Аналогия мобильности - Mobility analogy

В аналогия мобильности, также называемый аналогия приема или же Аналогия с огненным камнем, представляет собой метод представления механической системы аналогичной электрической системой. Преимущество этого состоит в том, что существует большой объем теории и методов анализа сложных электрических систем, особенно в области фильтры.^[1] Путем преобразования в электрическое представление эти инструменты в области электричества могут быть напрямую применены к механической системе без изменений. Еще одно преимущество проявляется в электромеханические системы: Преобразование механической части такой системы в электрическую область позволяет анализировать всю систему как единое целое.

Математическое поведение моделируемой электрической системы идентично математическому поведению представленной механической системы. Каждый элемент в электрической области имеет соответствующий элемент в механической области с аналогичным конститутивное уравнение. Все законы анализ схем, Такие как Законы Кирхгофа, применимые в области электричества, также применимы к аналогии с механической подвижностью.

Аналогия мобильности - одна из двух основных механико-электрические аналогии используется для представления механических систем в области электричества, другой - аналогия импеданса. Роли напряжения и тока в этих двух методах меняются местами, и получаемые электрические представления являются двойные цепи друг друга. Аналогия мобильности сохраняет топологию механической системы при переносе в электрическую область, тогда как аналогия импеданса - нет. С другой стороны, аналогия импеданса сохраняет аналогию между электрический импеданс и механическое сопротивление тогда как аналогия мобильности - нет.

Приложения

Аналогия мобильности широко используется для моделирования поведения механические фильтры. Эти фильтры предназначены для использования в электронных схемах, но полностью работают за счет механических колебательных волн. Преобразователи предусмотрены на входе и выходе фильтра для преобразования между электрической и механической областями.^[2]

Еще одно очень распространенное использование - это звуковое оборудование, такое как громкоговорители. Громкоговорители состоят из преобразователя и механических движущихся частей. Сами акустические волны - это волны механического движения: молекул воздуха или другой текучей среды.^[3]

Элементы

Прежде чем можно будет разработать электрическую аналогию для механической системы, ее необходимо сначала описать как абстрактную. механическая сеть. Механическая система разбита на ряд идеальных элементов, каждый из которых затем может быть соединен с электрическим аналогом.^[4] Символы, используемые для этих механических элементов на схемах сети, показаны в следующих разделах для каждого отдельного элемента.

Механические аналогии сосредоточенных электрические элементы являются также сосредоточенные элементы, то есть предполагается, что механический компонент, содержащий элемент, достаточно мал, чтобы время, затрачиваемое на механические волны распространением от одного конца компонента к другому можно пренебречь. Можно также провести аналогии для распределенные элементы Такие как линии передачи но наибольшие преимущества имеют схемы с сосредоточенными элементами. Механические аналогии необходимы для трех пассивных электрических элементов, а именно: сопротивление, индуктивность и емкость. Каковы эти аналогии, определяется тем, какое механическое свойство выбрано для представления Напряжение, и какое свойство выбрано для представления Текущий.^[5] В аналогии с мобильностью аналог напряжения скорость и аналог тока сила.^[6] Механическое сопротивление определяется как отношение силы к скорости, поэтому оно не аналогично электрический импеданс. Скорее, это аналог электрический допуск, инверсия импеданса. Механический доступ чаще называют подвижностью,^[7] отсюда и название аналогии.^[8]

Сопротивление

Механический символ демпфера (слева) и его электрическая аналогия (справа).^[9] Символ призван вызвать воспоминания о приборная панель.^[10]

Механическая аналогия электрического сопротивления - потеря энергии движущейся системы посредством таких процессов, как трение. Механический компонент, аналогичный резистор это амортизатор и свойство, аналогичное обратному сопротивлению (проводимости), равно демпфирование (обратное, потому что электрическое сопротивление аналогично обратному механическому сопротивлению). Резистор регулируется основным уравнением Закон Ома,

${\displaystyle i=vG}$

Аналогичное уравнение в механической области:

${\displaystyle F=uR_{\mathrm {m} }}$

куда,

грамм = 1/р это проводимость

р сопротивление

v напряжение

я текущий

р_м механическое сопротивление или демпфирование

F это сила

ты скорость, индуцированная силой.^[10]

Электрическая проводимость представляет собой реальная часть из электрический допуск. Точно так же механическое сопротивление является реальной частью механическое сопротивление.^[11]

Индуктивность

Механический символ элемента податливости (слева) и его электрическая аналогия (справа).^[6] Этот символ должен вызывать воспоминания о весне.^[12]

Механическая аналогия индуктивности в аналогии мобильности - податливость. В механике чаще обсуждают жесткость, обратное соответствие. Механический компонент, аналогичный индуктор это весна. Индуктор регулируется материальным уравнением,

${\displaystyle v=L{\frac {di}{dt}}}$

Аналогичное уравнение в механической области представляет собой форму Закон Гука,

${\displaystyle u=C_{\mathrm {m} }{\frac {dF}{dt}}}$

куда,

L это индуктивность

т время

C_м = 1/S механическая податливость

S жесткость^[13]

Импеданс катушки индуктивности чисто воображаемый и дается,

${\displaystyle Z=j\omega L}$

Аналогичная механическая проводимость определяется выражением

${\displaystyle Y_{\mathrm {m} }=j\omega C_{\mathrm {m} }}$

куда,

Z это электрическое сопротивление

j это мнимая единица

ω является угловая частота

Y_м механическое сопротивление.^[14]

Емкость

Механический символ массы (слева) и его электрическая аналогия (справа).^[6] Квадратный угол под массой означает, что движение массы происходит относительно системы отсчета.^[15]

Механическая аналогия емкости в аналогии мобильности: масса. Механический компонент, аналогичный конденсатор это большой жесткий груз. Конденсатор регулируется материальным уравнением,

${\displaystyle i=C{\frac {dv}{dt}}}$

Аналогичное уравнение в механической области имеет вид Второй закон движения Ньютона,

${\displaystyle F=M{\frac {du}{dt}}}$

куда,

C это емкость

M масса

Импеданс конденсатора чисто мнимый и определяется как

${\displaystyle Z={1 \over j\omega C}}$

Аналогичная механическая проводимость определяется выражением

${\displaystyle Y_{\mathrm {m} }={1 \over j\omega M}}$.^[16]

Инертность

Любопытная трудность возникает с массой как аналогом электрического элемента. Это связано с тем, что в механических системах скорость массы (и, что более важно, ее ускорение) всегда измеряется относительно некоторой фиксированной системы отсчета, обычно Земли. Рассматриваемый как элемент системы с двумя выводами, масса имеет один вывод со скоростью u, аналогично электрическому потенциалу. Другой вывод имеет нулевую скорость и аналогичен электрическому потенциалу земли. Таким образом, массу нельзя использовать как аналог незаземленного конденсатора.^[17]

Это привело Малькольм С. Смит из Кембриджский университет в 2002 году для определения нового элемента накопления энергии для механических сетей, названного инертность. Компонент, обладающий инертностью, называется инертер. Два вывода инертора, в отличие от массы, могут иметь две разные произвольные скорости и ускорения. Основное уравнение инертора имеет вид^[18]

${\displaystyle F=B\left({\frac {du_{\mathrm {2} }}{dt}}-{\frac {du_{\mathrm {1} }}{dt}}\right)=B{\frac {d\Delta u}{dt}}}$

куда,

F равная и противоположная сила, приложенная к двум клеммам

B инертность

ты₁ и ты₂ - скорости на терминалах 1 и 2 соответственно

Δты = ты₂ − ты₁

Единицы инерции такие же, как и у массы (килограммы в Система СИ ), а название указывает на его отношение к инерция. Смит не просто определил теоретический элемент сети, он также предложил конструкцию реального механического компонента и сделал небольшой прототип. Инертер Смита состоит из плунжера, который может входить или выходить из цилиндра. Плунжер соединен с рейка и шестерня шестерня, которая приводит в движение маховик внутри цилиндра. Могут быть два маховика встречного вращения, чтобы предотвратить крутящий момент развивающийся. Энергия, возникающая при вдавливании плунжера внутрь, будет возвращена, когда плунжер движется в противоположном направлении, поэтому устройство накапливает энергию, а не рассеивает ее, как блок массы. Однако фактическая масса инертора может быть очень маленькой, идеальный инертор не имеет массы. Две точки на инертере, плунжер и корпус цилиндра, могут быть независимо подключены к другим частям механической системы, причем ни одна из них не обязательно должна быть заземлена.^[19]

