Момент измерения - Moment measure

В вероятность и статистика, а момент измерения это математический количество, функция или, точнее, мера что определено в отношении математические объекты известный как точечные процессы, которые являются типами случайные процессы часто используется как математические модели физических явлений, представимых как случайно расположен точки в время, Космос или оба. Моментные меры обобщают идею (сырого) моменты из случайные переменные, поэтому часто возникают при изучении точечных процессов и связанных с ними полей.^[1]

Примером меры момента является мера первого момента точечного процесса, часто называемого средняя мера или же мера интенсивности, что дает ожидал или среднее количество точек точечного процесса, находящихся в некоторой области пространства.^[2] Другими словами, если количество точек точечного процесса, расположенных в некоторой области пространства, является случайной величиной, то мера первого момента соответствует первому моменту этой случайной величины.^[3]

Моментные меры занимают видное место при изучении точечных процессов.^[1][4][5] а также связанные области стохастическая геометрия^[3] и пространственная статистика^[5][6] чьи приложения можно найти во многих научный и инженерное дело дисциплины, такие как биология, геология, физика, и телекоммуникации.^[3][4][7]

Обозначение точечного процесса

Основная статья: Обозначение точечного процесса

Точечные процессы - это математические объекты, которые определены на некоторых базовых математическое пространство. Поскольку эти процессы часто используются для представления совокупностей точек, случайно разбросанных в физическом пространстве, времени или и том, и другом, базовое пространство обычно d-размерный Евклидово пространство обозначается здесь как ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$, но их можно определить подробнее Абстрактные математические пространства.^[1]

Точечные процессы имеют множество интерпретаций, что отражается в различных типах обозначение точечного процесса.^[3][7] Например, если точка ${\displaystyle \textstyle x}$ принадлежит или является членом точечного процесса, обозначенного ${\displaystyle \textstyle {N}}$, то это можно записать как:^[3]

${\displaystyle \textstyle x\in {N},}$

и представляет точечный процесс, интерпретируемый как случайный набор. В качестве альтернативы, количество точек ${\displaystyle \textstyle {N}}$ расположен в некоторых Набор Бореля ${\displaystyle \textstyle B}$ часто записывается как:^[2][3][6]

${\displaystyle \textstyle {N}(B),}$

что отражает случайная мера интерпретация точечных процессов. Эти два обозначения часто используются параллельно или взаимозаменяемо.^[2][3][6]

Определения

п-я степень точечного процесса

Для некоторых целое число ${\displaystyle \textstyle n=1,2,\dots }$, то ${\displaystyle \textstyle n}$-я степень точечного процесса ${\displaystyle \textstyle {N}}$ определяется как:^[2]

${\displaystyle {N}^{n}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\prod _{i=1}^{n}{N}(B_{i})}$

куда ${\displaystyle \textstyle B_{1},...,B_{n}}$ является набором необязательно непересекающихся борелевских множеств (в ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$), которые образуют ${\displaystyle \textstyle n}$-складывать Декартово произведение множеств, обозначенных ${\displaystyle B_{1}\times \cdots \times B_{n}}$. Символ ${\displaystyle \textstyle \Pi }$ обозначает стандартный умножение.

Обозначение ${\displaystyle \textstyle {N}(B_{i})}$ отражает интерпретацию точечного процесса ${\displaystyle \textstyle {N}}$ как случайная мера.^[3]

В ${\displaystyle \textstyle n}$-я степень точечного процесса ${\displaystyle \textstyle {N}}$ может быть эквивалентно определено как:^[3]

${\displaystyle {N}^{n}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\sum _{(x_{1},\dots ,x_{n})\in {N}}\prod _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{B_{i}}(x_{i})}$

куда суммирование выполняется по всем ${\displaystyle \textstyle n}$-кортежи из (возможно повторяющихся) точек, и ${\displaystyle \textstyle \mathbf {1} }$ обозначает индикаторная функция такой, что ${\displaystyle \textstyle \mathbf {1} _{B_{1}}}$это Мера Дирака. Это определение можно противопоставить определению п-факторная мощность точечного процесса для чего каждый п-кортежи состоит из п точки.

пмера момента

В ${\displaystyle \textstyle n}$мера момента определяется как:

${\displaystyle M^{n}(B_{1}\times \ldots \times B_{n})=E[{N}^{n}(B_{1}\times \ldots \times B_{n})],}$

где E обозначает ожидание (оператор ) точечного процесса ${\displaystyle \textstyle {N}}$. Другими словами, п-го момента мера - это ожидание п-я степень некоторого точечного процесса.

