Открытые и закрытые карты - Open and closed maps

В математика, более конкретно в топология, открытая карта это функция между двумя топологические пространства что отображает открытые наборы открывать наборы.^[1][2][3] То есть функция ж : Икс → Y открыто, если для любого открытого набора U в Икс, то образ ж(U) открыт в Y. Точно так же закрытая карта это функция, которая отображает закрытые наборы в закрытые наборы.^[3][4] Карта может быть открытой, закрытой, обеими или ни одной;^[5] в частности, открытую карту не нужно закрывать, и наоборот.^[6]

Открыто^[7] и закрыто^[8] карты не обязательно непрерывный.^[4] Кроме того, непрерывность не зависит от открытости и замкнутости в общем случае, и непрерывная функция может иметь одно, оба или ни одно свойство;^[3] этот факт остается верным, даже если ограничиться метрическими пространствами.^[9] Хотя их определения кажутся более естественными, открытые и закрытые карты гораздо менее важны, чем непрерывные карты. Напомним, что по определению функция ж : Икс → Y непрерывно, если прообраз каждого открытого набора Y открыт в Икс.^[2] (Эквивалентно, если прообраз каждого закрытого набора Y закрыт в Икс).

Первым исследователем открытых карт был Симион Стойлов и Гордон Томас Уайберн.^[10]

Определение и характеристики

Позволять ж : Икс → Y быть функцией между топологические пространства.

Открытые карты

Мы говорим что ж : Икс → Y является открытая карта если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. ж отображает открытые множества в открытые множества (т.е.для любого открытого подмножества U из Икс, ж(U) открытое подмножество Y);
2. для каждого Икс ∈ Икс и каждый окрестности U из Икс (каким бы малым оно ни было), существует окрестность V из ж (Икс) такой, что V ⊆ ж (U);
3. ж (Int А) ⊆ Int (ж (А)) для всех подмножеств А из Икс, где Int обозначает топологический интерьер комплекта;
4. всякий раз, когда C является замкнутым подмножеством Икс тогда набор {у ∈ Y : ж ⁻¹(у) ⊆ C} закрыт в Y;^[11]

и если ℬ это основа для Икс тогда мы можем добавить к этому списку:

5. ж отображает базовые открытые множества в открытые множества (т.е.для любого базового открытого множества B ∈ ℬ, ж (B) открытое подмножество Y);

Мы говорим что ж : Икс → Y это относительно открытый карта если ж : Икс → Я ж это открытая карта, где Я ж это диапазон или изображение ж.^[12]

Предупреждение: Многие авторы определяют «открытую карту» как «относительно открытая карта »(например, Энциклопедия математики). То есть они определяют« открытую карту », чтобы означать, что для любого открытого подмножества U из Икс, ж (U) открытое подмножество Я ж (а не открытое подмножество Y, именно так эта статья определяет «открытую карту»). Когда ж является сюръективный то эти два определения совпадают, но в целом они не эквивалентно, потому что, хотя каждая открытая карта является относительно открытой картой, относительно открытые карты часто не могут быть открытыми. Таким образом, рекомендуется всегда проверять, какое определение «открытой карты» использует автор.

Закрытые карты

Мы говорим что ж : Икс → Y это закрытая карта если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. ж отображает замкнутые множества в замкнутые множества (т.е.для любого замкнутого подмножества U из Икс, ж (U) является замкнутым подмножеством Y);
2. ${\displaystyle {\overline {f(A)}}\subseteq f({\overline {A}})}$ для всех подмножеств А из Икс.

Мы говорим что ж : Икс → Y это относительно закрытый карта если ж : Икс → Я ж это замкнутая карта.

Достаточные условия

В сочинение двух открытых карт снова открыт; композиция двух замкнутых карт снова замкнута.^[13][14]

Категориальная сумма двух открытых отображений открыта или двух закрытых отображений закрыта.^[14]

Категоричный товар двух открытых отображений открыто, однако категориальное произведение двух замкнутых отображений может не быть замкнутым.^[13][14]

Биективное отображение открыто тогда и только тогда, когда оно закрыто. Обратным к биективному непрерывному отображению является биективное открытое / замкнутое отображение (и наоборот). Сюръективное открытое отображение не обязательно является замкнутым отображением, и аналогично сюръективное замкнутое отображение не обязательно является открытым.

Лемма о замкнутом отображении — Каждая непрерывная функция ж : Икс → Y из компактное пространство Икс к Пространство Хаусдорфа Y закрыт и правильный (т.е. прообразы компактов компактны).

Вариант леммы о замкнутом отображении утверждает, что если непрерывная функция между локально компактный Хаусдорфово пространство собственно, то оно также замкнуто.

