Непротиворечивая логика - Paraconsistent logic

А непротиворечивая логика это попытка логическая система иметь дело с противоречия разборчивым образом. В качестве альтернативы, паранепротиворечивая логика - это подполе логика это связано с изучением и развитием паранепротиворечивых (или «терпимых к несогласованности») систем логики.

Логика, допускающая непоследовательность, обсуждалась по крайней мере с 1910 года (и, возможно, намного раньше, например, в трудах Аристотель );^[1] однако термин параконсистентный («кроме последовательного») не было введено до 1976 г. Перуанский философ Франсиско Миро Кесада Кантуариас.^[2]

Определение

В классическая логика (а также интуиционистская логика и большинство других логик), противоречия влекут за собой все. Эта функция, известная как принцип взрыва или же ex contraissione sequitur quodlibet (латинский, «из противоречия все следует»)^[3] можно формально выразить как

1	${\displaystyle P\land \neg P}$	Посылка
2	${\displaystyle P\,}$	Устранение конъюнкции	с 1
3	${\displaystyle P\lor A}$	Введение дизъюнкции	от 2
4	${\displaystyle \neg P\,}$	Конъюнктивное устранение	с 1
5	${\displaystyle A\,}$	Дизъюнктивный силлогизм	с 3 и 4

Что означает: если п и его отрицание ¬п оба предполагаются верными, то из двух утверждений п и (произвольно) А, по крайней мере, одно верно. Следовательно п или же А правда. Однако, если мы знаем, что либо п или же А верно, а также что п ложно (что ¬п верно) можно сделать вывод, что А, что может быть что угодно, верно. Таким образом, если теория содержит единственное несоответствие, это банальный - то есть каждое предложение в нем есть теорема.

Характерной или определяющей чертой паранепротиворечивой логики является то, что она отвергает принцип взрыва. В результате паранепротиворечивые логики, в отличие от классических и других логик, могут использоваться для формализации непоследовательных, но нетривиальных теорий.

Сравнение с классической логикой

Параконсистентная логика предположительно слабее чем классическая логика; то есть они считают меньше пропозициональные выводы действительны. Дело в том, что паранепротиворечивая логика никогда не может быть пропозициональным расширением классической логики, то есть пропозиционально подтверждать все, что делает классическая логика. Таким образом, в некотором смысле паранепротиворечивая логика более консервативна или осторожна, чем классическая логика. Именно из-за такой консервативности паранепротиворечивые языки могут быть более выразительный чем их классические аналоги, включая иерархию метаязыки из-за Альфред Тарский и другие. В соответствии с Соломон Феферман [1984]: «... естественный язык изобилует прямо или косвенно самореференциальными, но явно безобидными выражениями - все они исключены из тарских рамок». Это выразительное ограничение можно преодолеть с помощью паранепротиворечивой логики.

Мотивация

Первичная мотивация паранепротиворечивой логики - это убеждение в том, что должно быть возможно рассуждать с непоследовательной логикой. Информация контролируемым и разборчивым способом. Принцип взрыва исключает это, поэтому от него нужно отказаться. В непараспротиворечивых логиках существует только одна противоречивая теория: тривиальная теория, в которой каждое предложение является теоремой. Параконсистентная логика позволяет различать противоречивые теории и рассуждать с ними.

Исследования паранепротиворечивой логики также привели к созданию философской школы диалетеизм (в первую очередь пропагандируется Грэм Прист ), который утверждает, что в действительности существуют истинные противоречия, например группы людей, придерживающихся противоположных взглядов по различным моральным вопросам.^[4] Диалетеист рационально обязывает человека придерживаться некоторой формы паранепротиворечивой логики, опасаясь, что в противном случае тривиализм, т.е. признание того, что все противоречия (и, что эквивалентно, все утверждения) верны.^[5] Однако изучение паранепротиворечивой логики не обязательно предполагает диалетеистскую точку зрения. Например, не нужно связывать себя ни с существованием истинных теорий, ни с истинными противоречиями, а предпочитать более слабый стандарт, такой как эмпирическая адекватность, как предложено Бас ван Фраассен.^[6]

Философия

В классической логике три закона Аристотеля, а именно исключенного третьего (п или ¬п), непротиворечие ¬ (п ∧ ¬п) и идентичность (п если только п), считаются одинаковыми из-за взаимного определения связок. Более того, традиционно противоречивость (наличие противоречий в теории или совокупности знаний) и тривиальность (тот факт, что такая теория влечет за собой все возможные последствия) считаются неразделимыми при условии наличия отрицания. Эти взгляды могут быть оспорены с философской точки зрения именно на том основании, что они не проводят различия между противоречивостью и другими формами несоответствия.

