Теория малой отмены - Small cancellation theory

В математическом предмете теория групп, теория небольшой отмены изучает группы, предоставленные групповые презентации удовлетворение небольшие условия отмены, именно здесь определяющие отношения имеют "небольшие пересечения" друг с другом. Условия малого сокращения подразумевают алгебраические, геометрические и алгоритмические свойства группы. Конечно представленные группы удовлетворяющие достаточно сильным условиям малого сокращения, слово гиперболический и имеют проблема со словом разрешимо Алгоритм Дена. Методы малых отмен также используются для построения Тарские монстры, а для решений Проблема Бернсайда.

История

Некоторые идеи, лежащие в основе теории малого сокращения, восходят к работе Макс Ден в 1910-е гг.^[1] Ден доказал, что фундаментальные группы замкнутых ориентируемых поверхностей рода не меньше двух имеют проблема со словом разрешимо тем, что сейчас называется Алгоритм Дена. Его доказательство включало в себя рисование Граф Кэли такой группы в гиперболическая плоскость и выполнение оценок кривизны через Теорема Гаусса – Бонне для замкнутого цикла в графе Кэли, чтобы сделать вывод, что такой цикл должен содержать большую часть (более половины) определяющего отношения.

Статья Тартаковского 1949 г.^[2] явилась непосредственным предшественником теории малых сокращений: эта статья предоставила решение проблемы слов для класса групп, удовлетворяющих сложному набору комбинаторных условий, где ключевую роль играли предположения типа малого сокращения. Стандартная версия теории малого сокращения в том виде, в котором она используется сегодня, была разработана Мартином Гриндлингером в серии статей в начале 1960-х гг.^[3][4][5] которые в первую очередь имели дело с «метрическими» условиями небольшой отмены. В частности, Гриндлингер доказал, что конечно представленные группы удовлетворяющие условию малого сокращения C '(1/6), проблема слов решается с помощью алгоритма Дена. Теория была дополнительно уточнена и формализована в последующей работе Линдона,^[6] Schupp^[7] и Линдон-Шупп,^[8] который также рассмотрел случай неметрических условий малого сокращения и разработал версию теории малого сокращения для объединенные бесплатные продукты и HNN-расширения.

Теория малых сокращений была далее обобщена Александром Ольшанским, который разработал^[9] «градуированная» версия теории, в которой набор определяющих отношений снабжен фильтрацией и где определяющий относитель определенного уровня может иметь большое совпадение с определяющим относителем более высокого уровня. Ольшаский использовал теорию градуированной малой отмены для построения различных групп «монстров», включая Тарский монстр^[10] а также дать новое доказательство^[11] это бесплатные группы Бернсайда большой нечетной экспоненты бесконечны (этот результат был первоначально доказан Адьян и Новиков в 1968 году с использованием более комбинаторных методов).^[12][13][14]

Теория малого сокращения предоставила базовый набор примеров и идей для теории словесно-гиперболические группы что было выдвинуто Громов в основополагающей монографии 1987 г. «Гиперболические группы».^[15]

Основные определения

Изложение ниже во многом следует гл. V книги Линдона и Шуппа.^[8]

Шт

Позволять

${displaystyle G=langle X|Rangle qquad (*)}$

быть групповая презентация где р ⊆ F(Икс) представляет собой набор свободно сокращаемых и циклически сокращаемых слов в свободная группа F(Икс) такие, что р является симметризованный, т.е. замкнутая относительно циклических перестановок и обратных преобразований.

Нетривиальное свободно сокращаемое слово ты в F(Икс) называется кусок относительно (∗), если существуют два различных элемента р₁, р₂ в р который имеет ты как максимальный общий начальный отрезок.

Обратите внимание, что если ${displaystyle G=langle X|Sangle }$ представляет собой групповую презентацию, в которой множество определяющих отношений S не симметрично, всегда можно взять симметричное закрытие р из S, где р состоит из всех циклических перестановок элементов S и S⁻¹. потом р симметрично и ${displaystyle G=langle X|Rangle }$ это также презентация грамм.

