Гиперболическая хирургия Дена - Hyperbolic Dehn surgery

В математика, гиперболическая хирургия Дена это операция, с помощью которой можно получить дальнейшие гиперболические трехмерные многообразия из данного заостренный гиперболическое 3-многообразие. Гиперболическая хирургия Дена существует только в трех измерениях и является той, которая отличает гиперболическая геометрия в трех измерениях из других измерений.

Такую операцию часто еще называют гиперболическое наполнение Дена, так как Хирургия Дена Правильно относится к операции "сверлить и заполнить" ссылку, которая состоит из бурение из окрестностей ссылки, а затем начинка обратно с полноториями. Хирургия гиперболического Дена на самом деле включает только «наполнение».

Обычно мы будем предполагать, что трехмерное гиперболическое многообразие полно.

Предполагать M 3-мерное гиперболическое многообразие с каспами с п бугорки. M топологически можно представить себе внутренность компактного многообразия с торическим краем. Предположим, мы выбрали меридиан и долготу для каждого граничного тора, то есть простые замкнутые кривые, которые являются образующими для фундаментальной группы тора. Позволять ${\displaystyle M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}$ обозначим многообразие, полученное из M заполнением я-й граничный тор с полноторием, использующий наклон ${\displaystyle u_{i}=p_{i}/q_{i}}$ где каждая пара ${\displaystyle p_{i}}$ и ${\displaystyle q_{i}}$ взаимно простые целые числа. Мы разрешаем ${\displaystyle u_{i}}$ быть ${\displaystyle \infty }$ Это означает, что мы не заполняем этот куспид, то есть выполняем «пустое» заполнение Дена. Так M = ${\displaystyle M(\infty ,\dots ,\infty )}$.

Обустраиваем пространство ЧАС конечных объемов трехмерных гиперболических многообразий с геометрическая топология.

Теорема Терстона о гиперболической хирургии Дена состояния: ${\displaystyle M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}$ гиперболичен до тех пор, пока конечный набор исключительные склоны ${\displaystyle E_{i}}$ избегают для я-й куспид для каждого я. Кроме того, ${\displaystyle M(u_{1},u_{2},\dots ,u_{n})}$ сходится к M в ЧАС это все ${\displaystyle p_{i}^{2}+q_{i}^{2}\rightarrow \infty }$ для всех ${\displaystyle p_{i}/q_{i}}$ соответствующие непустым пломбам Дена ${\displaystyle u_{i}}$.

Эта теорема связана с Уильям Терстон и фундаментальная теория трехмерных гиперболических многообразий. Это показывает, что существуют нетривиальные пределы в ЧАС. Исследование геометрической топологии Трэлса Йоргенсена также показывает, что все нетривиальные пределы возникают при заполнении Дена, как в теореме.

Другой важный результат Терстона - уменьшение объема при гиперболическом заполнении по Дену. Фактически, теорема утверждает, что объем уменьшается при топологическом заполнении Дена, конечно, предполагая, что заполненное Деном многообразие является гиперболическим. Доказательство опирается на основные свойства Громова норма.

Йоргенсен также показал, что функция объема на этом пространстве является непрерывный, правильный функция. Таким образом, согласно предыдущим результатам, нетривиальные пределы в ЧАС сводятся к нетривиальным пределам по набору объемов. Фактически, можно далее заключить, как это сделал Терстон, что множество объемов конечных объемов трехмерных гиперболических многообразий имеет порядковый тип ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$. Этот результат известен как Теорема Терстона-Йоргенсена. Дальнейшая работа, характеризующая этот набор, была проделана Громов.

В узел восьмерка и (-2, 3, 7) узелок кренделя являются единственными двумя узлами, чьи дополнения, как известно, прошли более 6 исключительных операций; у них 10 и 7 соответственно. Кэмерон Гордон предположил, что 10 - это максимально возможное число исключительных перестроек любого дополнения к гиперболическому узлу. Это было доказано Марком Лакенби и Робом Мейерхоффом, которые показали, что число исключительных наклонов равно 10 для любого компактного ориентируемого трехмерного многообразия с краем в виде тора и внутренней гиперболикой конечного объема. Их доказательство опирается на доказательство гипотеза геометризации создан Григорий Перельман и дальше компьютерная помощь. Однако в настоящее время неизвестно, является ли узел восьмерка единственным узлом, который достигает оценки 10. Хорошо известная гипотеза состоит в том, что оценка (за исключением двух упомянутых узлов) равна 6. Агол показал, что существуют только конечное число случаев, в которых число исключительных склонов равно 9 или 10.

Рекомендации

• Ян Агол, Границы исключительной пломбы Дена II, Геом. Тополь. 14 (2010) 1921-1940. arxiv: 0803: 3088
• Робион Кирби, Проблемы низкоразмерной топологии, (см. задачу 1.77, в связи с Кэмерон Гордон, для исключительных спусков)
• Марк Лакенби и Роберт Мейерхофф, Максимальное количество исключительных операций Дена, arXiv: 0808.1176
• Уильям Терстон, Геометрия и топология трехмерных многообразий, Конспект лекций в Принстоне (1978–1981).