Аналогия импеданса - Impedance analogy

В аналогия импеданса представляет собой метод представления механической системы аналогичной электрической системой. Преимущество этого состоит в том, что существует большой объем теории и методов анализа сложных электрических систем, особенно в области фильтры.^[1] Путем преобразования в электрическое представление эти инструменты в области электричества могут быть напрямую применены к механической системе без изменений. Еще одно преимущество проявляется в электромеханические системы: Преобразование механической части такой системы в электрическую область позволяет анализировать всю систему как единое целое.

Математическое поведение моделируемой электрической системы идентично математическому поведению представленной механической системы. Каждый элемент в электрической области имеет соответствующий элемент в механической области с аналогичным конститутивное уравнение. Каждый закон анализ схем, Такие как Законы Кирхгофа, применимые в электрической области, также применимы к аналогии с механическим импедансом.

Аналогия с импедансом - одна из двух основных механико-электрические аналогии используется для представления механических систем в области электричества, другой - аналогия мобильности. Роли напряжения и тока в этих двух методах меняются местами, и производимые электрические представления являются двойные цепи друг друга. Аналогия импеданса сохраняет аналогию между электрический импеданс и механическое сопротивление тогда как аналогия мобильности - нет. С другой стороны, аналогия мобильности сохраняет топологию механической системы при переносе в электрическую область, тогда как аналогия импеданса - нет.

Приложения

Аналогия импеданса широко используется для моделирования поведения механические фильтры. Эти фильтры предназначены для использования в электронных схемах, но полностью работают за счет механических колебательных волн. Преобразователи предусмотрены на входе и выходе фильтра для преобразования между электрической и механической областями.^[2]

Еще одно очень распространенное использование - это звуковое оборудование, такое как громкоговорители. Громкоговорители состоят из преобразователя и механических движущихся частей. Сами акустические волны - это волны механического движения: молекул воздуха или другой текучей среды. Очень ранним применением этого типа было сделать значительные улучшения к ужасным звуковым характеристикам фонографы. В 1929 г. Эдвард Нортон спроектировал механические части фонографа так, чтобы они работали как максимально плоский фильтр, тем самым предвосхищая электронные Фильтр Баттерворта.^[3]

Элементы

Прежде чем можно будет разработать электрическую аналогию для механической системы, ее необходимо сначала описать как абстрактную. механическая сеть. Механическая система разбита на ряд идеальных элементов, каждый из которых затем может быть соединен с электрическим аналогом.^[4] Символы, используемые для этих механических элементов на схемах сети, показаны в следующих разделах для каждого отдельного элемента.

Механические аналогии сосредоточенных электрические элементы являются также сосредоточенные элементы, то есть предполагается, что механический компонент, содержащий элемент, достаточно мал, чтобы время, затрачиваемое на механические волны распространением от одного конца компонента к другому можно пренебречь. Можно также провести аналогии для распределенные элементы Такие как линии передачи но наибольшие преимущества имеют схемы с сосредоточенными элементами. Механические аналогии необходимы для трех пассивных электрических элементов, а именно: сопротивление, индуктивность и емкость. То, что представляют собой эти аналогии, определяется тем, какое механическое свойство выбрано для представления «усилия», аналогия Напряжение, и свойство, выбранное для представления «потока», аналогия Текущий.^[5] В аналогии с импедансом переменная усилия равна сила и переменная потока скорость.^[6]

Сопротивление

Механический символ демпфера (слева) и его электрическая аналогия (справа).^[7] Символ призван вызвать воспоминания о приборная панель.^[8]

Механическая аналогия электрического сопротивления - это потеря энергии движущейся системы в результате таких процессов, как трение. Механический компонент, аналогичный резистор это амортизатор и свойство, аналогичное сопротивлению, равно демпфирование. Резистор регулируется основным уравнением Закон Ома,

${\displaystyle v=iR}$

Аналогичное уравнение в механической области:

${\displaystyle F=uR_{\mathrm {m} }}$

куда,

р сопротивление

v напряжение

я текущий

р_м механическое сопротивление или демпфирование

F это сила

ты скорость, индуцированная силой.^[6]

