Идеальная карта - Perfect map

В математика, особенно топология, а идеальная карта это особый вид непрерывная функция между топологические пространства. Идеальные карты слабее, чем гомеоморфизмы, но достаточно сильный, чтобы сохранить некоторые топологические свойства, такие как локальная компактность которые не всегда сохраняются непрерывными отображениями.

Формальное определение

Позволять ${displaystyle X}$ и ${displaystyle Y}$ быть топологические пространства и разреши ${displaystyle p}$ быть картой из ${displaystyle X}$ к ${displaystyle Y}$ то есть непрерывный, закрыто, сюръективный и такой, что каждый волокно ${displaystyle p^{-1}(y)}$ является компактный относительно ${displaystyle X}$ для каждого ${displaystyle y}$ в ${displaystyle Y}$. потом ${displaystyle p}$ известна как идеальная карта.

Примеры и свойства

1. Если ${displaystyle pcolon X o Y}$ идеальная карта и ${displaystyle Y}$ является компактный, тогда ${displaystyle X}$ компактный.

2. Если ${displaystyle pcolon X o Y}$ идеальная карта и ${displaystyle X}$ является обычный, тогда ${displaystyle Y}$ регулярно. (Если ${displaystyle p}$ просто непрерывно, то даже если ${displaystyle X}$ регулярно, ${displaystyle Y}$ не обязательно быть регулярным. Пример этого: если ${displaystyle X}$ это обычное пространство и ${displaystyle Y}$ - бесконечное множество в недискретной топологии.)

3. Если ${displaystyle pcolon X o Y}$ идеальная карта, и если ${displaystyle X}$ является локально компактный, тогда ${displaystyle Y}$ локально компактно.

4. Если ${displaystyle pcolon X o Y}$ идеальная карта, и если ${displaystyle X}$ второй счетный, то ${displaystyle Y}$ является второй счетный.

5. Каждые инъективный идеальная карта - это гомеоморфизм. Это следует из того, что биективное замкнутое отображение имеет непрерывное обратное.

6. Если ${displaystyle pcolon X o Y}$ идеальная карта, и если ${displaystyle Y}$ является связаны, тогда ${displaystyle X}$ не нужно подключать. Например, постоянная карта из компактного несвязного пространства в одноэлементное пространство является идеальной картой.

7. Совершенная карта не обязательно должна быть открытой. Действительно, рассмотрим карту ${displaystyle pcolon [1,2]cup [3,4] o [1,3]}$ данный ${displaystyle p(x)=x}$ если ${displaystyle xin [1,2]}$ и ${displaystyle p(x)=x-1}$ если ${displaystyle xin [3,4]}$Это отображение замкнутое, непрерывное (по вставка леммы ), сюръективно и поэтому является совершенным отображением (другое условие выполняется тривиально). Тем не мение, п не открыто, для изображения [1, 2] под п является [1, 2] который не открыт относительно [1, 3] (диапазон п). Обратите внимание, что эта карта факторная карта и операция факторного "склеивания" двух интервалов вместе.

8. Обратите внимание, как сохранить такие свойства, как локальная связанность, вторая счетность, локальная компактность и т.д. ... карта должна быть не только непрерывной, но и открытой. Совершенная карта не обязательно должна быть открыта (см. Предыдущий пример), но эти свойства по-прежнему сохраняются в идеальных картах.

9. Каждый гомеоморфизм - совершенное отображение. Это следует из того, что биективный открытое отображение замкнуто и, поскольку гомеоморфизм инъективен, обратный к каждому элементу диапазона должен быть конечным в области (фактически, обратный должен иметь ровно один элемент).

10. Каждая совершенная карта является факторной картой. Это следует из того факта, что замкнутое непрерывное сюръективное отображение всегда является фактор-отображением.

11. Пусть грамм - компактная топологическая группа, непрерывно действующая на Икс. Тогда фактор-карта из Икс к Икс/грамм идеальная карта.

Смотрите также

• Открытые и закрытые карты - Функция, которая отправляет открытые (соответственно закрытые) подмножества в открытые (соответственно закрытые) подмножества
• Факторное пространство
• Правильная карта

Рекомендации

• Мункрес, Джеймс (1999). Топология (2-е изд.). Prentice Hall. ISBN  0-13-181629-2.