В комплексный анализ, одноименный теорема об открытом отображении утверждает, что каждый непостоянный голоморфная функция определено на связанный открытое подмножество комплексная плоскость это открытая карта.

В неизменность домена Теорема утверждает, что непрерывная и локально инъективная функция между двумя п-размерный топологические многообразия должен быть открытым.

Инвариантность домена — Если U является открытое подмножество из ℝ^п и ж : U → ℝ^п является инъективный непрерывная карта, тогда V := ж(U) открыт в ℝ^п и ж это гомеоморфизм между U и V.

В функциональный анализ, то теорема об открытом отображении утверждает, что каждый сюръективный непрерывный линейный оператор между Банаховы пространства открытое отображение. Теорема была обобщена на топологические векторные пространства за пределами банаховых пространств.

Примеры

Каждые гомеоморфизм открытый, закрытый и непрерывный. Фактически, биективный непрерывное отображение является гомеоморфизмом если и только если он открыт, или, что то же самое, тогда и только тогда, когда он закрыт.

Если Y имеет дискретная топология (т.е. все подмножества открыты и закрыты), то каждая функция ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ является одновременно открытым и закрытым (но не обязательно непрерывным). Например, функция пола от р к Z бывает открытым и закрытым, но не непрерывным. Этот пример показывает, что изображение связанное пространство под открытой или закрытой картой подключаться не нужно.

Всякий раз, когда у нас есть товар топологических пространств ${\displaystyle X=\prod X_{i}}$, естественные проекции ${\displaystyle p_{i}\colon X\to X_{i}}$ открыты^[15][16] (а также непрерывный). Поскольку прогнозы пучки волокон и покрывающие карты являются локально естественными проекциями продуктов, это также открытые карты. Однако закрывать прогнозы не нужно. Рассмотрим, например, проекцию ${\displaystyle p_{1}\colon \mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} }$ по первому компоненту; тогда набор ${\displaystyle A=\{(x,1/x):x\neq 0\}}$ закрыт в ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$, но ${\displaystyle p_{1}(A)=\mathbf {R} \setminus \{0\}}$ не закрыт в ${\displaystyle \mathbf {R} }$. Однако для компактного пространства Y, проекция ${\displaystyle X\times Y\to X}$ закрыто. По сути, это лемма о трубке.

К каждой точке на единичный круг мы можем связать угол положительного 'Икс-ось с лучом, соединяющим точку с началом координат. Эта функция от единичного круга до полуоткрытого интервал [0,2π) биективен, открыт и замкнут, но не непрерывен. Это показывает, что изображение компактное пространство под открытой или закрытой картой не обязательно быть компактным. Также обратите внимание, что если мы рассматриваем это как функцию от единичного круга до действительных чисел, то он не является ни открытым, ни закрытым. Указание codomain важно.

Функция ж : р → р с участием ж(Икс) = Икс² непрерывный и замкнутый, но не открытый.

Свойства

Позволять ж : Икс → Y быть непрерывный карта, которая либо открыта, либо закрыта. потом

• если ж это сюрприз, то это факторная карта,
• если ж является инъекция, то это топологическое вложение, и
• если ж это биекция, то это гомеоморфизм.

В первых двух случаях быть открытым или закрытым - это просто достаточное условие для достижения результата. В третьем случае это нужно также.

Смотрите также

• Почти открытая линейная карта
• Замкнутый график - График функции, которая также является замкнутым подмножеством пространства продукта.
• Замкнутый линейный оператор
• Квазиоткрытая карта - Функция, которая сопоставляет непустые открытые множества с наборами, имеющими непустую внутреннюю часть в ее кодомене.
• Факторная карта
• Идеальная карта - Непрерывное замкнутое сюръективное отображение, каждый слой которого также является компактом.
• Правильная карта