С другой стороны, можно вывести тривиальность из «конфликта» между согласованностью и противоречиями, если эти понятия будут должным образом разграничены. Более того, сами понятия согласованности и несогласованности могут быть усвоены на уровне объектного языка.

Компромиссы

Парасогласованность предполагает компромиссы. В частности, отказ от принципа взрыва требует отказа хотя бы от одного из следующих двух принципов:^[7]

Введение дизъюнкции	${\displaystyle A\vdash A\lor B}$
Дизъюнктивный силлогизм	${\displaystyle A\lor B,\neg A\vdash B}$

Оба эти принципа были поставлены под сомнение.

Один из подходов - отказаться от введения дизъюнкции, но сохранить дизъюнктивный силлогизм и транзитивность. При таком подходе правила естественный вычет держать, кроме введение дизъюнкции и исключенный средний; более того, вывод A⊢B не обязательно означает вывод A⇒B. Кроме того, выполняются следующие обычные логические свойства: двойное отрицание а также ассоциативность, коммутативность, распределенность, Де Морган, и идемпотентность выводы (для соединения и дизъюнкции). Кроме того, устойчивое к несогласованности доказательство отрицания справедливо для следования: (A⇒ (B∧¬B)) ⊢¬A.

Другой подход - отказаться от дизъюнктивного силлогизма. С точки зрения диалетеизм, вполне логично, что дизъюнктивный силлогизм потерпит неудачу. Идея этого силлогизма заключается в том, что если ¬ А, тогда А исключен и B можно сделать вывод из А ∨ Б. Однако если А может держать, а также ¬A, то аргумент в пользу вывода ослабляется.

Еще один подход - делать и то, и другое одновременно. Во многих системах соответствующая логика, а также линейная логика, есть две отдельные дизъюнктивные связки. Один допускает введение дизъюнкции, а другой допускает дизъюнктивный силлогизм. Конечно, это имеет недостатки, связанные с отдельными дизъюнктивными связками, в том числе путаницу между ними и сложность их соотнесения.

Кроме того, правило доказательства от противного (ниже) само по себе является несовместимостью ненадежным в том смысле, что отрицание любого предложения может быть доказано из противоречия.

Доказательство от противного	Если ${\displaystyle A\vdash B\land \neg B}$, тогда ${\displaystyle \vdash \neg A}$

Строго говоря, наличие только приведенного выше правила является паранепротиворечивым, потому что это не тот случай, когда каждый Предложение может быть доказано от противоречия. Однако если правило исключение двойного отрицания (${\displaystyle \neg \neg A\vdash A}$), то каждое предложение доказывается от противоречия. Исключение двойного отрицания не выполняется для интуиционистская логика.

Пример

Одна хорошо известная система парадоксальной логики - это простая система, известная как LP («Логика парадокса»), впервые предложенная аргентинец логик Флоренсио Гонсалес Асенхо в 1966 году и позже популяризирован Священник и другие.^[8]

Один из способов представить семантику LP - заменить обычное функциональный оценка с реляционный один.^[9] Бинарное отношение ${\displaystyle V\,}$ связывает формула к значение истины: ${\displaystyle V(A,1)\,}$ Значит это ${\displaystyle A\,}$ правда, и ${\displaystyle V(A,0)\,}$ Значит это ${\displaystyle A\,}$ ложно. Формула должна быть назначена по меньшей мере одно значение истинности, но не требуется, чтобы оно было присвоено в большинстве одно значение истины. Семантические предложения для отрицание и дизъюнкция представлены следующим образом:

• ${\displaystyle V(\neg A,1)\Leftrightarrow V(A,0)}$
• ${\displaystyle V(\neg A,0)\Leftrightarrow V(A,1)}$
• ${\displaystyle V(A\lor B,1)\Leftrightarrow V(A,1){\text{ or }}V(B,1)}$
• ${\displaystyle V(A\lor B,0)\Leftrightarrow V(A,0){\text{ and }}V(B,0)}$

(Другой логические связки определяются в терминах отрицания и дизъюнкции, как обычно.) Или, выражаясь менее символично:

• не А правда если и только если А ложно
• не А ложно тогда и только тогда, когда А правда
• А или В верно тогда и только тогда, когда А правда или B правда
• А или В ложно тогда и только тогда, когда А ложно и B ложно

(Семантический) логическое следствие затем определяется как сохранение истины:

${\displaystyle \Gamma \vDash A}$ если и только если ${\displaystyle A\,}$ истинно всякий раз, когда каждый элемент ${\displaystyle \Gamma \,}$ правда.

