Необоснованная теория множеств - Non-well-founded set theory

Необоснованные теории множеств варианты аксиоматическая теория множеств которые позволяют множествам быть элементами самих себя и иным образом нарушают правило обоснованность. В необоснованных теориях множеств основная аксиома из ZFC заменяется аксиомами, подразумевающими его отрицание.

Изучение необоснованных множеств было инициировано Дмитрий Мириманов в серии статей между 1917 и 1920 годами, в которых он сформулировал различие между хорошо обоснованными и необоснованными наборами; он не считал обоснованность аксиома. Хотя впоследствии был предложен ряд аксиоматических систем необоснованных множеств, они не нашли широкого применения до тех пор, пока Питер Акзель С теория гиперпространства в 1988 г.[1][2][3]Теория необоснованных множеств применялась в логичный моделирование бессрочного вычислительный процессы в информатике (алгебра процессов и финальная семантика ), лингвистика и естественный язык семантика (теория ситуации ), философия (работа над Парадокс лжецов ), и в другой обстановке, нестандартный анализ.[4]

Подробности

В 1917 году Дмитрий Мириманов представил[5][6][7][8] Концепция чего-либо обоснованность комплекта:

Набор, x0, является хорошо обоснованным, если у него нет бесконечной убывающей последовательности членства

В ZFC нет бесконечной убывающей ∈-последовательности по аксиома регулярности. На самом деле аксиому регулярности часто называют основная аксиома поскольку это можно доказать в ZFC− (то есть ZFC без аксиомы регулярности), что из обоснованности следует регулярность. В вариантах ZFC без аксиома регулярности возникает возможность необоснованных множеств с подобными множествам ∈-цепями. Например, набор А такой, что А ∈ А необоснованно.

Хотя Мириманов также ввел понятие изоморфизма между, возможно, не вполне обоснованными множествами, он не считал ни аксиомой основания, ни антиоснованием.[7] В 1926 г. Пол Финслер ввел первую аксиому, допускающую необоснованные множества. После того, как Цермело принял Foundation в свою систему в 1930 году (из предыдущей работы фон Нейман 1925–1929) интерес к необоснованным сетам угас на десятилетия.[9] Ранняя необоснованная теория множеств была Уиллард Ван Орман Куайн С Новые основы, хотя это не просто ZF с заменой Foundation.

Несколько доказательств независимости Фонда от остальной части ZF были опубликованы в 1950-х годах, в частности, Пол Бернейс (1954), после объявления результатов в его более ранней статье 1941 года, и Эрнст Шпекер который дал другое доказательство в своем Хабилитация 1951 г., доказательство которого было опубликовано в 1957 г. Затем в 1957 г. Теорема Ригера была опубликована, давая общий метод такого доказательства, возродив интерес к необоснованным аксиоматическим системам.[10] Следующее предложение аксиомы прозвучало в разговоре на конгрессе 1960 г. Дана Скотт (никогда не публиковался в виде статьи), предлагая альтернативную аксиому, которая теперь называется SAFA.[11] Другая аксиома, предложенная в конце 1960-х годов, была Морис Боффа аксиома сверхуниверсальность, названный Aczel кульминационным моментом исследований своего десятилетия.[12] Идея Боффы заключалась в том, чтобы разрушить фундамент настолько сильно, насколько это возможно (или, скорее, насколько позволяет экстенсиональность): аксиома Боффы подразумевает, что каждый экстенсиональный подобный множеству отношение изоморфно предикату элементности на транзитивном классе.

Более поздний подход к необоснованной теории множеств, впервые предложенный М. Форти и Ф. Хонселлом в 1980-х годах, заимствует из компьютерных наук концепцию теории множеств. бисимуляция. Близкие множества считаются неразличимыми и, следовательно, равными, что приводит к усилению аксиома протяженности. В этом контексте аксиомы, противоречащие аксиоме регулярности, известны как антиосновные аксиомы, а набор, который не обязательно является обоснованным, называется гиперсет.

Четыре взаимно независимый Антиосновные аксиомы хорошо известны, иногда их сокращают по первой букве в следующем списке:

  1. АFA («Аксиома против основания») - принадлежит М. Форти и Ф. Хонселлу (также известна как Антиосновная аксиома Акзеля );
  2. SAFA («AFA Скотта») - из-за Дана Скотт,
  3. FAFA («Finsler’s AFA») - в связи с Пол Финслер,
  4. BAFA («АФА Боффы») - из-за Морис Боффа.

По сути, они соответствуют четырем различным понятиям равенства для необоснованных множеств. Первый из них, AFA, основан на доступные точечные графы (apg) и утверждает, что два гиперсета равны тогда и только тогда, когда они могут быть изображены одним и тем же apg. В этих рамках можно показать, что так называемые Атом хайна, формально определяемая формулой Q = {Q}, существует и единственна.

Каждая из приведенных выше аксиом расширяет универсум предыдущей, так что: V ⊆ A ⊆ S ⊆ F ⊆ B. Во вселенной Боффа отдельные атомы Куайна образуют соответствующий класс.[13]

Стоит подчеркнуть, что теория гипермножеств является расширением классической теории множеств, а не заменой: хорошо обоснованные множества внутри области гипермножества соответствуют классической теории множеств.