Условия небольшой отмены в метрической системе

Пусть 0 <λ <1. Говорят, что представление (∗), как указано выше, удовлетворяет C '(λ) небольшое условие отмены если когда-нибудь ты кусок относительно (∗) и ты подслово некоторых р ∈ р, тогда |ты| < λ|р|, Здесь |v| это длина слова v.

Условие C '(λ) иногда называют метрическое условие малой отмены.

Неметрические условия небольшой отмены

Позволять п ≥ 3 - целое число. Говорят, что представление группы (∗), как указано выше, удовлетворяет C (п) небольшое условие отмены если когда-нибудь р ∈ р и

${displaystyle r=u_{1}dots u_{m}}$

где ты_я являются частями и если вышеуказанный продукт свободно сокращается, как написано, то м ≥ п. То есть ни один определяющий относитель не может быть записан как сокращенное произведение менее чем п шт.

Позволять q ≥ 3 - целое число. Говорят, что представление группы (∗), как указано выше, удовлетворяет условию T (q) небольшое условие отмены если всякий раз, когда 3 ≤ t <q и р₁,...,р_т в р такие, что р₁ ≠ р₂⁻¹,..., р_т ≠ р₁⁻¹ то хотя бы один из продуктов р₁р₂,...,р_{t − 1}р_т, р_тр₁ свободно сокращается, как написано.

Геометрически условие T (q) по существу означает, что если D сокращенный диаграмма Ван Кампена над (∗), то каждая внутренняя вершина D степени не менее трех на самом деле имеет степень не менее q.

Примеры

• Позволять ${displaystyle G=langle a,b|aba^{-1}b^{-1}angle }$ быть стандартным представлением свободная абелева группа второго ранга. Тогда для симметризованного замыкания этого представления единственными частями являются слова длины 1. Эта симметризованная форма удовлетворяет условиям малого сокращения C (4) -T (4) и C '(λ) условие для любого 1>λ > 1/4.
• Позволять ${displaystyle G=langle a_{1},b_{1},dots ,a_{k},b_{k}|[a_{1},b_{1}]cdot dots cdot [a_{k},b_{k}]angle }$, где k ≥ 2, будет стандартным представлением фундаментальная группа замкнутой ориентируемой поверхности рода k. Тогда для симметризации этого представления единственными частями являются слова длины 1, и эта симметризация удовлетворяет условиям малого сокращения C '(1/7) и C (8).
• Позволять ${displaystyle G=langle a,b|abab^{2}ab^{3}dots ab^{100}angle }$. Тогда с точностью до инверсии каждая фигура для симметризованной версии этого представления имеет вид б^яab^j или б^я, где 0 ≤я,j ≤ 100. Эта симметризация удовлетворяет условию малого сокращения C '(1/20).
• Если симметризованное представление удовлетворяет C '(1 /м) условию, то оно также удовлетворяет условию C (м) условие.
• Позволять р ∈ F(Икс) - нетривиальное циклически сокращаемое слово, не являющееся собственной степенью в F(Икс) и разреши п ≥ 2. Тогда симметризованное замыкание представления ${displaystyle G=langle X|r^{n}angle }$ удовлетворяет C (2n)^[16] и условия малой отмены C '(1 / n).

Основные результаты теории малого сокращения

Лемма Гриндлингера

Основным результатом относительно условия малого сокращения метрики является следующее утверждение (см. Теорему 4.4 в гл. ^[8]), который обычно называют

Лемма Гриндлингера: Пусть (∗) - представление группы, как указано выше, удовлетворяющее C '(λ) условие малого сокращения, где 0 ≤λ ≤ 1/6. Позволять ш ∈ F(Икс) - нетривиальное свободно сокращенное слово такое, что ш = 1 дюйм грамм. Тогда есть подслово v из ш и определяющий родственник р ∈ р такой, что v также подслово р и такой, что

${displaystyle left|vight|>left(1-3lambda ight)left|right|}$

Обратите внимание, что предположение λ ≤ 1/6 означает, что (1-3λ) ≥ 1/2, так что ш содержит подслово больше половины некоторого определяющего отношения.

