Факториальная мера момента - Factorial moment measure

В вероятность и статистика, а факторная мера момента это математический количество, функция или, точнее, мера что определено в отношении математические объекты известный как точечные процессы, которые являются типами случайные процессы часто используется как математические модели физических явлений, представимых как случайно расположен точки в время, Космос или оба. Моментные меры обобщают идею факториальные моменты, которые полезны для изучения неотрицательный целое число -значен случайные переменные.^[1]

Первая факторная моментная мера точечного процесса совпадает с его мера первого момента или же мера интенсивности,^[2] что дает ожидал или же средний количество точек точечного процесса, расположенных в некоторой области пространства. В общем случае, если количество точек в некоторой области рассматривается как случайная величина, то факторная мера момента этой области является факториальным моментом этой случайной величины.^[3] Факторные измерения момента полностью характеризуют широкий класс точечных процессов, что означает, что их можно использовать для однозначной идентификации точечных процессов.

Если факторная мера момента равна абсолютно непрерывный, то относительно Мера Лебега говорят, что у него плотность (который является обобщенной формой производная ), и эта плотность известна под рядом названий, таких как факторная плотность момента и плотность продукта, а также плотность совпадений,^[1] совместная интенсивность^[4], корреляционная функция или же многомерный частотный спектр^[5] Первая и вторая факторные плотности моментов точечного процесса используются в определении парная корреляционная функция, что дает возможность статистически количественно оценить силу взаимодействия или корреляция между точками точечного процесса.^[6]

Факторные измерения моментов служат полезными инструментами при изучении точечных процессов.^[1][6][7] а также связанные области стохастическая геометрия^[3] и пространственная статистика,^[6][8] которые применяются в различных научный и инженерное дело дисциплины, такие как биология, геология, физика, и телекоммуникации.^[1][3][9]

Обозначение точечного процесса

Основная статья: Обозначение точечного процесса

Точечные процессы - это математические объекты, которые определены на некоторых базовых математическое пространство. Поскольку эти процессы часто используются для представления совокупностей точек, случайно разбросанных в пространстве, времени или и в том, и в другом, базовое пространство обычно d-размерный Евклидово пространство обозначается здесь как р^d, но их можно определить подробнее Абстрактные математические пространства.^[7]

Точечные процессы имеют множество интерпретаций, что отражается в различных типах обозначение точечного процесса.^[3][9] Например, если точка ${\displaystyle \textstyle x}$ принадлежит или является членом точечного процесса, обозначенного N, то это можно записать как:^[3]

${\displaystyle \textstyle x\in {N},}$

и представляет точечный процесс, интерпретируемый как случайный набор. В качестве альтернативы, количество точек N расположен в некоторых Набор Бореля B часто записывается как:^[2][3][8]

${\displaystyle \textstyle {N}(B),}$

что отражает случайная мера интерпретация точечных процессов. Эти два обозначения часто используются параллельно или взаимозаменяемо.^[3][8][2]

Определения

п th факторная мощность точечного процесса

Для некоторых положительных целое число ${\displaystyle \textstyle n=1,2,\ldots }$, то ${\displaystyle \textstyle n}$-я факторная мощность точечного процесса ${\displaystyle \textstyle {N}}$ на ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$ определяется как:^[2]

${\displaystyle {N}^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\sum _{(x_{1}\neq \dots \neq x_{n})\in {N}}\prod _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{B_{i}}(x_{i})}$

куда ${\displaystyle \textstyle B_{1},...,B_{n}}$ это набор не обязательно непересекающийся Борель наступает ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$, которые образуют ${\displaystyle \textstyle n}$-складывать Декартово произведение наборов, обозначаемых:

${\displaystyle B_{1}\times \cdots \times B_{n}.}$

Символ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {1} }$ обозначает индикаторная функция такой, что ${\displaystyle \textstyle \mathbf {1} _{B_{1}}}$это Мера Дирака для набора ${\displaystyle \textstyle B_{n}}$. В суммирование в приведенном выше выражении выполняется по всем ${\displaystyle \textstyle n}$-кортежи различных точек, в том числе перестановки, что можно противопоставить определению п-я степень точечного процесса. Символ ${\displaystyle \textstyle \Pi }$ обозначает умножение в то время как существование различных обозначение точечного процесса означает, что п-я факторная мощность точечного процесса иногда определяется с использованием других обозначений.^[2]

п мера факторного момента

В п мера факторного момента или п Мера факторного момента-го порядка определяется как:

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=E[{N}^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})],}$

где E обозначает ожидание (оператор ) точечного процесса N. Другими словами, п-й факторной мерой момента является математическое ожидание п th факториальная мощность некоторого точечного процесса.

