Самолет Мебиуса - Möbius plane

В математике Самолет Мебиуса (названный в честь Август Фердинанд Мёбиус ) один из Самолеты Benz: Самолет Мебиуса, Самолет Лагерра и Самолет Минковского. Классический пример основан на геометрии линий и окружностей в реальной жизни. аффинная плоскость.

Второе название самолета Мёбиуса - инверсионный самолет. Это связано с существованием инверсии в классической плоскости Мёбиуса. Инверсия - это инволютивный отображение, при котором точки круга или прямой остаются неподвижными (см. ниже).

Отношение к аффинным плоскостям

Плоскость Мёбиуса: трогательное отношение

Аффинные плоскости - это системы точек и линий, которые удовлетворяют, среди прочего, свойству, что две точки определяют ровно одну линию. Эту концепцию можно обобщить на системы точек и окружностей, где каждый круг определяется тремя неколлинеарными точками. Однако три коллинеарен точки определяют линию, а не круг. Этот недостаток можно устранить, добавив точка в бесконечности к каждой строке. Если мы назовем оба круга и такие завершенные линии циклы, мы получаем структура заболеваемости в котором каждые три точки определяют ровно один цикл.

В аффинной плоскости связь между прямыми важна. В геометрии циклов это соотношение обобщается на трогательный связь. Два цикла трогать друг друга, если у них есть хотя бы одна общая черта. Это верно для двоих касательные круги или строка, которая касательная к окружности. Две завершенные линии соприкасаются, если у них есть только общая бесконечно удаленная точка, поэтому они параллельны. Отношение прикосновения обладает свойством

• для любого цикла ${\displaystyle z}$, точка ${\displaystyle P}$ на ${\displaystyle z}$ и любой момент ${\displaystyle Q}$ не на ${\displaystyle z}$ есть ровно один цикл ${\displaystyle z'}$ содержащие точки ${\displaystyle P,Q}$ и трогательно ${\displaystyle z}$ (в точке ${\displaystyle P}$).

Эти свойства по существу определяют аксиоматическая плоскость Мёбиуса. Но классическая плоскость Мёбиуса - не единственная геометрическая структура, которая удовлетворяет свойствам аксиоматической плоскости Мёбиуса. Другой простой пример плоскости Мёбиуса может быть получен, если заменить действительные числа на рациональное число. Использование сложные числа (вместо действительных чисел) не приводит к плоскости Мёбиуса, потому что в комплексной аффинной плоскости кривая ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ не круговая кривая, а гипербола. К счастью, есть много поля (числа) вместе с подходящими квадратичные формы которые ведут к плоскостям Мёбиуса (см. ниже). Такие примеры называются микелианский, потому что они выполняют Теорема Микеля. Все эти микелевы плоскости Мёбиуса можно описать с помощью космических моделей. Классическую вещественную плоскость Мёбиуса можно рассматривать как геометрию окружностей на единичной сфере. Существенным преимуществом космической модели является то, что любой цикл представляет собой просто круг (на сфере).

Классический настоящий самолет Мёбиуса

классический самолет Мебиуса: 2d / 3d-модель

Начнем с реальной аффинной плоскости ${\displaystyle {\mathfrak {A}}(\mathbb {R} )}$ с квадратичная форма ${\displaystyle \rho (x,y)=x^{2}+y^{2}}$ и получить настоящий Евклидова плоскость: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ это точка установить линии описываются уравнениями ${\displaystyle y=mx+b}$ или же ${\displaystyle x=c}$ и круг набор точек, удовлетворяющий уравнению

${\displaystyle \rho (x-x_{0},y-y_{0})=(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2},\ r>0}$.

Геометрию прямых и окружностей евклидовой плоскости можно гомогенизировать (аналогично проективному пополнению аффинной плоскости), вложив ее в структуру инцидентности

${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$

с

${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\mathbb {R} ^{2}\cup \{\infty \},\infty \notin \mathbb {R} }$, то набор точек, и

${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\{g\cup \{\infty \}\mid g{\text{ line of }}{\mathfrak {A}}(\mathbb {R} )\}\cup \{k\mid k{\text{ circle of }}{\mathfrak {A}}(\mathbb {R} )\}}$ то набор циклов.

${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ называется классический реальный самолет Мёбиуса.

В новой структуре завершенные линии больше не играют особой роли. Очевидно ${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ обладает следующими свойствами.

