другие отношения, определенные в терминах ${\displaystyle \preceq }$ охарактеризовать отношения между агрегатами, например, в ${\displaystyle ab\preceq abcd}$ и ${\displaystyle ad\preceq abcd}$. Даны аксиоматизация DM и некоторые определения; некоторые определения начинаются с префикса ${\displaystyle m}$ чтобы отличить их от определений FST с такими же названиями.

• топор. протяженность ${\displaystyle x=y\leftrightarrow \forall w(w\preceq x\leftrightarrow w\preceq y)}$.
• топор. рефлексивность ${\displaystyle \forall x(x\preceq x).}$
• топор. транзитивность: ${\displaystyle \forall x,y,z(x\preceq y\preceq z\rightarrow x\preceq z).}$
• деф. правильная часть: ${\displaystyle x\preceq y\land y\not \preceq x,}$ обозначается как ${\displaystyle x\prec y}$.
• деф. ur-элемент: ${\displaystyle \not \exists x(x\prec y),}$ обозначается как ${\displaystyle ur(y)}$.
• топор. дискретность: ${\displaystyle \forall x\exists y(ur(y)\land y\preceq x).}$
• деф. м-перекрытие: ${\displaystyle \exists z(z\preceq x\land z\preceq y),}$ обозначается как ${\displaystyle x\odot y}$.
• деф. м-дизъюнктность: ${\displaystyle \not \exists z(z\preceq x\land z\preceq y),}$ обозначается как ${\displaystyle x}$ Ø ${\displaystyle y}$.
• деф. м-перекресток: ${\displaystyle \forall w((w\preceq x\land w\preceq y)\leftrightarrow w\preceq z),}$ обозначается как ${\displaystyle z=x\otimes y}$.
• деф. м-союз: ${\displaystyle y\preceq z\land x\preceq z\land \forall w((y\preceq w\land x\preceq w)\rightarrow z\preceq w),}$ обозначается как ${\displaystyle z=x\oplus y}$.
• деф. m-разница: ${\displaystyle \forall w(w\preceq z\leftrightarrow (w\preceq x\land w\not \preceq y)),}$ обозначается как ${\displaystyle z=x\ominus y}$.

Большая часть функциональных возможностей DM может быть включена в FST путем определения отношения, аналогичного примитиву DM ${\displaystyle \preceq }$ с точки зрения членства в ФСТ. Хотя идентичный символ '${\displaystyle \preceq }$'используется с DM, и цель состоит в том, чтобы имитировать функциональность DM, FST ${\displaystyle \preceq }$ может удерживаться только между элементами модели FST, т. е. к применяемым моделям FST ничего не добавляется. Как всегда, переменные ${\displaystyle x,y,z,w}$ обозначим FST-множества и ${\displaystyle u}$ обозначает ur-элемент.

Основная идея состоит в том, что членство и Основные отношения FST определены с точки зрения членства, являются структурными, тогда как FST ${\displaystyle \preceq }$ и отношения, определенные в терминах ${\displaystyle \preceq }$ находятся структурно-независимый или же структурно нейтральный. Который ${\displaystyle \in }$ и ${\displaystyle \subset }$ являются структурными, это означает, что они чувствительны к вложенным структурам множеств: когда известно, что ${\displaystyle u\in y}$ известно, что ${\displaystyle u}$ является членом ${\displaystyle y}$ и существует на первом уровне раздела ${\displaystyle y}$, и когда известно, что ${\displaystyle x\subseteq y}$ известно, что все члены ${\displaystyle x}$ являются членами ${\displaystyle y}$ и существует на первом уровне раздела ${\displaystyle y}$. Напротив, когда известно, например, который ${\displaystyle u\preceq y}$ верно, неизвестно, на каком конкретном уровне ${\displaystyle y}$ делает ${\displaystyle u}$ существовать. ${\displaystyle \preceq }$ характеризуется как структурно-нейтральный, поскольку позволяет ${\displaystyle u}$ существующий на любом уровне раздела ${\displaystyle y}$. ${\displaystyle \preceq }$ применяется в разговоре о структурных наборах FST как структурно-нейтральные. Так же, как и с ${\displaystyle \in }$, символы urs могут появляться только с левой стороны ${\displaystyle \preceq }$. Рассмотрим определения:

• деф. твоя часть: ${\displaystyle u\in _{[1\,rank(y)]}y,}$ обозначается как ${\displaystyle u\preceq y}$.
• деф. часть: ${\displaystyle \forall u(u\in _{[1\,rank(x)]}x\rightarrow u\in _{[1\,rank(y)]}y)}$, обозначенный как ${\displaystyle x\preceq y}$.
• деф. правильная часть: ${\displaystyle x\preceq y\land y\not \preceq x,}$ обозначается как ${\displaystyle x\prec y}$.