В п мера факторного момента точечного процесса N эквивалентно определено^[3] к:

${\displaystyle \int _{{\textbf {R}}^{nd}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})M^{(n)}(dx_{1},\ldots ,dx_{n})=E\left[\sum _{(x_{1}\neq \cdots \neq x_{n})\in {N}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\right],}$

куда ${\displaystyle f}$ любой неотрицательный измеримая функция на ${\displaystyle {\textbf {R}}^{nd}}$, и суммирование ведется по всем ${\displaystyle n}$ наборы различных точек, включая перестановки. Следовательно, факторная мера момента определяется таким образом, что в наборе произведения нет точек, повторяющихся, в отличие от меры момента.^[7]

Мера первого факториального момента

Первая факторная мера момента ${\displaystyle \textstyle M^{1}}$ совпадает с мера первого момента:^[2]

${\displaystyle M^{(1)}(B)=M^{1}(B)=E[{N}(B)],}$

куда ${\displaystyle \textstyle M^{1}}$ известен, среди прочего, как мера интенсивности^[3] или же средняя мера,^[10] и интерпретируется как ожидаемое количество баллов ${\displaystyle \textstyle {N}}$ найдено или находится в наборе ${\displaystyle \textstyle B}$

Второй факторный момент измерения

Вторая факторная моментная мера для двух борелевских множеств ${\displaystyle \textstyle A}$ и ${\displaystyle \textstyle B}$ является:

${\displaystyle M^{(2)}(A\times B)=M^{2}(A\times B)-M^{1}(A\cap B).}$

Объяснение имени

Для некоторого набора Бореля ${\displaystyle \textstyle B}$, тезка этой меры раскрывается, когда ${\displaystyle \textstyle n\,}$мера факторного момента сводится к:

${\displaystyle M^{(n)}(B\times \cdots \times B)=E[{N}(B)({N}(B)-1)\cdots ({N}(B)-n+1)],}$

какой ${\displaystyle \textstyle n\,}$-й факторный момент случайной величины ${\displaystyle \textstyle {N}(B)}$.^[3]

Факторная плотность момента

Если факторная мера момента равна абсолютно непрерывный, то он имеет плотность (точнее, Производная Радона – Никодима или плотности) относительно Мера Лебега и эта плотность известна как факторная плотность момента или же плотность продукта, совместная интенсивность, корреляционная функция, или же многомерный частотный спектр. Обозначая ${\displaystyle \textstyle n}$-й факторной плотности момента на ${\displaystyle \textstyle \mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$, он определяется по уравнению:^[3]

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \ldots \times B_{n})=\int _{B_{1}}\cdots \int _{B_{n}}\mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}.}$

Кроме того, это означает следующее выражение

${\displaystyle E\left[\sum _{(x_{1}\neq \cdots \neq x_{n})\in {N}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\right]=\int _{{\textbf {R}}^{nd}}f(x_{1},\ldots ,x_{n})\mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n},}$

куда ${\displaystyle \textstyle f}$ любой неотрицательный ограниченный измеримая функция, определенная на ${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{n}}$.

Парная корреляционная функция

В пространственной статистике и стохастической геометрии для измерения статистических корреляция отношения между точками точечного процесса, парная корреляционная функция точечного процесса ${\displaystyle {N}}$ определяется как:^[3][6]

${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})={\frac {\mu ^{(2)}(x_{1},x_{2})}{\mu ^{(1)}(x_{1})\mu ^{(1)}(x_{2})}},}$

где точки ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in R^{d}}$. В целом, ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})\geq 0}$ в то время как ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})=1}$ соответствует отсутствию корреляции (между точками) в типичном статистическом смысле.^[6]

Примеры

Точечный процесс Пуассона

Для общий точечный процесс Пуассона с мерой интенсивности ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ в ${\displaystyle \textstyle n}$-я факторная мера момента определяется выражением:^[3]

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\prod _{i=1}^{n}[\Lambda (B_{i})],}$

куда ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$ является мерой интенсивности или мерой первого момента ${\displaystyle \textstyle {N}}$, что для некоторого борелевского множества ${\displaystyle \textstyle B}$ дан кем-то:

${\displaystyle \Lambda (B)=M^{1}(B)=E[{N}(B)].}$

Для однородный точечный процесс Пуассона в ${\displaystyle \textstyle n}$-й факторный момент мера просто:^[2]

${\displaystyle M^{(n)}(B_{1}\times \cdots \times B_{n})=\lambda ^{n}\prod _{i=1}^{n}|B_{i}|,}$

куда ${\displaystyle \textstyle |B_{i}|}$ длина, площадь или объем (или, в более общем смысле, Мера Лебега ) из ${\displaystyle \textstyle B_{i}}$. Кроме того, ${\displaystyle \textstyle n}$-й факторной плотности момента:^[3]

${\displaystyle \mu ^{(n)}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lambda ^{n}.}$

Парная корреляционная функция однородного точечного процесса Пуассона просто

${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})=1,}$

что отражает отсутствие взаимодействия между точками этого точечного процесса.

Факторное расширение момента

Ожидания генерального функционалы простых точечных процессов, при определенных математических условиях, имеют (возможно, бесконечные) разложения или серии состоящий из соответствующих факторных моментных мер.^[11][12] По сравнению с Серия Тейлор, который состоит из серии производные какой-то функции пмера факторного момента играет роль п -я производная ряда Тейлора. Другими словами, учитывая общий функционал ж некоторого простого точечного процесса, то это Теорема Тейлора для непуассоновских точечных процессов означает, что существует разложение для математического ожидания функции E, при выполнении некоторого математического условия, обеспечивающего сходимость разложения.

Смотрите также

• Факторный момент
• Момент
• Момент измерения

Рекомендации

1. Д. Дж. Дейли и Д. Вер-Джонс. Введение в теорию точечных процессов. Vol. я. Вероятность и ее приложения (Нью-Йорк). Спрингер, Нью-Йорк, второе издание, 2003 г.
2. Баччелли, Франсуа (2009). "Стохастическая геометрия и беспроводные сети: теория тома I" (PDF). Основы и тенденции в сети. 3 (3–4): 249–449. Дои:10.1561/1300000006. ISSN  1554-057X.
3. Д. Стоян, В. С. Кендалл, Дж. Меке, Л. Рушендорф. Стохастическая геометрия и ее приложения, том 2. Уайли Чичестер, 1995.
4. Хаф, Дж. Бен, Кришнапур, Манджунатх, Перес, Юваль, Вир { 'a} g, B {' a} lint (2006). «Детерминантные процессы и независимость». Вероятностные исследования. 3: 206–229. arXiv:математика / 0503110. Дои:10.1214/154957806000000078.
5. К. Ханда. Двухпараметрический точечный процесс {Пуассона-Дирихле}. Бернулли, 15(4):1082–1116, 2009.
6. А. Бэдделей, И. Б {а} р {а} нй и Р. Шнайдер. Процессы пространственных точек и их приложения. Стохастическая геометрия: лекции, прочитанные на летней школе CIME в Мартина-Франка, Италия, 13–18 сентября 2004 г., страницы 1–75, 2007.
7. Д. Дж. Дейли и Д. Вер-Джонс. Введение в теорию точечных процессов. Vol. {II}. Вероятность и ее приложения (Нью-Йорк). Спрингер, Нью-Йорк, второе издание, 2008 г.
8. Мёллер, Джеспер; Ваагепетерсен, Расмус Пленге (2003). Статистический вывод и моделирование процессов пространственных точек. Монографии C & H / CRC по статистике и прикладной вероятности. 100. CiteSeerX  10.1.1.124.1275. Дои:10.1201/9780203496930. ISBN  978-1-58488-265-7.
9. Ф. Баччелли и Б. Блащишин. Стохастическая геометрия и беспроводные сети, Том II - Приложения, том 4, №1–2 из Основы и тенденции в сети. Издательство NoW, 2009.
10. Дж. Ф. К. Кингман. Пуассоновские процессы, том 3. Издательство Оксфордского университета, 1992.
11. Б. Блащишин. Факториально-моментное разложение для стохастических систем. Stoch. Proc. Appl., 56:321–335, 1995.
12. Д. П. Крезе и В. Шмидт. Анализ легкого трафика для очередей с пространственно распределенными поступлениями. Математика исследования операций, 21 (1): с. 135–157, 1996.