Электрическое сопротивление представляет собой реальная часть из электрический импеданс. Точно так же механическое сопротивление является реальной частью механическое сопротивление.^[8]

Индуктивность

Механический символ массы (слева) и его электрическая аналогия (справа).^[7] Квадратный угол под массой означает, что движение массы происходит относительно системы координат.^[9]

Механическая аналогия индуктивности в аналогии импеданса: масса. Механический компонент, аналогичный индуктор это большой жесткий груз. Индуктор регулируется материальным уравнением,

${\displaystyle v=L{\frac {di}{dt}}}$

Аналогичное уравнение в механической области имеет вид Второй закон движения Ньютона,

${\displaystyle F=M{\frac {du}{dt}}}$

куда,

L это индуктивность

т время

M масса^[6]

Импеданс катушки индуктивности чисто воображаемый и дается,

${\displaystyle Z=j\omega L}$

Аналогичный механический импеданс определяется выражением

${\displaystyle Z_{\mathrm {m} }=j\omega M}$

куда,

Z это электрическое сопротивление

j это мнимая единица

ω является угловая частота

Z_м механическое сопротивление.^[10]

Емкость

Механический символ элемента жесткости (слева) и его электрическая аналогия (справа).^[7] Этот символ должен вызывать воспоминания о весне.^[11]

Механическая аналогия емкости в аналогии импеданса - податливость. В механике чаще обсуждают жесткость, обратное соответствие. Аналогия жесткости в электрической области используется реже. эластичность, величина, обратная емкости.^[12] Механический компонент, аналогичный конденсатор это весна.^[13] Конденсатор регулируется материальным уравнением,

${\displaystyle v=D\int idt}$

Аналогичное уравнение в механической области представляет собой форму Закон Гука,

${\displaystyle F=S\int udt}$

куда,

D = 1/C эластичность

C это емкость

S жесткость

Импеданс конденсатора чисто мнимый и определяется как

${\displaystyle Z={\frac {D}{j\omega }}}$

Аналогичный механический импеданс определяется выражением

${\displaystyle Z_{\mathrm {m} }={\frac {S}{j\omega }}}$

В качестве альтернативы можно написать:

${\displaystyle Z_{\mathrm {m} }={\frac {1}{j\omega C_{\mathrm {m} }}}}$

куда,

C_м = 1/S механическая податливость

что более прямо аналогично электрическому выражению при использовании емкости.^[14]

Резонатор

Механический резонатор состоит из элемента массы и элемента податливости. Механические резонаторы аналогичны электрическим LC-схемы состоящий из индуктивности и емкости. Настоящие механические компоненты неизбежно имеют как массу, так и податливость, поэтому с практической точки зрения целесообразно делать резонаторы как единый компонент. На самом деле сложнее получить чистую массу или чистую податливость как отдельный компонент. Пружина может быть изготовлена ​​с определенной податливостью и минимальной массой, или масса может быть сделана с минимальной податливостью, но ни то, ни другое нельзя полностью исключить. Механические резонаторы - ключевой компонент механических фильтров.^[15]

Генераторы

Механический символ генератора постоянной силы (слева) и его электрическая аналогия (справа)^[16]

Механический символ генератора постоянной скорости (слева) и его электрическая аналогия (справа)^[17]

Существуют аналоги активных электрических элементов источник напряжения и Источник тока (генераторы). Механический аналог в аналоге импеданса генератора постоянного напряжения - генератор постоянной силы. Механическим аналогом генератора постоянного тока является генератор постоянной скорости.^[18]

Примером генератора постоянной силы является пружина постоянной силы. Это аналогично реальному источнику напряжения, такому как аккумулятор, который остается близким к постоянному напряжению с нагрузкой при условии, что сопротивление нагрузки намного выше, чем внутреннее сопротивление аккумулятора. Примером практического генератора постоянной скорости является легкая мощная машина, такая как мотор, вождение пояс.^[19]