Лемма Гриндлингера получается как следствие следующего геометрического утверждения:

В условиях леммы Гриндлингера пусть D быть сокращенным диаграмма Ван Кампена над (∗) с циклически редуцированной граничной меткой, такой что D содержит как минимум два региона. Тогда существуют две различные области D₁ и D₂ в D так что для j = 1,2 регион D_j пересекает граничный цикл ∂D из D в простой дуге, длина которой больше (1-3λ)|∂D_j|.

Этот результат, в свою очередь, доказывается рассмотрением двойственной диаграммы для D. Там определяется комбинаторное понятие кривизны (которое, согласно предположениям малого сокращения, отрицательно во всех внутренних вершинах), а затем получается комбинаторная версия Теорема Гаусса – Бонне. Лемма Гриндлингера доказывается как следствие этого анализа, и, таким образом, доказательство вызывает идеи первоначального доказательства Дена для случая групп поверхностей.

Алгоритм Дена

Для любого симметризованного группового представления (∗) следующая абстрактная процедура называется Алгоритм Дена:

• Учитывая свободно сокращенное слово ш на Икс^±1, построим последовательность свободно сокращаемых слов ш = ш₀, ш₁, ш₂,..., следующее.
• Предполагать ш_j уже построен. Если это пустое слово, остановите алгоритм. В противном случае проверьте, если ш_j содержит подслово v такой, что v также является подсловом некоторого определяющего отношения р = vu ∈р такой, что |v| > |р| / 2. Если нет, завершите алгоритм выходом ш_j. Если да, замените v к ты⁻¹ в ш_j, затем свободно сокращать, получившееся свободно сокращаемое слово обозначим ш_j+1и переходим к следующему шагу алгоритма.

Обратите внимание, что у нас всегда есть

|ш₀| > |ш₁| > |ш₂| >...

что означает, что процесс должен завершиться не более чем через |ш| шаги. Более того, все слова ш_j представляют собой тот же элемент грамм так же как и ш и, следовательно, если процесс завершается пустым словом, то ш представляет собой элемент идентичности грамм.

Говорят, что для симметризованного представления (∗) Алгоритм Дена решает проблема со словом в грамм если верно и обратное, то есть для любого свободно сокращаемого слова ш в F(Икс) это слово представляет собой элемент идентичности грамм если и только если Алгоритм Дена, начиная с ш, оканчивается пустым словом.

Из леммы Гриндлингера следует, что для представления C '(1/6) алгоритм Дена решает проблему слов.

Если C '(1/6) -представление (∗) конечно (то есть Икс и р конечны), то алгоритм Дена является актуальным недетерминированный алгоритм в смысле теория рекурсии. Однако даже если (∗) представляет собой бесконечное представление C '(1/6), алгоритм Дена, понимаемый как абстрактная процедура, по-прежнему правильно решает, действительно ли слово в образующих Икс^±1 представляет собой элемент идентичности грамм.

Асферичность

Пусть (∗) - представление C '(1/6) или, в более общем смысле, C (6), где каждое р ∈ р это не настоящая сила в F(Икс) тогда грамм является асферический в следующем смысле. Рассмотрим минимальное подмножество S из р такое, что симметризованное замыкание S равно р. Таким образом, если р и s являются отдельными элементами S тогда р не является циклической перестановкой s^±1 и ${displaystyle G=langle X|Sangle }$ это еще одна презентация для грамм. Позволять Y быть презентационный комплекс для этой презентации. Тогда (см. ^[17] и теоремы 13.3 в ^[9]), при сделанных предположениях относительно (∗) Y это классификация пространства за грамм, то есть грамм = π₁(Y) и универсальный чехол из Y является стягиваемый. В частности, это означает, что грамм без кручения и имеет когомологическая размерность два.

Более общая кривизна

В более общем смысле, можно определить различные виды локальной «кривизны» на любой диаграмме Ван Кампена как - очень грубо - как средний избыток вершин + граней - ребер (который, согласно формуле Эйлера, должен составлять 2) и, показывая в определенной группе, что это всегда неположительно (или, что еще лучше, отрицательно) внутри, показать, что кривизна должна быть на границе или около нее, и тем самым попытаться получить решение проблемы слов. Кроме того, можно ограничить внимание диаграммами, которые не содержат какой-либо из набора «областей», так что существует «меньшая» область с той же границей.