В ${\displaystyle \textstyle n\,}$-й момент измерения точечного процесса ${\displaystyle \textstyle {N}}$ эквивалентно определено^[3] в качестве:

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{nd}}f(x_{1},\dots ,x_{n})M^{n}(dx_{1},\dots ,dx_{n})=E\left[\sum _{(x_{1},\dots ,x_{n})\in {N}}f(x_{1},\dots ,x_{n})\right],}$

куда ${\displaystyle \textstyle f}$ есть ли неотрицательный измеримая функция на ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{nd}}$ и сумма окончена ${\displaystyle \textstyle n}$-кортежи баллов, для которых разрешено повторение.

Измерение первого момента

Для некоторого набора Бореля B, первый момент точечного процесса N является:

${\displaystyle M^{1}(B)=E[{N}(B)],}$

куда ${\displaystyle \textstyle M^{1}}$ известен, среди прочего, как мера интенсивности^[3] или же средняя мера,^[8] и интерпретируется как ожидаемое или среднее количество баллов ${\displaystyle \textstyle {N}}$ найдено или находится в наборе ${\displaystyle \textstyle B}$.

Второй момент измерения

Вторая мера момента для двух борелевских множеств ${\displaystyle \textstyle A}$ и ${\displaystyle \textstyle B}$ является:

${\displaystyle M^{2}(A\times B)=E[{N}(A){N}(B)],}$

что для одного набора Бореля ${\displaystyle \textstyle B}$ становится

${\displaystyle M^{2}(B\times B)=(E[{N}(B)])^{2}+{\text{Var}}[{N}(B)],}$

куда ${\displaystyle \textstyle {\text{Var}}[{N}(B)]}$ обозначает отклонение случайной величины ${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$.

Предыдущий термин дисперсии намекает на то, как меры моментов, такие как моменты случайных величин, могут использоваться для вычисления таких величин, как дисперсия точечных процессов. Еще один пример - ковариация точечного процесса ${\displaystyle \textstyle {N}}$ для двух борелевских наборов ${\displaystyle \textstyle A}$ и ${\displaystyle \textstyle B}$, который определяется как:^[2]

${\displaystyle {\text{Cov}}[{N}(A),{N}(B)]=M^{2}(A\times B)-M^{1}(A)M^{1}(B)}$

Пример: точечный процесс Пуассона

Для генерала Точечный процесс Пуассона с мерой интенсивности ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ мера первого момента:^[2]

${\displaystyle M^{1}(B)=\Lambda (B),}$

который для однородный точечный процесс Пуассона с постоянный интенсивность ${\displaystyle \textstyle \lambda }$ средства:

${\displaystyle M^{1}(B)=\lambda |B|,}$

куда ${\displaystyle \textstyle |B|}$ длина, площадь или объем (или, в более общем смысле, Мера Лебега ) из ${\displaystyle \textstyle B}$.

Для случая Пуассона с мерой ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ вторая мера момента, определенная на множестве продуктов ${\displaystyle (B\times B)}$ является:^[5]

${\displaystyle M^{2}(B\times B)=\Lambda (B)+\Lambda (B)^{2}.}$

которое в однородном случае сводится к

${\displaystyle M^{2}(B\times B)=\lambda |B|+(\lambda |B|)^{2}.}$

Смотрите также

• Факторный момент
• Факторная мера момента
• Момент

Рекомендации

1. Д. Дж. Дейли и Д. Вер-Джонс. Введение в теорию точечных процессов. Vol. {II}. Вероятность и ее приложения (Нью-Йорк). Спрингер, Нью-Йорк, второе издание, 2008 г.
2. Ф. Баччелли и Б. Блащишин. Стохастическая геометрия и беспроводные сети, Том I - Теория, том 3, № 3-4 из Основы и тенденции в сети. Издательство NoW, 2009.
3. Д. Стоян, В. С. Кендалл, Дж. Меке, Л. Рушендорф. Стохастическая геометрия и ее приложения, том 2. Уайли Чичестер, 1995.
4. Д. Дж. Дейли и Д. Вер-Джонс. Введение в теорию точечных процессов. Vol. я. Вероятность и ее приложения (Нью-Йорк). Спрингер, Нью-Йорк, второе издание, 2003 г.
5. А. Баддели, И. Барань, Р. Шнайдер. Процессы пространственных точек и их приложения. Стохастическая геометрия: лекции, прочитанные на летней школе CIME в Мартина-Франка, Италия, 13–18 сентября 2004 г., страницы 1-75, 2007.
6. Дж. Моллер и Р. П. Ваагепетерсен. Статистический вывод и моделирование пространственных точечных процессов. CRC Press, 2003.
7. Ф. Баччелли и Б. Блащишин. Стохастическая геометрия и беспроводные сети, Том II - Приложения, том 4, № 1-2 из Основы и тенденции в сети. Издательство NoW, 2009.
8. Дж. Ф. К. Кингман. Пуассоновские процессы, том 3. Издательство Оксфордского университета, 1992.