Преобразователи

Электромеханические системы требовать преобразователи для преобразования между электрическим и механическим доменами. Они аналогичны двухпортовые сети и подобные им могут быть описаны парой одновременных уравнений и четырьмя произвольными параметрами. Существует множество возможных представлений, но форма, наиболее применимая к аналогии импеданса, имеет произвольные параметры в единицах импеданса. В матричной форме (с электрической стороной, взятой как порт 1) это представление выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}v\\F\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}i\\u\end{bmatrix}}}$

Элемент ${\displaystyle z_{22}\,}$ - это механический импеданс разомкнутой цепи, то есть импеданс, представленный механической стороной преобразователя, когда ток (разомкнутая цепь) не поступает на электрическую сторону. Элемент ${\displaystyle z_{11}\,}$, наоборот, это фиксированный электрический импеданс, то есть полное сопротивление, представленное электрической стороне, когда механическая сторона зажата и не может двигаться (скорость равна нулю). Остальные два элемента, ${\displaystyle z_{21}\,}$ и ${\displaystyle z_{12}\,}$, опишите функции прямого и обратного преобразования преобразователя соответственно. Оба они аналогичны передаточные сопротивления и представляют собой гибридные отношения электрической и механической величины.^[20]

Трансформеры

Механическая аналогия с трансформатор это простая машина например, шкив или рычаг. Сила, приложенная к нагрузке, может быть больше или меньше входной силы в зависимости от того, механическое преимущество машины больше или меньше единицы соответственно. Механическое преимущество аналогично соотношению витков трансформатора в аналогии импеданса. Механическое преимущество больше единицы аналогично повышающему трансформатору, а меньшее единицы - аналогично понижающему трансформатору.^[21]

Уравнения мощности и энергии

Таблица аналогичных уравнений мощности и энергии

Электрическое количество	Электрическое выражение	Механическая аналогия	Механическое выражение
Поставленная энергия	${\displaystyle E=\int vi\ dt}$	Поставленная энергия	${\displaystyle E=\int Fu\ dt}$
Поставляемая мощность	${\displaystyle P=vi}$	Поставляемая мощность	${\displaystyle P=Fu}$
Рассеивание мощности в резисторе	${\displaystyle P=i^{2}R={v^{2} \over R}}$	Рассеивание мощности в демпфере[7]	${\displaystyle P=u^{2}R_{\mathrm {m} }={F^{2} \over R_{\mathrm {m} }}}$
Энергия, запасенная в магнитном поле индуктора	${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}Li^{2}}$	Кинетическая энергия движущейся массы[22]	${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}Mu^{2}}$
Энергия, запасенная в электрическом поле конденсатора	${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}Cv^{2}}$	Потенциальная энергия, запасенная в пружине[22]	${\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}C_{\mathrm {m} }F^{2}}$

Примеры

Простой резонансный контур

Простой механический резонатор (слева) и эквивалентная схема его импеданса (справа)

На рисунке показано механическое устройство платформы массы. M который подвешен над основанием пружиной жесткости S и демпфер сопротивления р. Эквивалентная схема аналогии импеданса показана справа от этой схемы и состоит из последовательный резонансный контур. Эта система имеет резонансная частота, и может иметь собственная частота колебаний, если не слишком сильно затухать.^[23]

Модель человеческого уха

Одна эквивалентная схема человеческого уха с использованием аналогии импеданса

Анатомия уха.

  Браун наружное ухо.

  Красный среднее ухо.

  Фиолетовый внутреннее ухо.

На принципиальной схеме показана модель аналогии импеданса человеческое ухо. В ушной канал за разделом следует трансформатор, представляющий барабанная перепонка. Барабанная перепонка - это преобразователь между акустическими волнами в воздухе в слуховом проходе и механическими колебаниями в костях среднего уха. На улитка происходит еще одно изменение среды от механических колебаний к жидкости, заполняющей улитку. Таким образом, этот пример демонстрирует силу электрических аналогий в объединении трех областей (акустической, механической и потока жидкости) в единое целое. Если бы нервные импульсы, поступающие в мозг, также были включены в модель, то электрический домен образовал бы четыре домена, охватываемых моделью.