Другие основные свойства малых групп отмены

• Пусть (∗) - представление C '(1/6). Тогда элемент грамм в грамм есть заказ п > 1 тогда и только тогда, когда есть отношение р в р формы р = s^п в F(Икс) такие, что грамм является сопрягать к s в грамм. В частности, если все элементы р не являются надлежащими полномочиями в F(Икс) тогда грамм без кручения.
• Если (∗) - конечное представление C '(1/6), группа грамм является словесно-гиперболический.
• Если р и S конечные симметризованные подмножества F(Икс) с равными нормальное закрытие в F(Икс) так, что обе презентации ${displaystyle langle X|Rangle }$ и ${displaystyle langle X|Sangle }$ удовлетворяют условию C '(1/6), то р = S.
• Если конечное представление (∗) удовлетворяет одному из C '(1/6), C' (1/4) –T (4), C (6), C (4) –T (4), C (3) –T (6), то группа грамм имеет решаемый проблема со словом и решаемый проблема сопряженности

Приложения

Примеры приложений теории малого сокращения включают:

• Решение проблема сопряженности для групп чередующиеся узлы (увидеть^[18][19] и глава V, теорема 8.5 в ^[8]), показав, что для таких узлов расширенные группы узлов допускают C (4) –T (4) представления.
• Конечно определенные C '(1/6) малые группы сокращения являются основными примерами словесно-гиперболические группы. Одна из эквивалентных характеризаций словесно-гиперболических групп - это группы, допускающие конечные представления, в которых алгоритм Дена решает проблема со словом.
• Конечно определенные группы, заданные конечными C (4) –T (4) -представлениями, где каждый кусок имеет длину один, являются основными примерами CAT (0) группы: для такой презентации универсальный чехол из презентационный комплекс это КОШКА (0) квадратный комплекс.
• Ранние приложения теории малого сокращения включают получение различных результатов встраиваемости. Примеры включают статью 1974 г.^[20] Сакердота и Шуппа с доказательством того, что каждая группа с одним соотношением и по крайней мере с тремя образующими является SQ-универсальный и статья Шуппа 1976 г.^[21] с доказательством того, что всякая счетная группа вкладывается в простая группа генерируется элементом второго порядка и элементом третьего порядка.
• Так называемой Строительство разломов, из-за Элияху Рипс,^[22] предоставляет богатый источник контрпримеров относительно различных подгруппа свойства словесно-гиперболические группы: Для произвольной конечно определенной группы Q, конструкция дает короткая точная последовательность ${displaystyle 1 o K o G o Q o 1}$ где K двупорожденный и где грамм не имеет кручения и задается конечным C '(1/6) -представлением (и, следовательно, грамм словесно-гиперболический). Конструкция дает доказательства неразрешимости ряда алгоритмических задач для словесно-гиперболические группы, включая проблему членства в подгруппе, проблему генерации и проблема ранга.^[23] Также, за редким исключением, группа K в конструкции Rips нет конечно презентабельный. Отсюда следует, что существуют словесно-гиперболические группы, не являющиеся последовательный то есть те, которые содержат подгруппы, которые конечно порождены, но не конечно представимы.
• Методы малых отмен (для бесконечных презентаций) использовал Ольшанский.^[9] для создания различных групп «монстров», в том числе Тарский монстр а также доказать, что бесплатные группы Бернсайда с большим нечетным показателем бесконечны (аналогичный результат был первоначально доказан Адьяном и Новиковым в 1968 г. с использованием более комбинаторных методов). Некоторые другие группы «монстров», построенные Ольшанским с помощью этих методов, включают: бесконечный просто Группа Нётер; бесконечная группа, в которой каждая собственная подгруппа имеет простой порядок, а любые две подгруппы одного порядка сопряжены; а неаменимая группа где каждая собственная подгруппа циклическая; и другие.^[24]
• Bowditch^[25] использовали бесконечные небольшие представления с сокращениями, чтобы доказать, что существует непрерывно много типы квазиизометрии двух образующих групп.
• Томас и Величкович использовали теорию малых сокращений для построения^[26] конечно порожденная группа с двумя негомеоморфными асимптотическими конусами, тем самым отвечая на вопрос о Громов.
• Маккаммонд и Уайз показали, как преодолеть трудности, связанные с конструкцией Рипса, и создать большие классы малых групп отмены, которые последовательный (здесь все конечно порожденные подгруппы конечно представлены) и, более того, локально квазивыпуклые (то есть где все конечно порожденные подгруппы квазивыпуклые).^[27][28]
• Методы малой отмены играют ключевую роль в изучении различных моделей «родовых» или "случайные" конечно определенные группы (увидеть ^[29]). В частности, для фиксированного номера м ≥ 2 генераторов и фиксированное количество т ≥ 1 определяющих соотношений и для любого λ <1 а случайный м-генератор тгруппа -связь удовлетворяет C '(λ) небольшое условие отмены. Даже если количество определяющих отношений т не фиксируется, но растет как (2м−1)^εn (куда ε ≥ 0 - фиксированная плотность параметр в плотностной модели «случайных» групп Громова, где ${displaystyle n o infty }$ - длина определяющих соотношений), то ε-случайная группа удовлетворяет условию C '(1/6) при условии ε < 1/12.
• Громов^[30] использовал версию теории малых сокращений по отношению к графу, чтобы доказать существование конечно представленная группа который "содержит" (в соответствующем смысле) бесконечную последовательность расширители и поэтому не допускает равномерного вложения в Гильбертово пространство. Этот результат дает направление (пока единственное доступное) для поиска контрпримеров Гипотеза новикова.
• Осин^[31] использовал обобщение теории малых сокращений, чтобы получить аналог Теорема Терстона о гиперболической хирургии Дена за относительно гиперболические группы.