Инертер Смита нашел применение в Формула один гонки, где он известен как J-демпфер. Используется как альтернатива запрещенному сейчас настроенный массовый демпфер и является частью подвески автомобиля. Возможно, впервые он был тайно использован Макларен в 2005 году после сотрудничества со Смитом. Считается, что теперь его используют и другие команды. Инертор намного меньше настроенного демпфера массы и сглаживает пятно контакта колебания нагрузки на шины.^[20] Смит также предлагает использовать инертор для уменьшения вибрации машины.^[21]

Сложность с массой в механических аналогиях не ограничивается аналогией с мобильностью. Соответствующая проблема также возникает в аналогии с импедансом, но в этом случае это незаземленные индукторы, а не конденсаторы, которые не могут быть представлены стандартными элементами.^[22]

Резонатор

Механический резонатор состоит из элемента массы и элемента податливости. Механические резонаторы аналогичны электрическим LC-схемы состоящий из индуктивности и емкости. Настоящие механические компоненты неизбежно имеют как массу, так и податливость, поэтому на практике целесообразно создавать резонаторы как единый компонент. На самом деле, сложнее получить чистую массу или чистую податливость как отдельный компонент. Пружина может быть изготовлена ​​с определенной податливостью и минимальной массой, или масса может быть сделана с минимальной податливостью, но ни то, ни другое нельзя полностью исключить. Механические резонаторы - ключевой компонент механических фильтров.^[23]

Генераторы

Механический символ генератора постоянной скорости (слева) и его электрическая аналогия (справа)^[24]

Механический символ генератора постоянной силы (слева) и его электрическая аналогия (справа)^[25]

Существуют аналоги активных электрических элементов источник напряжения и Источник тока (генераторы). Механический аналог в аналоге подвижности генератора постоянного тока - генератор постоянной силы. Механическим аналогом генератора постоянного напряжения является генератор постоянной скорости.^[26]

Примером генератора постоянной силы является пружина постоянной силы. Примером практического генератора постоянной скорости является легкая мощная машина, такая как мотор, вождение пояс. Это аналогично реальному источнику напряжения, такому как аккумулятор, который остается близким к постоянному напряжению с нагрузкой, при условии, что сопротивление нагрузки намного выше, чем внутреннее сопротивление аккумулятора.^[27]

Преобразователи

Электромеханические системы требовать преобразователи для преобразования между электрическим и механическим доменами. Они аналогичны двухпортовые сети и подобные им могут быть описаны парой одновременных уравнений и четырьмя произвольными параметрами. Существует множество возможных представлений, но форма, наиболее применимая к аналогии мобильности, имеет произвольные параметры в единицах допуска. В матричной форме (с электрической стороной, взятой как порт 1) это представление выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}i\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{11}&y_{12}\\y_{21}&y_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v\\F\end{bmatrix}}}$

Элемент ${\displaystyle y_{22}\,}$ - это механическая проводимость при коротком замыкании, то есть полная проводимость, представленная механической стороной преобразователя, когда нулевое напряжение (короткое замыкание) подается на электрическую сторону. Элемент ${\displaystyle y_{11}\,}$, наоборот, это электрическая проводимость без нагрузки, то есть проводимость, представленная электрической стороне, когда механическая сторона не вызывает нагрузку (нулевая сила). Остальные два элемента, ${\displaystyle y_{21}\,}$ и ${\displaystyle y_{12}\,}$, опишите функции прямого и обратного преобразования преобразователя соответственно. Оба они аналогичны прием трансфера и представляют собой гибридные отношения электрической и механической величины.^[28]