• Для любого набора из трех точек ${\displaystyle A,B,C}$ есть ровно один цикл ${\displaystyle z}$ который содержит ${\displaystyle A,B,C}$.
• Для любого цикла ${\displaystyle z}$, любая точка ${\displaystyle P\in z}$ и ${\displaystyle Q\notin z}$ существует ровно один цикл ${\displaystyle z'}$ с: ${\displaystyle P,Q\in z'}$ и ${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$, т.е. ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle z'}$ трогать друг друга в точке ${\displaystyle P}$.

${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ можно описать с помощью

сложные числа. ${\displaystyle z=x+iy}$ представляет точку ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}}$:

${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\mathbb {C} \cup \{\infty \},\infty \notin \mathbb {C} }$, и

${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\{\{z\in \mathbb {C} \mid az+{\overline {az}}+b=0\ {\text{(line)}}\ \}\cup \{\infty \}\mid \ 0\neq a\in \mathbb {C} ,b\in \mathbb {R} \}}$

${\displaystyle \cup \{\{z\in \mathbb {C} \mid (z-z_{0}){\overline {(z-z_{0})}}=d\ {\text{(circle)}}\mid z_{0}\in \mathbb {C} ,d\in \mathbb {R} ,d>0\}.}$

(${\displaystyle {\overline {z}}=x-iy}$ сопряженное число ${\displaystyle z}$.)

Преимущество этого описания состоит в том, что легко проверяется, что следующие перестановки ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ отображение циклов на циклах.

(1) ${\displaystyle z\rightarrow rz,\ \ \infty \rightarrow \infty \quad ,}$ с ${\displaystyle r\in \mathbb {C} }$ (вращение + дилатация)

(2) ${\displaystyle z\rightarrow z+s,\ \ \infty \rightarrow \infty \quad ,}$ с ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ (перевод)

(3) ${\displaystyle z\rightarrow \displaystyle {\frac {1}{z}},\ z\neq 0,\ \ 0\rightarrow \infty ,\ \ \infty \rightarrow 0\quad ,}$ (отражение на ${\displaystyle \pm 1}$)

(4) ${\displaystyle z\rightarrow {\overline {z}},\ \ \infty \rightarrow \infty \quad }$ (отражение или инверсия через действительную ось)

Учитывая ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ в качестве проективная линия над ${\displaystyle \mathbb {C} }$ можно понять, что сопоставления ${\displaystyle (1)-(3)}$ создать группу ${\displaystyle \operatorname {PGL} (2,\mathbb {C} )}$ (с. PGL (2, С), Преобразование Мёбиуса ). Геометрия ${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ однородная структура, т.е., это группа автоморфизмов является переходный. Отсюда из (4) получаем: Для любого цикла существует инверсия. Например: ${\displaystyle z\rightarrow {\tfrac {1}{\overline {z}}}}$ инверсия, фиксирующая единичный круг ${\displaystyle z{\overline {z}}=1}$. Это свойство дает начало альтернативному имени инверсионный самолет.

стереографическая проекция

Подобно космической модели дезаргова проективная плоскость существует космическая модель для геометрии ${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ который опускает формальное различие между циклами, определяемыми линиями, и циклами, определяемыми кругами: геометрия ${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ является изоморфный к геометрии окружностей на сфере. Изоморфизм может быть выполнен подходящим стереографическая проекция. Например:^[1]

${\displaystyle \Phi :\ (x,y)\rightarrow \left({\frac {x}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {y}{1+x^{2}+y^{2}}},{\frac {x^{2}+y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}}\right)=(u,v,w)\ .}$

${\displaystyle \Phi }$ это проекция с центром ${\displaystyle (0,0,1)}$ и карты

• плоскость x-y на сферу с уравнением ${\displaystyle u^{2}+v^{2}+w^{2}-w=0}$, середина ${\displaystyle (0,0,{\tfrac {1}{2}})}$ и радиус ${\displaystyle r={\tfrac {1}{2}}}$.
• то круг с уравнением ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-ax-by-c=0}$ в самолет ${\displaystyle au+bv-(1+c)w+c=0}$. Это означает, что изображение круга - это плоское сечение сферы и, следовательно, снова круг (на сфере). Соответствующие самолеты делают не содержать центр ${\displaystyle (0,0,1)}$.
• то линия ${\displaystyle ax+by+c=0}$ в самолет ${\displaystyle au+bv-cw+c=0}$. Итак, изображение прямой представляет собой окружность (на сфере) через точку ${\displaystyle (0,0,1)}$ но не содержащий точки ${\displaystyle (0,0,1)}$.