Теперь рассмотрим оценку ${\displaystyle V\,}$ такой, что ${\displaystyle V(A,1)\,}$ и ${\displaystyle V(A,0)\,}$ но это не тот случай, ${\displaystyle V(B,1)\,}$. Легко проверить, что эта оценка представляет собой контрпример как взрыву, так и дизъюнктивному силлогизму. Однако это также контрпример к modus ponens для материальный условный LP. По этой причине сторонники LP обычно выступают за расширение системы, включив в нее более сильную условную связку, которую нельзя определить в терминах отрицания и дизъюнкции.^[10]

Как можно проверить, LP сохраняет большинство других шаблонов вывода, которые, как можно было бы ожидать, действительны, такие как Законы де Моргана и обычный правила введения и исключения для отрицания, соединение, и дизъюнкция. Удивительно, но логические истины (или же тавтологии ) LP являются в точности таковыми из классической логики высказываний.^[11] (ЛП и классическая логика отличаются только выводы они считают действительными.) Ослабление требования, чтобы каждая формула была истинной или ложной, приводит к более слабой паранепротиворечивой логике, широко известной как влечение первой степени (FDE). В отличие от LP, FDE не содержит логических истин.

Следует подчеркнуть, что LP - всего лишь одна из много предложенные паранепротиворечивые логики.^[12] Здесь она представлена ​​просто как иллюстрация того, как может работать параконсистентная логика.

Отношение к другой логике

Одним из важных типов паранепротиворечивой логики является логика релевантности. Логика соответствующий если только он удовлетворяет следующему условию:

если А → B это теорема, то А и B поделиться нелогическая константа.

Отсюда следует, что логика релевантности не могу иметь (п ∧ ¬п) → q как теорема, и, таким образом (при разумных предположениях) не может подтвердить вывод из {п, ¬п} к q.

Параконсистентная логика во многом пересекается с многозначная логика; однако не все паранепротиворечивые логики многозначны (и, конечно, не все многозначные логики паранепротиворечивы). Диалетеическая логика, которые также многозначны, паранепротиворечивы, но обратное неверно.

Интуиционистская логика позволяет А ∨ ¬А не быть эквивалентным истине, в то время как паранепротиворечивая логика позволяет А ∧ ¬А не эквивалентно ложному. Таким образом, кажется естественным рассматривать паранепротиворечивую логику как "двойной "интуиционистской логики. Однако интуиционистская логика - это особая логическая система, в то время как паранепротиворечивая логика охватывает большой класс систем. Соответственно, двойственное понятие параконсистентности называется параполнота, а «дуал» интуиционистской логики (особая параполная логика) - это особая паранепротиворечивая система, называемая антиинтуиционистский или же двойная интуиционистская логика (иногда называемый Бразильская логика, по историческим причинам).^[13] Двойственность между двумя системами лучше всего видна в последовательное исчисление рамки. В интуиционистской логике секвенция

${\displaystyle \vdash A\lor \neg A}$

не выводится, в дуальной интуиционистской логике

${\displaystyle A\land \neg A\vdash }$

не выводится^{[нужна цитата ]}. Точно так же в интуиционистской логике секвенция

${\displaystyle \neg \neg A\vdash A}$

не выводится, в то время как в дуально-интуиционистской логике

${\displaystyle A\vdash \neg \neg A}$

не выводится. Двойная интуиционистская логика содержит связку #, известную как псевдоразница что является двойным интуиционистским подтекстом. Очень слабо, А # B можно читать как "А но нет B". Однако # не истинно-функциональный как и следовало ожидать от оператора «но не»; аналогично, оператор интуиционистской импликации нельзя трактовать как "¬ (А ∧ ¬B)«Двойная интуиционистская логика также имеет базовую связку ⊤, которая является двойственной интуиционистской: отрицание можно определить как ¬А = (⊤ # А)

Полный отчет о двойственности между паранепротиворечивой и интуиционистской логикой, включая объяснение того, почему дуальная интуиционистская и паранепротиворечивая логики не совпадают, можно найти у Бруннера и Карниелли (2005).