Обобщения

• Вариант теории малых сокращений для факторгрупп объединенные бесплатные продукты и Расширения HNN был развит в статье Сакердоте и Шуппа, а затем в книге Линдона и Шуппа.^[8]
• Разрывы ^[32] и Ольшанский^[9] разработал "стратифицированную" версию теории малого сокращения, в которой набор отношений отношения фильтруется как восходящее объединение слоев (каждый слой удовлетворяет условию малого сокращения) и для отношения отношения р из некоторого слоя и родственника s из более высокого слоя требуется, чтобы их перекрытие было небольшим по отношению к |s| но разрешено иметь большой |р|, Эта теория позволила Ольшанскому построить различные группы «чудовищ», в том числе Тарский монстр и дать новое доказательство того, что бесплатные группы Бернсайда большой нечетной экспоненты бесконечны.
• Ольшанский^[33] и Дельзант^[34] позже были разработаны версии теории малых сокращений для частных словесно-гиперболические группы.
• Маккаммонд представил многомерную версию теории малого сокращения.^[35]
• Маккаммонд и Уайз существенно продвинули основные результаты стандартной теории малых сокращений (такие как лемма Гриндлингера), касающиеся геометрии диаграммы Ван Кампена из-за небольших презентаций отмены.^[36]
• Громов использовал версию теория малых сокращений по отношению к графу чтобы доказать^[30] существование конечно определенной группы, которая "содержит" (в соответствующем смысле) бесконечную последовательность расширителей и, следовательно, не допускает равномерного вложения в группу Гильбертово пространство.^[37]
• Осин^[31] представил версию теории малого сокращения для частных относительно гиперболические группы и использовал его для получения относительно гиперболического обобщения Теорема Терстона о гиперболической хирургии Дена.

Основные ссылки

• Роджер Линдон и Пол Шупп, Комбинаторная теория групп. Перепечатка издания 1977 года. Классика по математике. Springer-Verlag, Берлин, 2001. ISBN  3-540-41158-5.
• Александр Ю. Ольшанский, Геометрия определяющих отношений в группах. Перевод с русского оригинала 1989 г. Ю. А. Бахтурин. Математика и ее приложения (Советская серия), 70. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1991. ISBN  0-7923-1394-1.
• Ральф Штребель, Приложение. Небольшие группы отмены. Sur les groupes hyperboliques d'après Михаил Громов (Берн, 1988), стр. 227–273, Progress in Mathematics, 83, Birkhäuser Boston, Boston, Massachusetts, 1990. ISBN  0-8176-3508-4.
• Миле Крайчевски, Замощения плоскости, гиперболические группы и условия малого сокращения. Мемуары Американского математического общества, т. 154 (2001), нет. 733.