использованная литература

1. Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Prentice Hall. ISBN  0-13-181629-2.
2. Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 89. ISBN  0-486-66352-3. Важно помнить, что теорема 5.3 утверждает, что функция ж непрерывна тогда и только тогда, когда обратный изображение каждого открытого набора открыто. Эту характеристику непрерывности не следует путать с другим свойством, которым функция может обладать или не обладать, - тем свойством, что изображение каждого открытого набора является открытым набором (такие функции называются открытые сопоставления).
3. Ли, Джон М. (2003). Введение в гладкие многообразия. Тексты для выпускников по математике. 218. Springer Science & Business Media. п. 550. ISBN  9780387954486. Карта F:Икс → Y (непрерывный или нет) называется открытая карта если для каждого замкнутого подмножества U ⊆ Икс, F(U) открыт в Y, а закрытая карта если для каждого замкнутого подмножества K ⊆ Икс, F(K) закрыт в Y. Непрерывные карты могут быть открытыми, закрытыми, обоими или ни одной, как можно увидеть, изучив простые примеры, включающие подмножества плоскости.
4. Люду, Андрей. Нелинейные волны и солитоны на контурах и замкнутых поверхностях.. Серия Спрингера в синергетике. п. 15. ISBN  9783642228940. An открытая карта является функцией между двумя топологическими пространствами, которая отображает открытые множества в открытые множества. Точно так же закрытая карта - функция, которая отображает замкнутые множества в замкнутые множества. Открытые или закрытые карты не обязательно непрерывны.
5. Сохраб, Хушанг Х. (2003). Базовый реальный анализ. Springer Science & Business Media. п. 203. ISBN  9780817642112. Теперь мы готовы рассмотреть наши примеры, которые показывают, что функция может быть открыта без закрытия или закрыта без открытия. Кроме того, функция может быть одновременно открытой и закрытой или ни открытой, ни закрытой. (Цитируемое утверждение дано в контексте метрических пространств, но поскольку топологические пространства возникают как обобщения метрических пространств, утверждение верно и там.)
6. Набер, Грегори Л. (2012). Топологические методы в евклидовых пространствах. Дуврские книги по математике (переиздание). Курьерская корпорация. п. 18. ISBN  9780486153445. Упражнение 1-19. Покажите, что отображение проекции π₁:Икс₁ × ··· × Икс_k → Икс_я является открытой картой, но не обязательно закрытой. Подсказка: проекция р² на р не закрывается. Точно так же закрытая карта не обязательно должна быть открытой, поскольку любая постоянная карта закрыта. Однако для взаимно однозначных и взаимно однозначных карт понятия «открытый» и «закрытый» эквивалентны.
7. Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 89. ISBN  0-486-66352-3. Есть много ситуаций, в которых функция ж:(Икс, τ) → (Y, т ') обладает тем свойством, что для каждого открытого подмножества А из Икс, набор ж(А) открытое подмножество Y, и все еще ж является не непрерывный.
8. Боос, Иоганн (2000). Классические и современные методы суммирования. Издательство Оксфордского университета. п. 332. ISBN  0-19-850165-X. Теперь возникает вопрос, верно ли последнее утверждение в целом, т.е. непрерывны ли замкнутые отображения. Как показывает следующий пример, в общем случае это не удается.
9. Кубруслы, Карлос С. (2011). Элементы теории операторов. Springer Science & Business Media. п.115. ISBN  9780817649982. В общем, карта F:Икс → Y метрического пространства Икс в метрическое пространство Y могут обладать любой комбинацией атрибутов «непрерывный», «открытый» и «закрытый» (т. е. это независимые концепции).
10. Hart, K. P .; Nagata, J .; Vaughan, J. E., eds. (2004). Энциклопедия общей топологии. Эльзевир. п.86. ISBN  0-444-50355-2. Похоже, что изучение открытых (внутренних) отображений началось с работ [13,14] А. С. Стойлов. Ясно, что впервые открытость карт широко исследовалась G.T. Уайберн [19,20].
11. Сообщение обмена стека
12. Наричи и Бекенштейн 2011, pp. 225-273.
13. Бауэс, Ханс-Иоахим; Кинтеро, Антонио (2001). Теория бесконечной гомотопии. K-Монографии по математике. 6. п. 53. ISBN  9780792369820. Сочетание открытых карт является открытым, а сочетание замкнутых карт - замкнутым. Также открыт продукт открытых карт. Напротив, продукт закрытых карт не обязательно закрыт, ...
14. Джеймс, И. М. (1984). Общая топология и теория гомотопий. Springer-Verlag. п.49. ISBN  9781461382836. ... напомним, что композиция открытых карт открыта, а композиция закрытых карт - замкнута. Также, что сумма открытых карт открыта, а сумма закрытых карт закрыта. Однако продукт закрытых карт не обязательно закрыт, хотя продукт открытых карт открыт.
15. Уиллард, Стивен (1970). Общая топология. Эддисон-Уэсли. ISBN  0486131785.
16. Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия. Тексты для выпускников по математике. 218 (Второе изд.). п. 606. Дои:10.1007/978-1-4419-9982-5. ISBN  978-1-4419-9982-5. Упражнение A.32. Предположим ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$ топологические пространства. Покажи, что каждая проекция ${\displaystyle \pi _{i}\colon X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}}$ это открытая карта.

Список используемой литературы

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.