Теорема Риба об устойчивости - Reeb stability theorem

В математика, Теорема Риба об устойчивости, названный в честь Жорж Риб, утверждает, что если один лист коразмерность -один слоение является закрыто и имеет конечный фундаментальная группа, то все слои замкнуты и имеют конечную фундаментальную группу.

Теорема Риба о локальной устойчивости

Теорема:^[1] Позволять ${\displaystyle F}$ быть ${\displaystyle C^{1}}$, коразмерность ${\displaystyle k}$ слоение из многообразие ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle L}$ а компактный лист с конечным группа голономии. Существует район ${\displaystyle U}$ из ${\displaystyle L}$, насыщенный ${\displaystyle F}$ (также называемый инвариантным), в котором все слои компактны с конечными группами голономии. Далее, мы можем определить втягивание ${\displaystyle \pi :U\to L}$ так что для каждого листа ${\displaystyle L'\subset U}$, ${\displaystyle \pi |_{L'}:L'\to L}$ это карта покрытия с конечным числом листов и для каждого ${\displaystyle y\in L}$, ${\displaystyle \pi ^{-1}(y)}$ является гомеоморфный к диск из измерение k и является поперечный к ${\displaystyle F}$. Окрестности ${\displaystyle U}$ можно считать сколь угодно малым.

Последнее утверждение, в частности, означает, что в окрестности точки, соответствующей компактному слою с конечной голономией, пространство слоев равно Хаусдорф.При определенных условиях теорема Риба о локальной устойчивости может заменить Теорема Пуанкаре – Бендиксона в высших измерениях.^[2] Это случай коразмерности один, особые слоения ${\displaystyle (M^{n},F)}$, с ${\displaystyle n\geq 3}$, и некоторая особенность типа центра в ${\displaystyle Sing(F)}$.

Теорема Риба о локальной устойчивости также имеет версию для некомпактного листа коразмерности 1.^[3][4]

Теорема Риба о глобальной устойчивости

Важной проблемой теории слоения является изучение влияния компактного листа на глобальную структуру слоение. Для некоторых классов слоений это влияние значительно.

Теорема:^[1] Позволять ${\displaystyle F}$ быть ${\displaystyle C^{1}}$, слоение коразмерности один замкнутого многообразия ${\displaystyle M}$. Если ${\displaystyle F}$ содержит компактный лист ${\displaystyle L}$ с конечным фундаментальная группа, то все листья ${\displaystyle F}$ компактны, с конечной фундаментальной группой. Если ${\displaystyle F}$ поперечно ориентируемый, то каждый лист ${\displaystyle F}$ является диффеоморфный к ${\displaystyle L}$; ${\displaystyle M}$ это общая площадь из расслоение ${\displaystyle f:M\to S^{1}}$ над ${\displaystyle S^{1}}$, с волокно ${\displaystyle L}$, и ${\displaystyle F}$ слоение, ${\displaystyle \{f^{-1}(\theta )|\theta \in S^{1}\}}$.

Эта теорема верна даже тогда, когда ${\displaystyle F}$ является слоением многообразие с краем, что априори равно касательная по некоторым компонентам граница и поперечный на другие компоненты.^[5] В данном случае это означает Теорема Риба о сфере.

Теорема Риба о глобальной устойчивости неверна для слоений коразмерности больше единицы.^[6] Однако для некоторых специальных видов слоений можно получить следующие результаты глобальной устойчивости:

• При наличии определенной поперечной геометрической структуры:

Теорема:^[7] Позволять ${\displaystyle F}$ быть полный конформный слоение коразмерности ${\displaystyle k\geq 3}$ из связаны многообразие ${\displaystyle M}$. Если ${\displaystyle F}$ имеет компактный лист с конечным группа голономии, то все листья ${\displaystyle F}$ компактны с конечной группой голономии.

• За голоморфный слоения в комплексе Кэлерово многообразие:

Теорема:^[8] Позволять ${\displaystyle F}$ - голоморфное слоение коразмерности ${\displaystyle k}$ в компактном комплексе Кэлерово многообразие. Если ${\displaystyle F}$ имеет компактный лист с конечным группа голономии затем каждый лист ${\displaystyle F}$ компактно с конечной группой голономии.

Рекомендации

• К. Камачо, А. Линс Нето: геометрическая теория слоений, Бостон, Биркхаузер, 1985.
• Тамура И. Топология слоений: введение. математики. Монографии, АМС, т.97, 2006, 193 с.

Примечания

1. Дж. Риб (1952). Sur surees propriétés toplogiques des varétés feuillétées. Actualités Sci. Indust. 1183. Пэрис: Германн.
2. Дж. Палис мл., В. де Мело, Геометрическая теория динамических систем: введение, - Нью-Йорк, Спрингер, 1982.
3. Т.Инаба, ${\displaystyle C^{2}}$ Устойчивость по Рибу некомпактных слоев слоений,- Proc. Япония Acad. Сер. Математика. Sci., 59: 158 {160, 1983 [1]
4. Дж. Кантуэлл и Л. Конлон, Устойчивость по Рибу для некомпактных листов в трехмерных слоеных многообразиях, - Proc. Amer.Math.Soc. 33 (1981), нет. 2, 408–410.[2]
5. К. Годбийон, Feuilletages, etudies geometriques, - Базель, Бирхаузер, 1991 г.
6. W.T. Wu и G.Reeb, Sur les éspaces fiber et les varétés feuillitées, - Герман, 1952.
7. Р.А. Блюменталь, Теоремы об устойчивости конформных слоений, - Учеб. AMS. 91, 1984, с. 55–63. [3]
8. J.V. Перейра, Глобальная устойчивость голоморфных слоений на келеровых многообразиях, - Qual. Теория Дин. Syst. 2 (2001), 381–384. arXiv:математика / 0002086v2