Эти другие логики избегают взрыва: импликационное исчисление высказываний, положительное исчисление высказываний, эквивалентное исчисление и минимальная логика. Последняя, ​​минимальная логика, одновременно параконсистентна и параполна (подсистема интуиционистской логики). Остальные три просто не позволяют изначально выразить противоречие, так как не умеют формировать отрицания.

Идеальная трехзначная паранепротиворечивая логика

Вот пример трехзначная логика который является паранепротиворечивым и идеальный как определено в «Идеальной паранепротиворечивой логике» О. Ариэли, А. Аврона и А. Заманского, особенно на страницах 22–23.^[14] Три ценности истинности: т (только правда), б (как истинное, так и ложное), и ж (только ложь).

п ¬P т ж б б ж т

P → Q Q т б ж п т т б ж б т б ж ж т т т

P ∨ Q Q т б ж п т т т т б т б б ж т б ж

P ∧ Q Q т б ж п т т б ж б б б ж ж ж ж ж

Формула истинна, если ее истинностное значение равно т или же б для используемой оценки. Формула является тавтологией паранепротиворечивой логики, если она истинна в любой оценке, которая отображает атомарные предложения в {т, б, ж}. Всякая тавтология паранепротиворечивой логики - это также тавтология классической логики. Для оценки множество истинных формул закрывается под modus ponens и теорема дедукции. Любая тавтология классической логики, не содержащая отрицаний, также является тавтологией паранепротиворечивой логики (путем слияния б в т). Эту логику иногда называют «Pac» или «LFI1».

Включено

Вот некоторые тавтологии паранепротиворечивой логики:

• Все схемы аксиом для паранепротиворечивой логики:

${\displaystyle P\to (Q\to P)}$ ** для теоремы дедукции и? → {т,б} = {т,б}

${\displaystyle (P\to (Q\to R))\to ((P\to Q)\to (P\to R))}$ ** по теореме дедукции (примечание: {т,б}→{ж} = {ж} следует из теоремы дедукции)

${\displaystyle \lnot (P\to Q)\to P}$ ** {ж}→? = {т}

${\displaystyle \lnot (P\to Q)\to \lnot Q}$ ** ?→{т} = {т}

${\displaystyle P\to (\lnot Q\to \lnot (P\to Q))}$ ** {т,б}→{б,ж} = {б,ж}

${\displaystyle \lnot \lnot P\to P}$ ** ~{ж} = {т}

${\displaystyle P\to \lnot \lnot P}$ ** ~{т,б} = {б,ж} (примечание: ~ {т} = {ж} и ~ {б,ж} = {т,б} следует из способа кодирования истинностных значений)

${\displaystyle P\to (P\lor Q)}$ ** {т,б} v? знак равнот,б}

${\displaystyle Q\to (P\lor Q)}$ **? v {т,б} = {т,б}

${\displaystyle \lnot (P\lor Q)\to \lnot P}$ ** {т} v? знак равнот}

${\displaystyle \lnot (P\lor Q)\to \lnot Q}$ **? v {т} = {т}

${\displaystyle (P\to R)\to ((Q\to R)\to ((P\lor Q)\to R))}$ ** {ж} v {ж} = {ж}

${\displaystyle \lnot P\to (\lnot Q\to \lnot (P\lor Q))}$ ** {б,ж} v {б,ж} = {б,ж}

${\displaystyle (P\land Q)\to P}$ ** {ж}&? = {ж}

${\displaystyle (P\land Q)\to Q}$ ** ?&{ж} = {ж}

${\displaystyle \lnot P\to \lnot (P\land Q)}$ ** {б,ж}&? = {б.ж}

${\displaystyle \lnot Q\to \lnot (P\land Q)}$ ** ?&{б,ж} = {б,ж}

${\displaystyle (\lnot P\to R)\to ((\lnot Q\to R)\to (\lnot (P\land Q)\to R))}$ ** {т}&{т} = {т}

${\displaystyle P\to (Q\to (P\land Q))}$ ** {т,б}&{т,б} = {т,б}

${\displaystyle (P\to Q)\to ((\lnot P\to Q)\to Q)}$ **? объединение {т,б} с {б,ж}

• Некоторые другие схемы теорем:

${\displaystyle P\to P}$

${\displaystyle (\lnot P\to P)\to P}$

${\displaystyle ((P\to Q)\to P)\to P}$

${\displaystyle P\lor \lnot P}$

${\displaystyle \lnot (P\land \lnot P)}$

${\displaystyle (\lnot P\to Q)\to (P\lor Q)}$

${\displaystyle ((\lnot P\to Q)\to Q)\to (((P\land \lnot P)\to Q)\to (P\to Q))}$ ** каждое значение истинности либо т, б, или же ж.