Аксиомы плоскости Мебиуса

Случайное поведение классической вещественной плоскости Мёбиуса дает основание для следующего определения аксиоматической плоскости Мёбиуса.

Плоскость Мёбиуса: аксиомы (A1), (A2)

Структура заболеваемости ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ с набор точек ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ и набор циклов${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ называется Самолет Мебиуса если верны следующие аксиомы:

A1: По любым трем точкам ${\displaystyle A,B,C}$ есть ровно один цикл ${\displaystyle z}$ который содержит ${\displaystyle A,B,C}$.

A2: Для любого цикла ${\displaystyle z}$, любая точка ${\displaystyle P\in z}$ и ${\displaystyle Q\notin z}$ существует ровно один цикл ${\displaystyle z'}$ с: ${\displaystyle P,Q\in z'}$ и ${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$ (${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle z'}$ трогать друг друга в точке ${\displaystyle P}$).

A3: Любой цикл содержит не менее трех точек. Есть хотя бы один цикл.

Четыре балла ${\displaystyle A,B,C,D}$ находятся конциклический если есть цикл ${\displaystyle z}$ с ${\displaystyle A,B,C,D\in z}$.

Не следует ожидать, что указанные выше аксиомы определяют классическую вещественную плоскость Мёбиуса. Существует множество примеров аксиоматических плоскостей Мёбиуса, отличных от классической (см. Ниже). Подобно минимальной модели аффинной плоскости, можно найти минимальная модель самолета Мебиуса. Это состоит из ${\displaystyle 5}$ точки:

Плоскость Мёбиуса: минимальная модель (только циклы, содержащие ${\displaystyle \infty }$ нарисованы. Любой набор из 3 точек является циклом.)

${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\{A,B,C,D,\infty \},\quad {\mathcal {Z}}:=\{z\mid z\subset {\mathcal {P}},|z|=3\}}$. Следовательно: ${\displaystyle |{\mathcal {Z}}|={5 \choose 3}=10}$.

Связь между классической плоскостью Мёбиуса и действительной аффинной плоскостью может быть обнаружена аналогичным образом между минимальной моделью плоскости Мёбиуса и минимальной моделью аффинной плоскости. Эта сильная связь типична для плоскостей Мёбиуса и аффинных плоскостей (см. Ниже).

Для самолета Мёбиуса ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ и ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ мы определяем структуру ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{P}:=({\mathcal {P}}\setminus \{P\},\{z\setminus \{P\}\mid P\in z\in {\mathcal {Z}}\},\in )}$и назовите это остаток в точке P.

Для классической модели остаток ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{\infty }}$ в точке ${\displaystyle \infty }$ основная действительная аффинная плоскость. Существенный смысл вычета показывает следующая теорема.

Теорема:Любой вычет на плоскости Мёбиуса является аффинной плоскостью.

Эта теорема позволяет использовать множество результатов об аффинных плоскостях для исследований на плоскости Мёбиуса и приводит к эквивалентному определению плоскости Мёбиуса:

Теорема:Структура заболеваемости ${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ является плоскостью Мёбиуса тогда и только тогда, когда выполняется следующее свойство

А ': Для любой точки ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ остаток ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{P}}$ аффинная плоскость.

Для конечных плоскостей Мёбиуса, т.е. ${\displaystyle |{\mathcal {P}}|<\infty }$, имеем (аналогично аффинным плоскостям):

• Любые два цикла плоскости Мёбиуса имеют одинаковое количество точек.

Это дает основание для следующего определения:
Для конечной плоскости Мёбиуса ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ и цикл ${\displaystyle z\in {\mathcal {Z}}}$ целое число ${\displaystyle n:=|z|-1}$ называется порядок из ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$.

Из комбинаторики получаем

• Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ быть плоскостью Мёбиуса порядка ${\displaystyle n}$. Тогда а) любой остаток ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{P}}$ аффинная плоскость порядка ${\displaystyle n}$, б) ${\displaystyle |{\mathcal {P}}|=n^{2}+1}$, в) ${\displaystyle |{\mathcal {Z}}|=n(n^{2}+1).}$

Микелевы самолеты Мёбиуса

В поисках других примеров плоскостей Мебиуса кажется многообещающим обобщить классическую конструкцию, начиная с квадратичная форма ${\displaystyle \rho }$ на аффинной плоскости над поле ${\displaystyle K}$ для определения кругов. Но просто чтобы заменить настоящие числа ${\displaystyle \mathbb {R} }$ по любому полю ${\displaystyle K}$ и сохранить классическую квадратичную форму ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ для описания кругов не работает вообще. Подробности читайте в лекции ниже. Итак, только для подходящие пары полей и квадратичных форм получаются плоскости Мёбиуса ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$. Они (как классическая модель) характеризуются огромной однородностью и следующей теоремой Микеля.

