Склеивание леммы - Pasting lemma

В топология, то оклейка или же лемма о склейке, а иногда правило склеивания, является важным результатом, который говорит, что две непрерывные функции могут быть «склеены вместе», чтобы создать другую непрерывную функцию. Лемма неявно подразумевается при использовании кусочные функции. Например, в книге Топология и группоиды, где условие для следующего утверждения состоит в том, что ${\displaystyle A\setminus B\subseteq \operatorname {Int} A}$ и ${\displaystyle B\setminus A\subseteq \operatorname {Int} B}$.

Лемма о склейке важна для построения фундаментальная группа или же фундаментальный группоид топологического пространства; он позволяет объединять непрерывные пути для создания нового непрерывного пути.

Официальное заявление

Позволять ${\displaystyle X,Y}$ быть замкнутыми (или открытыми) подмножествами топологического пространства А такой, что ${\displaystyle A=X\cup Y}$, и разреши B также быть топологическим пространством. Если ${\displaystyle f:A\to B}$ непрерывно, когда ограничено обоими Икс и Y, тогда ж непрерывно.

Этот результат позволяет взять две непрерывные функции, определенные на замкнутых (или открытых) подмножествах топологического пространства, и создать новую.

Доказательство: если U является замкнутым подмножеством B, тогда ${\displaystyle f^{-1}(U)\cap X}$ и ${\displaystyle f^{-1}(U)\cap Y}$ оба закрыты, поскольку каждый является прообразом ж когда ограничено Икс и Y соответственно, которые по предположению непрерывны. Затем их союз, ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ также замкнуто, будучи конечным объединением замкнутых множеств.

Аналогичный аргумент применяется, когда Икс и Y оба открыты. ${\displaystyle \Box }$

Бесконечный аналог этого результата (где ${\displaystyle A=X_{1}\cup X_{2}\cup X_{3}\cup \cdots }$) неверно для закрытых ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}\ldots }$. Например, карта включения ${\displaystyle \iota :Z\rightarrow R}$ от целых чисел к действительной строке (с целыми числами, снабженными конфинитная топология ) является непрерывным при ограничении до целого числа, но прообраз ограниченного открытого множества в вещественных числах с этим отображением является не более чем конечным числом точек, поэтому не открывается в Z.

Однако это верно, если ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}\ldots }$ сформировать локально конечный набор поскольку объединение локально конечных замкнутых множеств замкнуто. Точно так же верно, если ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}\ldots }$ вместо этого считаются открытыми, поскольку открыто объединение открытых множеств.

Рекомендации

• Мункрес, Джеймс; Топология, Прентис Холл; 2-е издание (28 декабря 1999 г.). ISBN  0-13-181629-2.
• Дугунджи, Джеймс; Топология, Аллин и Бэкон; 1966. Теорема III.9.4, с. 83.
• Браун, Рональд; Топология и группоиды (Книжный цех) 2006 ISBN  1-4196-2722-8.