Часть контура улитки использует анализ методом конечных элементов непрерывного линия передачи улиткового протока. Идеальное представление такой структуры будет использовать бесконечно малый элементов, и, следовательно, их было бы бесконечное количество. В этой модели улитка разделена на 350 секций, и каждая секция моделируется с использованием небольшого количества сосредоточенных элементов.^[24]

Преимущества и недостатки

Основное преимущество аналогии импеданса перед ее альтернативой - аналогия мобильности, заключается в том, что он поддерживает аналогию между электрическим и механическим сопротивлением. То есть механический импеданс представлен как электрический импеданс, а механическое сопротивление представлено как электрическое сопротивление в электрической эквивалентной схеме. Также естественно рассматривать силу как аналог напряжения (генератор напряжения часто называют электродвижущая сила ) и скорость аналогична току. Именно эта основная аналогия приводит к аналогии между электрическим и механическим импедансом.^[25]

Главный недостаток аналогии с импедансом заключается в том, что она не сохраняет топологию механической системы. Элементы, которые включены последовательно в механической системе, параллельны в электрической эквивалентной схеме и наоборот.^[26]

Матрица импеданса преобразователя преобразует силу в механической области в ток в электрической области. Точно так же скорость в механической области преобразуется в напряжение в электрической области. Двухпортовое устройство, преобразующее напряжение в аналогичную величину, можно представить в виде простого трансформатор. Устройство, преобразующее напряжение в аналог двойного свойства напряжения (то есть ток, аналогом которого является скорость), представляется как гиратор.^[27] Поскольку сила аналогична напряжению, а не току, на первый взгляд это может показаться недостатком. Однако многие практические преобразователи, особенно на звуковые частоты, работа электромагнитная индукция и регулируются именно такими отношениями.^[28] Например, сила на проводнике с током дан кем-то,

${\displaystyle F=BIl}$

куда,

B это плотность магнитного потока

л длина проводника

История

Аналогию импеданса иногда называют аналогией Максвелла.^[29] после Джеймс Клерк Максвелл (1831–1879), который использовал механические аналогии для объяснения своих идей об электромагнитных полях.^[30] Однако срок сопротивление не был изобретен до 1886 г. Оливер Хевисайд ),^[31] идея комплексный импеданс был представлен Артур Э. Кеннелли в 1893 г., а понятие импеданса не было распространено на механическую сферу до 1920 г. Кеннелли и Артур Гордон Вебстер.^[32]

Анри Пуанкаре в 1907 г. впервые описал преобразователь как пару линейная алгебраическая уравнения, связывающие электрические переменные (напряжение и ток) с механическими переменными (сила и скорость).^[33] Вегель в 1921 году первым выразил эти уравнения в терминах механического сопротивления, а также электрического сопротивления.^[34]

Рекомендации

1. Талбот-Смит, стр. 1,86
2. Карр, стр. 170–171.
3. Дарлингтон, стр. 7
   • Харрисон
4. Кляйнер, стр. 69–70.
5. Буш-Вишняк, стр. 20
6. Талбот-Смит, стр. 1.85–1.86.
7. Eargle, стр. 4
8. Кляйнер, стр. 71
9. Кляйнер, стр. 74
10. Кляйнер, стр. 73–74.
11. Кляйнер, стр. 73
12. Трубы и Харвилл, стр. 187
13. Кляйнер, стр. 73
14. Кляйнер, стр. 72–73.
15. Тейлор и Хуанг, стр. 377–383.
16. Кляйнер, стр. 76
    • Беранек и Меллоу, стр. 70
17. Кляйнер, стр. 77
    • Беранек и Меллоу, стр. 70
18. Кляйнер, стр. 76–77.
19. Кляйнер, стр. 77
20. Джексон, стр. 16–17.
    • Пайк, стр. 572
21. Кляйнер, стр. 74–76.
    • Беранек и Меллоу, стр. 76–77.
22. Талбот-Смит, стр. 1,86
23. Eargle, стр. 3–4.
24. Фукадзава и Танака, стр. 191–192.
25. Буш-Вишняк, стр. 20
26. Буш-Вишняк, стр. 20–21.
    • Eargle, стр. 4–5.
27. Беранек и Меллоу, стр. 70–71.
28. Eargle, стр. 5–7.
29. Буш-Вишняк, стр. 20
30. Стивенс и Бейт, стр. 421
31. Martinsen & Grimnes, стр. 287
32. Hunt p. 66
33. Пирс, стр. 200, цитирует Пуанкаре
34. Хант, стр. 66
    • Пирс, стр. 200, цитирует Вегеля