Когда ${\displaystyle u\preceq y}$ держит, ${\displaystyle u}$ существует на некотором уровне множества ${\displaystyle y}$. Например, ${\displaystyle a\preceq \{b,\{a,b\}\}}$ держит. Когда ${\displaystyle x\preceq y}$ держит, каждый ур на любом уровне ${\displaystyle x}$ существует на каком-то уровне ${\displaystyle y}$. Например, ${\displaystyle \{a,b\}\preceq \{b,\{a,b\}\}}$ держит. Соответственно, ${\displaystyle y\not \preceq x}$ означает, что на каком-то уровне ${\displaystyle y}$ это не на любом уровне ${\displaystyle x}$. По определению собственной части, например ${\displaystyle \{a,b\}\prec \{\{a,b\},\{c,d\}\}}$ и ${\displaystyle \{c,d\}\prec \{\{a,b\},\{c,d\}\}}$ держать. Учитывая любую иерархию членства, например ${\displaystyle a\in x\in y}$, также ${\displaystyle a\preceq x\preceq y}$ держит; учитывая любой вид иерархии подмножества, такой как ${\displaystyle x\subset y\subset z}$, также ${\displaystyle x\preceq y\preceq z}$ держит; учитывая любой вид иерархии, которая представляет собой комбинацию отношений членства и подмножества, таких как ${\displaystyle a\in x\subset y}$, также ${\displaystyle a\preceq x\preceq y}$ держит. Обратите внимание, что ${\displaystyle x\subset y\rightarrow x\preceq y}$ держит, тогда как ${\displaystyle x\subset y\rightarrow x\prec y}$ не выполняется во всех моделях FST, например, в случае, когда ${\displaystyle x=\{a,b\}}$ и ${\displaystyle y=\{a,b,\{a\}\}}$. Fine (2010, с. 579) отмечает, что также цепочки отношений, такие как ${\displaystyle r\in v\subset y\prec w}$ может быть использовано; такие цепи получили аксиоматическую основу.

Следующие переводы аксиом DM в терминологию FST показывают, что FST ${\displaystyle \preceq }$ созвучно аксиомам рефлексивности, транзитивности и дискретности DM, но эта экстенсиональность DM должна быть изменена путем изменения одного из его отношений эквивалентности на импликацию. Это напоминает, что наборы FST структурны, а агрегаты DM бесструктурны.

• Расширяемость: ${\displaystyle x=y\leftrightarrow \forall w(w\preceq x\leftrightarrow w\preceq y)}$. Эта аксиома неверна, поскольку ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ могут быть неидентичными наборами, даже если каждый ur на любом уровне ${\displaystyle x}$ находится на каком-то уровне ${\displaystyle y}$ и наоборот, например, когда ${\displaystyle x=\{\{a,b\},\{c,d\}\}}$ и ${\displaystyle y=\{\{a,c\},\{b,d\}\}}$. Тем не мение, ${\displaystyle x=y\rightarrow \forall w(w\preceq x\leftrightarrow w\preceq y)}$ выполняется для тождества ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ подразумевает, что каждый ur, найденный на каком-то уровне ${\displaystyle x}$ находится на каком-то уровне ${\displaystyle y}$ наоборот.
• рефлексивность: ${\displaystyle \forall x(x\preceq x).}$ Каждый ur, который находится на каком-то уровне ${\displaystyle x}$ находится на каком-то уровне ${\displaystyle x}$.
• транзитивность: ${\displaystyle \forall x,y,z(x\preceq y\preceq z\rightarrow x\preceq z).}$ Если каждый ur, найденный на каком-то уровне ${\displaystyle x}$ находится на каком-то уровне ${\displaystyle y}$ и каждый ur, который находится на каком-то уровне ${\displaystyle y}$ находится на каком-то уровне ${\displaystyle z}$, то каждый ur, найденный на каком-то уровне ${\displaystyle x}$ находится на каком-то уровне ${\displaystyle z}$.
• дискретность: ${\displaystyle \forall x\exists u(u\preceq x).}$ Каждый набор содержит хотя бы один ur на каком-то уровне.

Чтобы проиллюстрировать, как FST ${\displaystyle \preceq }$ может применяться как структурно-нейтральное отношение при разговоре о структурных множествах, рассмотрите перевод примеров (1-2), где применяется только мереология, в (1'-2 '), где FST ${\displaystyle \preceq }$ применяется вместе с членством.