Смотрите также

• Геометрическая теория групп
• Слово-гиперболическая группа
• Группа тарских монстров
• Проблема Бернсайда
• Конечно представленная группа
• Задача со словом для групп
• Диаграмма Ван Кампена

Примечания

1. Брюс Чендлер и Вильгельм Магнус, История комбинаторной теории групп. Пример из истории идей. Исследования по истории математики и физических наук, 9. Springer-Verlag, New York, 1982. ISBN  0-387-90749-1.
2. Тартаковский В.А., Решение проблемы слов для групп с k-редуцированным базисом при k> 6. Известия Акад. АН СССР. Сер. Матем., Т. 13, (1949), стр. 483–494.
3. Мартин Гриндлингер, Алгоритм Дена для словесной проблемы. Сообщения по чистой и прикладной математике, т. 13 (1960), стр. 67–83.
4. Мартин Гриндлингер, Об алгоритмах Дена для задач сопряжения и слов с приложениями. Сообщения по чистой и прикладной математике, т. 13 (1960), стр. 641–677.
5. Мартин Гриндлингер, Аналог теоремы Магнуса. Archiv der Mathematik, том 12 (1961), стр. 94–96.
6. Роджер С. Линдон,По алгоритму Дена. Mathematische Annalen, т. 166 (1966), стр. 208–228.
7. Пол Э. Шупп, Об алгоритме Дена и проблеме сопряженности. Mathematische Annalen, vol 178 (1968), pp. 119–130.
8. Роджер С. Линдон и Пол Шупп, Комбинаторная теория групп. Перепечатка издания 1977 года. Классика по математике. Springer-Verlag, Берлин, 2001. ISBN  3-540-41158-5.
9. Александр Ю. Ольшанский, Геометрия определения отношений в группах. Перевод с русского оригинала 1989 г. Ю. А. Бахтурин. Математика и ее приложения (Советская серия), 70. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1991. ISBN  0-7923-1394-1.
10. А.Ю. Ольшанский, Бесконечная группа с подгруппами простых порядков, Математика. СССР Изв. 16 (1981), 279–289; перевод Известий Акад. АН СССР сер. Матем. 44 (1980), 309–321.
11. А.Ю. Ольшанский, Группы ограниченного периода с подгруппами простого порядка, Algebra and Logic 21 (1983), 369-418; перевод Алгебры и логики 21 (1982), 553-618.
12. Новиков П.С., Адян С.И., Бесконечные периодические группы. я. Известия Академии Наук СССР. Сер. Матем., Т. 32 (1968), нет. 1. С. 212–244.
13. Новиков П.С., Адян С.И., Бесконечные периодические группы. II. Известия Академии Наук СССР. Сер. Матем., Т. 32 (1968), нет. 2. С. 251–524.
14. Новиков П.С., Адян С.И. Бесконечные периодические группы. III. Известия Академии Наук СССР. Сер. Матем., Т. 32 (1968), нет. 3. С. 709–731.
15. М. Громов, Гиперболические группы, в «Очерках теории групп» (под ред. Г. М. Герстена), ИИГС Publ. 8, 1987, стр. 75-263.
16. Стивен Дж. Прайд. Условия малого сокращения, которым удовлетворяют группы с одним соотношением. Mathematische Zeitschrift, т. 184 (1983), нет. 2. С. 283–286.
17. Ян М. Чизуэлл, Дональд Дж. Коллинз, Йоханнес Хюбшманн, Асферические групповые презентации.Mathematische Zeitschrift, т. 178 (1981), нет. 1. С. 1–36.
18. К. М. Вайнбаум, Проблемы слова и сопряженности для группы узлов любого ручного, простого, знакопеременного узла. Труды Американского математического общества, т. 30 (1971), стр. 22–26.
19. К. И. Аппель, П. Э. Шупп, Проблема сопряженности для группы любого ручного знакопеременного узла разрешима. Труды Американского математического общества, т. 33 (1972), стр. 329–336.