${\displaystyle ((P\to Q)\to R)\to (Q\to R)}$

не входит

Некоторые тавтологии классической логики, нет Тавтологии паранепротиворечивой логики:

${\displaystyle \lnot P\to (P\to Q)}$ ** нет взрыва в паранепротиворечивой логике

${\displaystyle (\lnot P\to Q)\to ((\lnot P\to \lnot Q)\to P)}$

${\displaystyle (P\to Q)\to ((P\to \lnot Q)\to \lnot P)}$

${\displaystyle (P\lor Q)\to (\lnot P\to Q)}$ ** дизъюнктивный силлогизм терпит неудачу в паранепротиворечивой логике

${\displaystyle (P\to Q)\to (\lnot Q\to \lnot P)}$ ** контрапозитив не соответствует паранепротиворечивой логике

${\displaystyle (\lnot P\to \lnot Q)\to (Q\to P)}$

${\displaystyle ((\lnot P\to Q)\to Q)\to (P\to Q)}$

${\displaystyle (P\land \lnot P)\to (Q\land \lnot Q)}$ ** не все противоречия эквивалентны в паранепротиворечивой логике

${\displaystyle (P\to Q)\to (\lnot Q\to (P\to R))}$

${\displaystyle ((P\to Q)\to R)\to (\lnot P\to R)}$

${\displaystyle ((\lnot P\to R)\to R)\to (((P\to Q)\to R)\to R)}$ ** противоречит фактам для {б,ж}→? = {т,б} (несовместимо с б→ж = ж)

Стратегия

Предположим, что мы сталкиваемся с противоречивым набором предпосылок Γ и не хотим сводиться к тривиальности. В классической логике единственный метод, который можно использовать, - это отклонить одно или несколько посылок в Γ. Используя паранепротиворечивую логику, мы можем попытаться разделить противоречие. То есть ослабим логику так, чтобы Γ →Икс больше не тавтология, если пропозициональная переменная Икс не входит в Γ. Однако мы не хотим ослаблять логику больше, чем это необходимо для этой цели. Поэтому мы хотим сохранить modus ponens и теорему дедукции, а также аксиомы, которые представляют собой правила введения и исключения для логических связок (где это возможно).

С этой целью мы добавляем третье значение истинности б который будет использоваться в отсеке, содержащем противоречие. Мы делаем б фиксированная точка всех логических связок.

${\displaystyle b=\lnot b=(b\to b)=(b\lor b)=(b\land b)}$

Мы должны сделать б своего рода правда (помимо т), потому что иначе не было бы тавтологий.

Чтобы убедиться, что modus ponens работает, мы должны иметь

${\displaystyle (b\to f)=f,}$

то есть, чтобы гарантировать, что истинная гипотеза и истинное следствие приводят к истинному выводу, мы должны иметь, что неверное (ж) вывод и истинный (т или же б) гипотеза приводит к неверному выводу.

Если всем пропозициональным переменным в Γ присвоить значение б, то сама Γ будет иметь значение б. Если мы дадим Икс Значение ж, тогда

${\displaystyle (\Gamma \to X)=(b\to f)=f}$.

Итак, Γ →Икс не будет тавтологией.

Ограничения: (1) Не должно быть констант для значений истинности, потому что это нарушит цель паранепротиворечивой логики. Имея б изменит язык по сравнению с классической логикой. Имея т или же ж допустил бы взрыв снова, потому что

${\displaystyle \lnot t\to X}$ или же ${\displaystyle f\to X}$

были бы тавтологиями. Обратите внимание, что б не является фиксированной точкой этих констант, поскольку б ≠ т и б ≠ ж.

(2) Способность этой логики содержать противоречия применима только к противоречиям между частными предпосылками, но не к противоречиям между схемами аксиом.

(3) Утрата дизъюнктивного силлогизма может привести к недостаточной приверженности разработке «правильной» альтернативы, что может нанести вред математике.