1. Ручка - это часть двери; дверь - это часть дома; но ручка не является частью дома .:
1 '. Ручка - это часть двери и член двери: ручка ${\displaystyle \preceq }$ дверь; ручка ${\displaystyle \in }$ дверь. Дверь - это часть дома и член дома: дверь ${\displaystyle \preceq }$ жилой дом; дверь ${\displaystyle \in }$ жилой дом. Ручка является частью дома, но не является его членом: ручка ${\displaystyle \preceq }$ жилой дом; ручка ${\displaystyle \not \in }$ жилой дом.:
${\displaystyle door=\{handle,\ldots \}.}$:
${\displaystyle house=\{door,\ldots \}=\{\{handle,\ldots \},\ldots \}.}$

2. Взвод входит в состав роты; рота входит в состав батальона; но взвод не входит в состав батальона .:
2 '. Взвод - это часть роты и член роты; рота входит в состав батальона и входит в состав батальона; взвод входит в состав батальона, но не входит в состав батальона:

В качестве ${\displaystyle \preceq }$ был определен, все отношения DM, которые определены в терминах ${\displaystyle \preceq }$ могут рассматриваться как определения FST, включая m-перекрытие, m-дизъюнктность, m-пересечение, m-объединение и m-разность.

• Def. м-перекрытие: ${\displaystyle \exists r(r\preceq x\land r\preceq y),}$ обозначается как ${\displaystyle x\odot y}$. По крайней мере, один ur на каком-то уровне ${\displaystyle x}$ находится на каком-то уровне ${\displaystyle y}$.
• Def. м-дизъюнктность: ${\displaystyle \not \exists r(r\preceq x\land r\preceq y),}$ обозначается как ${\displaystyle x}$ Ø ${\displaystyle y}$. Нет ур на любом уровне ${\displaystyle x}$ находится на любом уровне ${\displaystyle y}$.
• Def. м-перекресток: ${\displaystyle \forall w((w\preceq x\land w\preceq y)\leftrightarrow w\preceq z),}$ обозначается как ${\displaystyle z=x\otimes y}$. ${\displaystyle z}$ - это набор всех urs, которые встречаются на некоторых уровнях обоих ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$.
• Def. м-союз: ${\displaystyle y\preceq z\land x\preceq z\land \forall w((y\preceq w\land x\preceq w)\rightarrow z\preceq w),}$ обозначается как ${\displaystyle z=x\oplus y}$. ${\displaystyle z}$ это набор всех урс на любом уровне ${\displaystyle x}$ или же ${\displaystyle y}$ или оба.
• Def. m-разница: ${\displaystyle \forall w(w\preceq z\leftrightarrow (w\preceq x\land w\not \preceq y)),}$ обозначается как ${\displaystyle z=x\ominus y}$. ${\displaystyle z}$ это набор всех урс, находящихся на каком-то уровне ${\displaystyle x}$ но не на любом уровне ${\displaystyle y}$.

Что касается определений ${\displaystyle m}$-пересечение, ${\displaystyle m}$-союз и ${\displaystyle m}$-различие, в полных моделях FST все комплекты ${\displaystyle z}$ существовать. В некоторых неполных моделях FST некоторые ${\displaystyle z}$ не существует. Например, когда ${\displaystyle \{a,b\}}$ и ${\displaystyle \{b,c\}}$ являются единственными множествами в прикладной модели, определение ${\displaystyle m}$-пересечение утверждает, что ${\displaystyle \{a,b\}\otimes \{b,c\}=\{b\}}$, что делает определение аксиомой. Как указано над, определение не интерпретируется как аксиома, а только как формула, которая утверждает, что ${\displaystyle b}$ находится на каком-то уровне обоих ${\displaystyle \{a,b\}}$ и ${\displaystyle \{b,c\}}$.

Примечания

1. Аврил Стырман и Аапо Халко (2018) «Теория конечных множеств в онтологическом моделировании». Прикладная онтология, т. 13, нет. 2. С. 107-133, 2018. Дои:10.3233 / AO-180196.
2. Wimsatt, W.C. (2006). Онтология сложных систем: уровни организации, перспективы и причинные заросли. Канадский философский журнал, дополнительный, 20, 207–274. Хорошо, К. (2010). К теории части. Журнал философии, 107 (11), 559–589. Дои:10.5840 / jphil20101071139.
3. Например, КПУ аксиома объединения дает набор, содержащий все члены членов набор, т. е. наличие ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ подразумевается, например, наличием ${\displaystyle \{\{a,b\},\{c\}\}}$, как члены членов ${\displaystyle \{\{a,b\},\{c\}\}}$ являются членами ${\displaystyle \{a,b,c\}}$. Хотя такие функции применяются для генерации порядковых номеров, они не нужны при моделировании конечных вложенных структур.
4. Варзи, A.C. (2016). Мереология. В Е.Н. Залта (ред.), Стэнфордская энциклопедия философии.
5. Термин «уровень раздела» и рекурсивное определение ${\displaystyle n}$-member адаптированы из: Seibt, J. (2015) Нетранзитивная часть, выровненная мереология и репрезентация эмерджентных частей процессов. Grazer Philosophische Studien, 91 (1), 165–190, стр. 178–80. Зейбт, Дж. (2009).Формы эмерджентного взаимодействия в общей теории процессов. Synthese, 166 (3), 479–512, S {3.2}. Дои:10.1007 / s11229-008-9373-z.