Приложения

Гиперсеты Aczel широко использовались Джон Барвайз и Джон Этчменди в своей книге 1987 года Лжец, на парадокс лжеца; Книга также является хорошим введением в тему необоснованных наборов.

Аксиома сверхуниверсальности Боффы нашла применение в качестве основы аксиоматики. нестандартный анализ.[14]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Паккан и Акман (1994), ссылка на раздел.
  2. ^ Ратиен (2004).
  3. ^ Сангиорги (2011) С. 17–19, 26.
  4. ^ Баллард и Хрбачек (1992).
  5. ^ Леви (2002), п. 68.
  6. ^ Халлетт (1986), п.186.
  7. ^ а б Aczel (1988), п. 105.
  8. ^ Мириманов (1917).
  9. ^ Aczel (1988), п. 107.
  10. ^ Aczel (1988) С. 107–8.
  11. ^ Aczel (1988) С. 108–9.
  12. ^ Aczel (1988), п. 110.
  13. ^ Нитта, Окада и Цуварас (2003).
  14. ^ Кановей и Рикен (2004), п. 303.

Рекомендации

  • Aczel, Питер (1988), Необоснованные наборы, Лекционные заметки CSLI, 14, Стэнфорд, Калифорния: Стэнфордский университет, Центр изучения языка и информации, стр.хх + 137, ISBN  0-937073-22-9, МИСТЕР  0940014.
  • Баллард, Дэвид; Хрбачек, Карел (1992), «Стандартные основы нестандартного анализа», Журнал символической логики, 57 (2): 741–748, Дои:10.2307/2275304, JSTOR  2275304.
  • Барвайз, Джон; Этчменди, Джон (1987), Лжец: эссе об истине и кругозоре, Издательство Оксфордского университета, ISBN  9780195059441
  • Барвайз, Джон; Мосс, Лоуренс С. (1996), Замкнутые круги. О математике необоснованных явлений, Лекционные заметки CSLI, 60, Публикации CSLI, ISBN  1-57586-009-0
  • Боффа. М. (1968), "Экстраординарные ансамбли", Bulletin de la Société Mathématique de Belgique, XX: 3–15, Zbl  0179.01602
  • Боффа, М. (1972), «Принуждение и отказ от аксиома фонда», Акад. Рой. Belgique, Mém. Cl. Sci., Coll. 8∘, II. Сэр. 40, XL (7), Zbl  0286.02068
  • Девлин, Кит (1993), "§ 7. Необоснованная теория множеств", Радость множеств: основы современной теории множеств (2-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-94094-6
  • Финслер, П. (1926), "Über die Grundlagen der Mengenlehre. I: Die Mengen und ihre Axiome", Математика. Z., 25: 683–713, Дои:10.1007 / BF01283862, JFM  52.0192.01; перевод на Финслер, Пол; Бут, Дэвид (1996). Теория множеств Финслера: платонизм и круговорот: перевод статей Пола Финслера по теории множеств с вводными комментариями. Springer. ISBN  978-3-7643-5400-8.
  • Халлетт, Майкл (1986), Канторовская теория множеств и ограничение размера, Издательство Оксфордского университета, ISBN  9780198532835.
  • Кановей, Владимир; Рикен, Майкл (2004), Нестандартный анализ, аксиоматически, Спрингер, ISBN  978-3-540-22243-9
  • Леви, Азриэль (2012) [2002], Теория основных множеств, Dover Publications, ISBN  9780486150734.
  • Мириманов, Д. (1917), "Антиномии Рассела и Бурали-Форти и проблема фундаментальной теории ансамблей", L'Enseignement Mathématique, 19: 37–52, JFM  46.0306.01.
  • Нитта; Окада; Цуварас (2003), Классификация необоснованных наборов и приложение (PDF)
  • Pakkan, M. J .; Акман, В. (1994–1995), «Вопросы теории множеств здравого смысла» (PDF), Обзор искусственного интеллекта, 8 (4): 279–308, Дои:10.1007 / BF00849061
  • Ратиен, М. (2004), «Предикативность, цикличность и антифундамент» (PDF), в Link, Годехард (ред.), Сто лет парадокса Рассела: математика, логика, философия, Вальтер де Грюйтер, ISBN  978-3-11-019968-0
  • Sangiorgi, Davide (2011), «Истоки бисимуляции и коиндукции», в Sangiorgi, Davide; Руттен, Ян (ред.), Продвинутые темы бисимуляции и коиндукции, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-1-107-00497-9
  • Скотт, Дана (1960), «Другой тип модели для теории множеств», Неопубликованная статья, доклад, сделанный на Стэнфордском конгрессе логики, методологии и философии науки 1960 г.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка

  • Метамат страница на аксиома регулярности. Менее 1% теорем этой базы данных в конечном итоге зависят от этой аксиомы, как может быть показано командой («показать использование») в программе Metamath.