(4) Чтобы установить, что формула Γ эквивалентна ∆ в том смысле, что одна из них может быть заменена другой, где бы они ни появлялись как подформула, нужно показать

${\displaystyle (\Gamma \to \Delta )\land (\Delta \to \Gamma )\land (\lnot \Gamma \to \lnot \Delta )\land (\lnot \Delta \to \lnot \Gamma )}$.

Это сложнее, чем в классической логике, потому что контрапозитивы не обязательно следуют.

Приложения

Параконсистентная логика применялась как средство управления несогласованностью во многих областях, включая:^[15]

• Семантика. Параконсистентная логика была предложена как средство обеспечения простого и интуитивно понятного формального объяснения правда который не становится жертвой таких парадоксов, как лжец. Однако такие системы также должны избегать Парадокс карри, что намного сложнее, поскольку в нем нет отрицания.
• Теория множеств и основы математики.
• Эпистемология и пересмотр убеждений. Параконсистентная логика была предложена как средство рассуждения и пересмотра противоречивых теорий и систем убеждений.
• Управление знаниями и искусственный интеллект. Немного компьютерные ученые использовали паранепротиворечивую логику как средство изящного совладания с непоследовательными^[16] или противоречивый^[17] Информация.
• Деонтическая логика и метаэтика. Параконсистентная логика была предложена как средство разрешения этических и других нормативных конфликтов.
• Программная инженерия. Параконсистентная логика была предложена как средство для устранения повсеместных несоответствий между документация, сценарии использования, и код большого программные системы.^[18][19][20]
• Электроника дизайн обычно использует четырехзначная логика, где «hi-impedance (z)» и «don't care (x)» играют роли, аналогичные «не знаю» и «истинно и ложно» соответственно, в дополнение к True и False. Эта логика была разработана независимо от философской логики.
• Квантовая физика
• Физика черной дыры
• Радиация Хокинга
• Квантовые вычисления
• Спинтроника
• Квантовая запутанность
• Квантовая связь
• Принцип неопределенности

Критика

Некоторые философы выступали против диалетеизма на том основании, что нелогичность отказа от любого из трех вышеперечисленных принципов перевешивает любую контринтуитивность, которую может иметь принцип взрыва.

Другие, такие как Дэвид Льюис, возражают против паранепротиворечивой логики на том основании, что просто невозможно, чтобы утверждение и его отрицание были вместе истинными.^[21] Сопутствующее возражение состоит в том, что «отрицание» в паранепротиворечивой логике на самом деле не отрицание; это просто субподряд -формирующий оператор.^[22]

Альтернативы

Существуют подходы, которые позволяют разрешить противоречивые убеждения без нарушения каких-либо интуитивных логических принципов. Большинство таких систем используют многозначная логика с Байесовский вывод и Теория Демпстера-Шафера, допуская, что никакое нетавтологическое убеждение не является полностью (100%) неопровержимым, поскольку оно должно быть основано на неполном, абстрактном, интерпретируемом, вероятно неподтвержденном, потенциально неинформированном и, возможно, неверном знании (конечно, именно это предположение, если оно не тавтологическое, влечет за собой собственную опровержимость, если под «опровержимым» мы подразумеваем «не полностью [100%] неопровержимо»). Эти системы фактически отказываются от нескольких логических принципов на практике, не отвергая их теоретически.

Известные цифры

Примечательные фигуры в истории и / или современном развитии паранепротиворечивой логики включают:

• Алан Росс Андерсон (США, 1925–1973 гг.). Один из основателей логика релевантности, своего рода паранормальная логика.
• Флоренсио Гонсалес Асенхо (Аргентина, 1927-2013)
• Дидерик Батенс (Бельгия)
• Нуэль Белнап (США, 1930 г.р.) разработали логические связки четырехзначная логика.
• Жан-Ив Безио (Франция / Швейцария, 1965 г.р.). Автор обширных работ по общим структурным особенностям и философским основам паранепротиворечивой логики.
• Росс Брэди (Австралия)
• Брайсон Браун (Канада)
• Вальтер Карниелли (Бразилия ). Разработчик семантика возможных переводов, новая семантика, которая делает паранепротиворечивую логику применимой и философски понятой.
• Ньютон да Коста (Бразилия, б. 1929 г.). Один из первых, кто разработал формальные системы паранепротиворечивой логики.
• Итала М. Л. Д'Отавиано (Бразилия )
• Дж. Майкл Данн (Соединенные Штаты). Важная фигура в логике релевантности.
• Карл Хьюитт
• Станислав Яськовский (Польша ). Один из первых, кто разработал формальные системы паранепротиворечивой логики.
• Р. Э. Дженнингс (Канада)
• Дэвид Келлог Льюис (США, 1941–2001 гг.). Сформулируйте критику паранормальной логики.
• Ян Лукасевич (Польша, 1878–1956)
• Роберт К. Мейер (США / Австралия)
• Крис Мортенсен (Австралия). Написал много о параконсистентная математика.
• Лоренцо Пенья (Испания, 1944 г.р.). Разработал оригинальную линию паранепротиворечивой логики, градуалистической логики (также известной как транзитивная логика, TL), сродни нечеткая логика.
• Val Plumwood [ранее Рутли] (Австралия, р. 1939). Частый сотрудник Сильвана.
• Грэм Прист (Австралия). Возможно, самый выдающийся защитник паранепротиворечивой логики в современном мире.
• Франсиско Миро Кесада (Перу ). Ввел термин непротиворечивая логика.
• Б. Х. Слейтер (Австралия). Еще один аргументированный критик паранепротиворечивой логики.
• Ричард Сильван [ранее Рутли] (Новая Зеландия / Австралия, 1935–1996). Важная фигура в логике релевантности и частый сотрудник Plumwood и Priest.
• Николай Александрович Васильев (Россия, 1880–1940 гг.). Первый, кто построил логику, терпимую к противоречию (1910).

Смотрите также

• Философский портал

• Девиантная логика
• Формальная логика
• Логика вероятности
• Интуиционистская логика
• Таблица логических символов

Примечания

1. «Параконсистентная логика». Стэнфордская энциклопедия философии. В архиве из оригинала от 11.12.2015. Получено 1 декабря 2015.
2. Священник (2002), стр. 288 и §3.3.
3. Карниелли, В. и Маркос, Дж. (2001) "Ex contravemente non sequitur quodlibet" В архиве 2012-10-16 в Wayback Machine Proc. 2-я конф. о рассуждении и логике (Бухарест, июль 2000 г.)
4. Дженнифер Фишер (2007). О философии логики. Cengage Learning. С. 132–134. ISBN  978-0-495-00888-0.
5. Грэм Прист (2007). «Параконсистентность и диалетеизм». У Дов М. Габбая; Джон Вудс (ред.). Многозначный и немонотонный поворот в логике. Эльзевир. п. 131. ISBN  978-0-444-51623-7.
6. Отавио Буэно (2010). «Философия логики». В Fritz Allhoff (ред.). Философия наук: руководство. Джон Вили и сыновья. п. 55. ISBN  978-1-4051-9995-7.
7. См. Статью о принцип взрыва для получения дополнительной информации об этом.
8. Священник (2002), стр. 306.
9. LP также обычно представляют как многозначная логика с тремя значениями истинности (истинный, ложный, и обе).
10. См., Например, Priest (2002), §5.
11. См. Priest (2002), стр. 310.
12. Обзоры различных подходов к паранепротиворечивой логике можно найти в Bremer (2005) и Priest (2002), а большое семейство паранепротиворечивых логик подробно разработано в Carnielli, Congilio and Marcos (2007).
13. См. Aoyama (2004).
14. «Идеальная паранепротиворечивая логика» (PDF). В архиве (PDF) из оригинала на 2017-08-09. Получено 2018-08-21.
15. Большинство из них обсуждается в Bremer (2005) и Priest (2002).
16. См., Например, Системы поддержания правды или статьи в Bertossi et al. (2004).
17. Гершенсон, К. (1999). Моделирование эмоций с помощью многомерной логики. В материалах 18-й Международной конференции Североамериканского общества обработки нечеткой информации (NAFIPS ’99), стр. 42–46, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. IEEE Press. http://cogprints.org/1479/
18. Хьюитт (2008b)
19. Хьюитт (2008a)
20. Карл Хьюитт. Формализация здравого смысла для масштабируемой несогласованности и надежной координации информации с использованием прямого логического мышления и модели акторов. в т. 52 исследований по логике. Публикации колледжа. ISBN  1848901593. 2015.
21. См. Lewis (1982).
22. См. Slater (1995), Béziau (2000).

