Стохастическая геометрия - Stochastic geometry

Возможная модель стохастической геометрии (булева модель) для покрытие беспроводной сети и возможность подключения, созданная из дисков произвольного размера, размещенных в случайных местах

В математике стохастическая геометрия это изучение случайных пространственных закономерностей. В основе предмета лежит изучение случайных точечных паттернов. Это приводит к теории пространственные точечные процессы, отсюда и понятия кондиционирования ладони, которые распространяются на более абстрактные условия случайные меры.

Модели

Существуют различные модели точечных процессов, обычно основанные на классических однородных процессах, но выходящие за их рамки. Точечный процесс Пуассона (базовая модель для полная пространственная случайность ) найти выразительные модели, позволяющие использовать эффективные статистические методы.

Теория точечных паттернов представляет собой главный строительный блок для генерации случайных процессов объекта, позволяя создавать сложные случайные пространственные паттерны. Самая простая версия, Логическая модель, помещает случайный компактный объект в каждую точку точечного процесса Пуассона. Более сложные версии позволяют взаимодействовать по-разному на основе геометрии объектов. Различные направления применения включают: создание моделей для случайных изображений либо в виде объединения наборов объектов, либо в виде шаблонов перекрывающихся объектов; также создание геометрически вдохновленных моделей для лежащего в основе точечного процесса (например, распределение точечных паттернов может быть искажено экспоненциальным фактором, включающим площадь объединения объектов; это связано с моделью Уидома-Роулинсона[1] статистической механики).

Случайный объект

Что подразумевается под случайным объектом? Полный ответ на этот вопрос требует теории случайные замкнутые множества, который соприкасается с передовыми концепциями теории меры. Ключевая идея состоит в том, чтобы сосредоточиться на вероятностях попадания данного случайного замкнутого набора в указанные тестовые наборы. Возникают вопросы вывода (например, оценить множество, которое включает данный точечный образец) и теории обобщений средств и т. Д., Чтобы применить их к случайным множествам. Сейчас устанавливаются связи между этой последней работой и недавними достижениями в геометрическом математическом анализе, касающимися общих метрических пространств и их геометрии. Хорошая параметризация конкретных случайных множеств может позволить нам отнести процессы случайных объектов к теории отмеченных точечных процессов; Пары объект-точка рассматриваются как точки в более крупном пространстве продукта, образованном как продукт исходного пространства и пространства параметризации.

Линейные и гиперплоские процессы

Предположим, нас больше интересуют не компактные объекты, а объекты, которые растянуты в пространстве: линии на плоскости или плоскости в 3-м пространстве. Это приводит к рассмотрению линейных процессов и процессов квартир или гиперплоскостей. Для каждого объекта больше не может быть предпочтительного пространственного положения; однако теория может быть отображена обратно в теорию точечных процессов, представляя каждый объект точкой в ​​подходящем пространстве представления. Например, в случае ориентированных прямых на плоскости можно принять пространство представления за цилиндр. Сложность состоит в том, что тогда евклидовы симметрии движения будут выражаться в пространстве представления несколько необычным образом. Более того, при расчетах необходимо учитывать интересные пространственные отклонения (например, отрезки прямых с меньшей вероятностью будут поражены случайными линиями, которым они почти параллельны), и это обеспечивает интересную и важную связь с чрезвычайно важной областью стереология, что в некотором смысле можно рассматривать как еще одну тему стохастической геометрии. Часто бывает, что вычисления лучше проводить в терминах пучков строк, попадающих в различные наборы тестов, а не работая в пространстве представления.

Линейные и гиперплоские процессы имеют собственное прямое применение, но также находят применение как один из способов создания мозаика разделение пространства; отсюда, например, можно говорить о мозаике линий Пуассона. Заметный недавний результат[2] доказывает, что ячейка в начале тесселяции линии Пуассона является приблизительно круглой, когда она имеет большие размеры. Разумеется, мозаику в стохастической геометрии можно создавать другими способами, например, используя Вороной и вариантных конструкций, а также путем итерации различных способов построения.

Происхождение названия

Название, похоже, было придумано Дэвид Кендалл и Клаус Крикеберг[3] при подготовке к июню 1969 г. Обервольфах семинар, хотя предшественники теории уходят гораздо дальше под названием геометрическая вероятность. Термин «стохастическая геометрия» также использовался Фришем и Hammersley в 1963 г.[4] как одно из двух предложений по названию теории «случайных нерегулярных структур», вдохновленной теория перколяции.