Трансформеры

Механическая аналогия с трансформатор это простая машина например, шкив или рычаг. Сила, приложенная к нагрузке, может быть больше или меньше входной силы в зависимости от того, механическое преимущество машины больше или меньше единицы соответственно. Механическое преимущество аналогично обратной величине коэффициента трансформации трансформатора в аналогии мобильности. Механическое преимущество меньше единицы аналогично повышающему трансформатору, а больше единицы аналогично понижающему трансформатору.^[29]

Уравнения мощности и энергии

Таблица аналогичных уравнений мощности и энергии в аналогии подвижности

Электрическое количество	Электрическое выражение	Механическая аналогия	Механическое выражение
Поставленная энергия	${\displaystyle E=\int vi\ dt}$	Поставленная энергия	${\displaystyle E=\int Fu\ dt}$
Поставляемая мощность	${\displaystyle P=vi}$	Поставляемая мощность	${\displaystyle P=Fu}$
Рассеивание мощности в резисторе	${\displaystyle P=i^{2}R={v^{2} \over R}}$	Рассеивание мощности в демпфере[9]	${\displaystyle P=u^{2}R_{\mathrm {m} }={F^{2} \over R_{\mathrm {m} }}}$
Энергия, запасенная в магнитном поле индуктора	${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}Li^{2}}$	Потенциальная энергия, запасенная в пружине[1]	${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}C_{\mathrm {m} }F^{2}}$
Энергия, запасенная в электрическом поле конденсатора	${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}Cv^{2}}$	Кинетическая энергия движущейся массы[1]	${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}Mu^{2}}$

Примеры

Простой резонансный контур

Простой механический резонатор (слева) и эквивалентная схема его аналога подвижности (справа)

На рисунке показано механическое устройство платформы массы. M который подвешен над основанием пружиной жесткости S и демпфер сопротивления р_м. Эквивалентная схема аналогии мобильности показана справа от этой схемы и состоит из параллельный резонансный контур. Эта система имеет резонансная частота, и может иметь собственная частота колебаний, если не слишком сильно затухать.^[30]

Преимущества и недостатки

Основное преимущество аналогии мобильности перед ее альтернативой - аналогия импеданса, заключается в том, что он сохраняет топологию механической системы. Элементы, которые включены в механическую систему, включены последовательно в электрической эквивалентной схеме, а элементы, включенные параллельно в механической системе, остаются параллельными в электрическом эквиваленте.^[31]

Главный недостаток аналогии с подвижностью состоит в том, что она не поддерживает аналогию между электрическим и механическим импедансом. Механический импеданс представлен как электрическая проводимость, а механическое сопротивление представлено как электрическая проводимость в электрической эквивалентной схеме. Сила не аналогична напряжению (генератор напряжения часто называют электродвижущая сила ), а скорее аналог текущего.^[17]

История

Исторически аналогия импеданса использовалась задолго до аналогии мобильности. Механический допуск и соответствующая аналогия мобильности были введены Ф. А. Файерстоуном в 1932 году для преодоления проблемы сохранения топологии.^[32] У В. Хенле независимо была такая же идея в Германии. Гораций М. Трент разработал методику аналогий в целом на основе математических теория графов точки зрения и представил новую собственную аналогию.^[33]