Ресурсы

• Жан-Ив Безио; Вальтер Карниелли; Дов Габбай, ред. (2007). Справочник по параконсистентности. Лондон: Королевский колледж. ISBN  978-1-904987-73-4.
• Аояма, Хироши (2004). "LK, LJ, двойная интуиционистская логика и квантовая логика". Журнал формальной логики Нотр-Дам. 45 (4): 193–213. Дои:10.1305 / ndjfl / 1099238445.
• Бертосси, Леопольдо, изд. (2004). Допуск несоответствия. Берлин: Springer. ISBN  3-540-24260-0.
• Бруннер, Андреас и Карнелли, Вальтер (2005). «Антиинтуиционизм и параконсистентность». Журнал прикладной логики. 3 (1): 161–184. Дои:10.1016 / j.jal.2004.07.016.
• Безио, Жан-Ив (2000). «Что такое паранепротиворечивая логика?». У Д. Батенса; и другие. (ред.). Границы непротиворечивой логики. Болдок: Research Studies Press. С. 95–111. ISBN  0-86380-253-2.
• Бремер, Мануэль (2005). Введение в паранепротиворечивую логику. Франкфурт: Питер Ланг. ISBN  3-631-53413-2.
• Браун, Брайсон (2002). «О параконсистентности». В Дейл Жакетт (ред.). Компаньон философской логики. Молден, Массачусетс: издательство Blackwell Publishers. стр.628 –650. ISBN  0-631-21671-5.
• Карниелли, Вальтер; Coniglio, Marcelo E .; Маркос, Дж (2007). «Логика формальной непоследовательности». В Д. Габбай; Ф. Гентнер (ред.). Справочник по философской логике, том 14 (2-е изд.). Нидерланды: Kluwer Academic Publishers. С. 1–93. ISBN  978-1-4020-6323-7.
• Феферман, Соломон (1984). «К полезным теориям без типов, I». Журнал символической логики. 49 (1): 75–111. Дои:10.2307/2274093. JSTOR  2274093.
• Хьюитт, Карл (2008a). «Крупномасштабные организационные вычисления требуют нестратифицированного отражения и строгой параконсистентности». В Хайме Сичмане; Пабло Норьега; Джулиан Пэджет; Саша Оссовски (ред.). Координация, организации, институты и нормы в агентских системах III. Конспект лекций по информатике. 4780. Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-3-540-79003-7.
• Хьюитт, Карл (2008b). «Здравый смысл допускать параллелизм и несогласованность с использованием Direct Logic и модели Actor». arXiv:0812.4852 [cs.LO ].
• Льюис, Дэвид (1998) [1982]. «Логика для эквивокаторов». Статьи по философской логике. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр.97 –110. ISBN  0-521-58788-3.
• Пенья, Лоренцо (1996) [1996]. «Диалетеизм» Грэма Приста: это правда?. Sorites. 7: 28–56. HDL:10261/9714. Архивировано из оригинал на 2011-07-04. Получено 2009-05-03.
• Священник, Грэм (2002). «Парапоследовательная логика». В Д. Габбай; Ф. Гентнер (ред.). Справочник по философской логике. 6 (2-е изд.). Нидерланды: Kluwer Academic Publishers. С. 287–393. ISBN  1-4020-0583-0.
• Прист, Грэм и Танака, Коджи (2009) [1996]. «Параконсистентная логика». Стэнфордская энциклопедия философии. Получено 17 июня, 2010. (Впервые опубликовано во вторник 24 сентября 1996 г .; существенная редакция в пятницу 20 марта 2009 г.)
• Слейтер, Б. Х. (1995). «Парапоследовательная логика?». Журнал философской логики. 24 (4): 451–454. Дои:10.1007 / BF01048355.
• Вудс, Джон (2003). Парадокс и непротиворечивость: разрешение конфликтов в абстрактных науках. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-00934-0.

внешняя ссылка

• «Параконсистентная логика». Интернет-энциклопедия философии.
• Залта, Эдуард Н. (ред.). «Параконсистентная логика». Стэнфордская энциклопедия философии.
• Залта, Эдуард Н. (ред.). «Непоследовательная математика». Стэнфордская энциклопедия философии.
• «Всемирный конгресс по параконсистентности, Гент 1997, Жукехи 2000, Тулуза, 2003, Мельбурн 2008, Калькутта, 2014»
• Парасогласованная логика первого порядка с бесконечной иерархией уровней противоречия LP #. Аксиоматическая система HST #, как паранепротиворечивое обобщение теории множеств Хрбачека HST
• О. Ариэли, А. Аврон, А. Заманский, «Идеальная паранепротиворечивая логика»