Приложения

Это краткое описание сосредоточено на теории[3][5] стохастической геометрии, которая позволяет увидеть структуру объекта. Тем не менее, значительная часть жизни и интереса к этому предмету, а также многие его оригинальные идеи проистекают из очень широкого круга приложений, например: астрономия,[6] пространственно распределенные телекоммуникации,[7] моделирование и анализ беспроводной сети,[8] моделирование затухание канала,[9][10] лесное хозяйство[11] статистическая теория формы,[12] материаловедение,[13] многомерный анализ, проблемы в анализ изображений[14] и стереология. Есть ссылки на статистическую механику,[15] Цепь Маркова Монте-Карло, и реализации теории в статистических вычислениях (например, spatstat[16] в р ). Совсем недавно детерминантные и постоянные точечные процессы (связанные с теорией случайных матриц) начинают играть роль.[17]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Chayes, J. T .; Chayes, L .; Котецки Р. (1995). «Анализ модели Уидома-Роулинсона стохастическими геометрическими методами». Коммуникации по математической физике. 172 (3): 551–569. Bibcode:1995CMaPh.172..551C. Дои:10.1007 / BF02101808.
  2. ^ Коваленко, И. Н. (1999). «Упрощенное доказательство гипотезы Д. Г. Кендалла о формах случайных многоугольников». Журнал прикладной математики и стохастического анализа. 12 (4): 301–310. Дои:10.1155 / S1048953399000283.
  3. ^ а б См. Предисловие в Стоян, Д .; Kendall, W. S .; Меке, Дж. (1987). Стохастическая геометрия и ее приложения. Wiley. ISBN  0-471-90519-4.
  4. ^ Frisch, H.L .; Хаммерсли, Дж. М. (1963). «Процессы перколяции и смежные темы». Журнал SIAM по прикладной математике. 11 (4): 894–918. Дои:10.1137/0111066.
  5. ^ Шнайдер, Р.; Вейл, В. (2008). Стохастическая и интегральная геометрия. Вероятность и ее приложения. Springer. Дои:10.1007/978-3-540-78859-1. ISBN  978-3-540-78858-4. МИСТЕР  2455326.
  6. ^ Мартинес, В. Дж .; Саар, Э. (2001). Статистика распределения Галактики. Чепмен и Холл. ISBN  1-58488-084-8.
  7. ^ Baccelli, F .; Klein, M .; Lebourges, M .; Зуев, С. (1997). «Стохастическая геометрия и архитектура сетей связи». Телекоммуникационные системы. 7: 209–227. Дои:10.1023 / А: 1019172312328.
  8. ^ М. Хенгги. Стохастическая геометрия для беспроводных сетей. Издательство Кембриджского университета, 2012.
  9. ^ Питербарг, В. И .; Вонг, К. Т. (2005). «Коэффициент пространственной корреляции на базовой станции в явном аналитическом выражении в закрытой форме, обусловленный неоднородно распределенными пуассоновскими рассеивателями». Антенны IEEE и письма о беспроводном распространении. 4 (1): 385–388. Bibcode:2005IAWPL ... 4..385P. Дои:10.1109 / LAWP.2005.857968.
  10. ^ Абдулла, М .; Шаян, Ю. Р. (2014). «Поведение крупномасштабного замирания для сотовой сети с равномерным пространственным распределением». Журнал беспроводной связи и мобильных вычислений Wiley. 4 (7): 1–17. arXiv:1302.0891. Дои:10.1002 / WCM.2565.
  11. ^ Стоян, Д .; Пенттинен, А. (2000). «Недавнее применение методов точечных процессов в статистике лесного хозяйства». Статистическая наука. 15: 61–78.
  12. ^ Кендалл, Д. Г. (1989). «Обзор статистической теории формы». Статистическая наука. 4 (2): 87–99. Дои:10.1214 / сс / 1177012582.
  13. ^ Торквато, С. (2002). Случайные неоднородные материалы. Springer-Verlag. ISBN  0-387-95167-9.
  14. ^ Ван Лисхаут, М. Н. М. (1995). Модели стохастической геометрии в анализе изображений и пространственной статистике. CWI Tract, 108. CWI. ISBN  90-6196-453-9.
  15. ^ Георгий, Х.-О .; Häggström, O .; Маес, К. (2001). «Случайная геометрия равновесных фаз». Фазовые переходы и критические явления. 18. Академическая пресса. С. 1–142.
  16. ^ Baddeley, A .; Тернер, Р. (2005). «Spatstat: пакет R для анализа пространственных точечных шаблонов». Журнал статистического программного обеспечения. 12 (6): 1–42. Дои:10.18637 / jss.v012.i06.
  17. ^ McCullagh, P .; Мёллер, Дж. (2006). «Постоянный процесс». Достижения в прикладной теории вероятностей. 38 (4): 873–888. Дои:10.1239 / aap / 1165414583.