Теорема Микеля

Теорема (Микель):Для самолета Мёбиуса ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$ верно следующее:
Если за любые 8 баллов ${\displaystyle P_{1},...,P_{8}}$который может быть назначен вершинам куба, так что точки на 5 гранях соответствуют конциклическим четверкам, тогда как шестая четверка точек также является конциклической.

Верно и обратное.

Теорема (Чен): Только самолет Мебиуса ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$ удовлетворяет теореме Микеля.

В силу последней теоремы Мёбиуса плоскость ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$ называется микелевская плоскость Мёбиуса.

Замечание: В минимальная модель плоскости Мёбиуса является микелевой. Он изоморфен плоскости Мёбиуса

${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$ с ${\displaystyle K=GF(2)}$ (поле ${\displaystyle \{0,1\}}$) и ${\displaystyle \rho (x,y)=x^{2}+xy+y^{2}}$.

(Например, единичный круг ${\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}=1}$ это набор точек ${\displaystyle \{(0,1),(1,0),(1,1)\}}$.)

Замечание: Если мы выберем ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ поле комплексных чисел, есть не подходит квадратичная форма вообще.

Выбор ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ (поле рациональных чисел) и ${\displaystyle \rho (x,y)=x^{2}+y^{2}}$ подходящий.

Выбор ${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$ (поле рациональных чисел) и ${\displaystyle \rho (x,y)=x^{2}-2y^{2}}$ тоже подходит.

Замечание: А стереографическая проекция показывает: ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(K,\rho )}$ изоморфна геометрии плоскости

сечения на сфере (невырожденные квадрика индекса 1) в проективном трехмерном пространстве над полем ${\displaystyle K}$.

Замечание: Доказательство теоремы Микеля для классического (действительного) случая можно найти здесь. Это элементарно и основано на теореме вписанный угол.

Замечание: Есть много самолетов Мебиуса, которые не микелианский (см. ссылку ниже). Класс, наиболее похожий на микелевы плоскости Мёбиуса, - это овоидальные плоскости Мебиуса. Овоидальная плоскость Мёбиуса - это геометрия плоских сечений яйцевидный. Яйцевид - это квадратичное множество и имеет те же геометрические свойства, что и сфера в проективном 3-пространстве: 1) прямая пересекает овоид ни в одной, одной или двух точках и 2) в любой точке овоида множество касательных линий образуют плоскость, касательная плоскость. Простой овоид в реальном трехмерном пространстве может быть построен путем склеивания двух подходящих половинок разных эллипсоидов, так что в результате получается не квадрика. Даже в конечном случае существуют овоиды (см. квадратичное множество ). Овоидальные плоскости Мебиуса характеризуются теорема о расслоении.

Конечные плоскости Мёбиуса и блочные конструкции

А блочная конструкция с параметрами одноточечного продолжения конечной аффинная плоскость порядка п, т.е. 3-(п² + 1, п + 1, 1) конструкции, это самолет Мёбиуса, порядка п.

Эти конечные блочные конструкции удовлетворяют аксиомам, определяющим плоскость Мебиуса, когда круг интерпретируется как блок конструкции.

Единственные известные конечные значения для порядка плоскости Мёбиуса - это простые числа или степени простых чисел. Единственные известные конечные плоскости Мебиуса построены в рамках конечных проективных геометрий.

Смотрите также

• Конформная геометрия
• Преобразование Мёбиуса

Рекомендации

1. Геометрия плоского круга, введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского. (PDF; 891 кБ), С. 60.

• В. Бенц, Vorlesungen über Geometrie der Algebren, Springer (1973)
• Ф. Бюкенхаут (ред.), Справочник по Геометрия падения, Эльзевир (1995) ISBN  0-444-88355-X
• П. Дембовский, Конечная геометрия, Springer-Verlag (1968) ISBN  3-540-61786-8

внешняя ссылка

• Самолет Benz в SpringerLink
• Лекция 'Геометрии плоского круга ', Введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского
• Мишель Хазевинкель, редактор, Энциклопедия математики, статья "Самолет Мебиуса ". Springer-Verlag, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк. ISBN  1-4020-0609-8