20. Джордж С. Сакердот и Пол Э. Шупп, SQ-универсальность в группах HNN и группах одного отношения. Журнал Лондонского математического общества (2), т. 7 (1974), стр. 733–740.
21. Пол Э. Шупп, Вложения в простые группы. Журнал Лондонского математического общества (2), т. 13 (1976), нет. 1. С. 90–94.
22. Э. Рипс, Подгруппы малых групп отмены. Бюллетень Лондонского математического общества, т. 14 (1982), нет. 1. С. 45–47.
23. Г. Баумслаг, К. Ф. Миллер, Х. Шорт, Неразрешимые задачи о малых сокращениях и гиперболических группах слов. Бюллетень Лондонского математического общества, т. 26 (1994), нет. 1. С. 97–101.
24. А.Ю. Ольшанский,О геометрическом методе комбинаторной теории групп.. Труды Международного конгресса математиков, Vol.1, 2 (Варшава, 1983), 415–424, PWN – Polish Scientific Publishers, Варшава; North-Holland Publishing Co., Амстердам, 1984. ISBN  83-01-05523-5.
25. Б. Х. Боудич, Непрерывно множество классов квазиизометрии групп с двумя образующими. Комментарии Mathematici Helvetici, т. 73 (1998), нет. 2. С. 232–236.
26. С. Томас и Б. Величкович. Асимптотические конусы конечно порожденных групп. Бюллетень Лондонского математического общества, т. 32 (2000), нет. 2. С. 203–208.
27. Джонатан П. МакКэммонд и Дэниел Т. Уайз, Когерентность, локальная квазивыпуклость и периметр 2-комплексов. Геометрический и функциональный анализ, т. 15 (2005), нет. 4. С. 859–927.
28. Джонатан П. Маккаммонд и Дэниел Т. Уайз, Локально квазивыпуклые группы с малым сокращением. Труды Американского математического общества, т. 360 (2008), нет. 1. С. 237–271.
29. Янн Оливье,Приглашение в случайные группы в январе 2005 года. Ensaios Matemáticos [Математические исследования], 10. Сосьедаде Бразилейра де Математика, Рио-де-Жанейро, 2005. ISBN  85-85818-30-1.
30. Громов, М. (2003). «Случайное блуждание в случайных группах». Геометрический и функциональный анализ. 13 (1): 73–146. Дои:10.1007 / с000390300002.
31. Осин, Денис В. (2007). «Периферийные заполнения относительно гиперболических групп». Inventiones Mathematicae. 167 (2): 295–326. Дои:10.1007 / s00222-006-0012-3.
32. Элияху Рипс, "Обобщенная теория малых сокращений и приложения I" Israel J. Math., т. 41 (1982)
33. Ольшанский, А.Ю. (1993). «О аппроксимируемых гомоморфизмах и G-подгруппах гиперболических групп». Международный журнал алгебры и вычислений. 3 (4): 365–409. Дои:10.1142 / S0218196793000251.
34. Делзант, Томас (1996). «Sous-группы, которые различаются и факторы гиперболических групп» [Выделенные подгруппы и факторы гиперболических групп]. Математический журнал герцога (На французском). 83 (3): 661–682.
35. Маккаммонд, Джонатан П. (2000). «Общая теория малой отмены». Международный журнал алгебры и вычислений. 10 (1): 1–172.
36. Маккаммонд, Джонатан П .; Мудрый, Дэниел Т. (2002). «Вентиляторы и лестницы в теории малой отмены». Труды Лондонского математического общества. 84 (3): 599–644. Дои:10.1112 / S0024611502013424.
37. Для получения дополнительных сведений о теории малых сокращений по отношению к графу см. Также Оливье, Янн (2006). «О малой теореме Громова о сокращении». Бюллетень Бельгийского математического общества. 13 (1): 75–89. Дои:10.36045 / bbms / 1148059334.