Библиография

• Беранек, Лео Лерой; Меллоу, Тим Дж., Акустика: звуковые поля и преобразователи, Academic Press, 2012 г. ISBN  0123914213.
• Буш-Вишняк, Илен Дж., Электромеханические датчики и исполнительные механизмы, Springer Science & Business Media, 1999 г. ISBN  038798495X.
• Карр, Джозеф Дж., Радиочастотные компоненты и схемы, Новости, 2002 ISBN  0-7506-4844-9.
• Дарлингтон, С. «История синтеза сети и теории фильтров для схем, состоящих из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов», Транзакции IEEE в схемах и системах, т. 31, нет. 1. С. 3–13, 1984.
• Эргл, Джон, Руководство по громкоговорителям, Kluwer Academic Publishers, 2003 г. ISBN  1402075847.
• Фукадзава, Тацуя; Танака, Ясуо, "Вызванная отоакустическая эмиссия в модели улитки", стр. 191–196 в Hohmann, D. (ed), ЭКоГ, ОАЭ и интраоперационный мониторинг: материалы Первой международной конференции, Вюрцбург, Германия, 20–24 сентября 1992 г., Публикации Куглера, 1993 г. ISBN  9062990975.
• Харрисон, Генри К. «Акустическое устройство», Патент США 1,730,425 , подана 11 октября 1927 г. (а в Германии 21 октября 1923 г.), выдана 8 октября 1929 г.
• Хант, Фредерик В., Электроакустика: анализ трансдукции и ее исторические предпосылки, Издательство Гарвардского университета, 1954 г. OCLC  2042530.
• Джексон, Роджер Г., Новые датчики и зондирование, CRC Press, 2004 г. ISBN  1420033808.
• Кляйнер, Мендель, Электроакустика, CRC Press, 2013 ISBN  1439836183.
• Martinsen, Orjan G .; Гримнес, Сверре, Биоимпеданс и основы биоэлектричества, Academic Press, 2011 г. ISBN  0080568807.
• Пайк, Х. Дж., "Акселерометры сверхпроводимости, преобразователи гравитационных волн и градиентометры силы тяжести", стр. 569–598, в Weinstock, Harold, Датчики SQUID: основы, изготовление и применение, Springer Science & Business Media, 1996 г. ISBN  0792343506.
• Пирс, Аллан Д., Акустика: введение в ее физические принципы и приложения, Акустическое общество Америки 1989 ISBN  0883186128.
• Пайпс, Луи А .; Харвилл, Лоуренс Р., Прикладная математика для инженеров и физиков, Courier Dover Publications, 2014 г. ISBN  0486779513.
• Пуанкаре, Х., "Исследование телефонного приема", Eclairage Electrique, т. 50. С. 221–372, 1907.
• Стивенс, Раймонд Уильям Барроу; Бейт, А. Э., Акустика и вибрационная физика, Эдвард Арнольд, 1966 г. OCLC  912579.
• Талбот-Смит, Майкл, Справочник звукоинженера, Тейлор и Фрэнсис, 2013 г. ISBN  1136119736.
• Тейлор, Джон; Хуан, Цютин, Справочник CRC по электрическим фильтрам, CRC Press, 1997 ISBN  0849389518.
• Вегель, Р. Л., "Теория магнитомеханических систем применительно к телефонным приемникам и аналогичным структурам", Журнал Американского института инженеров-электриков, т. 40. С. 791–802, 1921.