Рекомендации

1. Талбот-Смит, стр. 1,86
2. Карр, стр. 170–171.
3. Eargle, стр. 5–8.
4. Кляйнер, стр. 69–70.
5. Буш-Вишняк, стр. 18–20.
6. Eargle, стр. 5
7. Фахи и Гардонио, стр. 71
8. Буш-Вишняк, стр. 19
9. Eargle, стр. 4
10. Кляйнер, стр. 71
11. Аткинс и Эскудье, стр. 216
12. Кляйнер, стр. 73
13. Смит, стр. 1651
14. Кляйнер, стр. 73–74.
15. Кляйнер, стр. 74
16. Кляйнер, стр. 72–73.
17. Буш-Вишняк, стр. 20
18. Смит, стр. 1649–1650.
19. Смит, стр. 1650–1651.
20. Де Гроот
21. Смит, стр. 1661
22. Смит, стр. 1649
23. Тейлор и Хуанг, стр. 377–383.
24. Кляйнер, стр. 77
    • Беранек и Меллоу, стр. 70
25. Кляйнер, стр. 76
    • Беранек и Меллоу, стр. 70
26. Кляйнер, стр. 76–77.
27. Кляйнер, стр. 77
28. Дебнат и Рой, стр. 566–567.
29. Кляйнер, стр. 74–76.
    • Беранек и Меллоу, стр. 76–77.
30. Eargle, стр. 4–5.
31. Буш-Вишняк, стр. 20–21.
    • Eargle, стр. 4–5.
32. Пирс, стр. 321
    • Firestone
    • Пусей, стр. 547
33. Findeisen, p. 26
    • Буш-Вишняк, стр. 19–20.
    • Hähnle
    • Трент

Библиография

• Аткинс, Тони; Эскудье, Марсель, Словарь по машиностроению, Oxford University Press, 2013 г. ISBN  0199587434.
• Беранек, Лео Лерой; Меллоу, Тим Дж., Акустика: звуковые поля и преобразователи, Academic Press, 2012 г. ISBN  0123914213.
• Буш-Вишняк, Илен Дж., Электромеханические датчики и исполнительные механизмы, Springer Science & Business Media, 1999 г. ISBN  038798495X.
• Карр, Джозеф Дж., Радиочастотные компоненты и схемы, Новости, 2002 ISBN  0-7506-4844-9.
• Debnath, M.C .; Рой, Т., «Переносная матрица рассеяния неоднородных преобразователей поверхностных акустических волн», Международный журнал математики и математических наук, т. 10, вып. 3. С. 563–581, 1987.
• Де Гроот, Стивен, «J-амортизаторы в Формуле-1», F1 Technical, 27 сентября 2008 г.
• Эргл, Джон, Руководство по громкоговорителям, Kluwer Academic Publishers, 2003 г. ISBN  1402075847.
• Фахи, Фрэнк Дж .; Гардонио, Паоло, Звуковая и структурная вибрация: излучение, передача и реакция, Academic Press, 2007 г. ISBN  0080471102.
• Финдейсен, Дитмар, Системная динамика и механические колебания, Спрингер, 2000 ISBN  3540671447.
• Файерстоун, Флойд А., «Новая аналогия между механическими и электрическими системами», Журнал Акустического общества Америки, т. 4. С. 249–267 (1932–1933).
• Hähnle, W., "Die Darstellung elektromechanischer Gebilde durch rein elektrische Schaltbilder", Wissenschaftliche Veröffentlichungen aus dem Siemens-Konzern, т. 1, вып. 11. С. 1–23, 1932.
• Кляйнер, Мендель, Электроакустика, CRC Press, 2013 ISBN  1439836183.
• Пирс, Аллан Д., Акустика: введение в ее физические принципы и приложения, Акустическое общество Америки 1989 ISBN  0883186128.
• Пьюзи, Генри К. (ред.), 50 лет технологии ударов и вибрации, Центр анализа информации о ударах и вибрации, Booz-Allen & Hamilton, Inc., 1996 г. ISBN  0964694026.
• Смит, Малкольм К., «Синтез механических сетей: инертор», IEEE Transactions по автоматическому контролю, т. 47, вып. 10. С. 1648–1662, октябрь 2002 г.
• Талбот-Смит, Майкл, Справочник звукоинженера, Тейлор и Фрэнсис, 2013 г. ISBN  1136119736.
• Тейлор, Джон; Хуан, Цютин, Справочник CRC по электрическим фильтрам, CRC Press, 1997 ISBN  0849389518.
• Трент, Гораций М., "Изоморфизмы ориентированных линейных графов и сосредоточенных физических систем", Журнал акустического общества Америки, т. 27. С. 500–527, 1955.