Теорема Микельса - Miquels theorem

Схема, показывающая круги, проходящие через вершины треугольника ABC и точки A´, B´ и C´ на смежных сторонах треугольника, пересекающихся в общей точке, M.

Теорема поворота для различных треугольников

Теорема Микеля это результат геометрия, названный в честь Огюст Микель,^[1] относительно пересечения трех окружностей, каждая из которых проведена через одну вершину треугольника и две точки на его смежных сторонах. Это один из нескольких результатов, касающихся кругов в Евклидова геометрия благодаря Микелю, чья работа была опубликована в Лиувилля недавно созданный журнал Journal de mathématiques pures et appliquées.

Формально пусть ABC - треугольник с произвольными точками A´, B´ и C´ по бокам до н.э, AC, и AB соответственно (или их расширения ). Нарисуйте три окружности (Круги Микеля) в треугольники AB´C´, A´BC´, и A´B´C. Теорема Микеля утверждает, что эти круги пересекаются в одной точке M, называется Miquel Point. Кроме того, три угла MA´B, MB´C и MC´A (зеленый на схеме) все равны, как и три дополнительных угла MA´C, MB´A и MC´B.^[2][3]

Теорема (и ее следствие) следуют из свойств циклические четырехугольники. Пусть описанные окружности A'B'C и AB'C 'пересекаются в ${\displaystyle M\neq A.}$ потом ${\displaystyle \angle A'MC'=2\pi -\angle B'MA'-\angle C'MB'=2\pi -(\pi -C)-(\pi -A)=A+C=\pi -B,}$ следовательно, BA'MC 'является циклическим по желанию.

Теорема поворота

Если в формулировке теоремы Микеля точки A´, B´ и C´ образуют треугольник (то есть не коллинеарен ), то теорема получила название Теорема поворота в Фордер (1960, п. 17).^[4] (На схеме эти точки помечены п, Q и р.)

Если A´, B´ и C´ коллинеарны, то точка Микеля находится на описанный круг окружности ∆ABC, и наоборот, если точка Микеля находится на этой описанной окружности, то A´, B´ и C´ находятся на линии.^[5]

Трехлинейные координаты точки Микеля

Если дробные расстояния A´, B´ и C´ по бокам до н.э (а), CA (б) и AB (c) находятся d_а, d_б и d_cсоответственно, точка Микеля, в трилинейные координаты (Икс : у : z), дан кем-то:

${\displaystyle x=a\left(-a^{2}d_{a}d_{a}^{\,'}+b^{2}d_{a}d_{b}+c^{2}d_{a}^{\,'}d_{c}^{\,'}\right)}$

${\displaystyle y=b\left(a^{2}d_{a}^{\,'}d_{b}^{\,'}-b^{2}d_{b}d_{b}^{\,'}+c^{2}d_{b}d_{c}\right)}$

${\displaystyle z=c\left(a^{2}d_{a}d_{c}+b^{2}d_{b}^{\,'}d_{c}^{\,'}-c^{2}d_{c}d_{c}^{\,'}\right),}$

куда d '_а = 1 - d_а, и Т. Д.

В случае d_а = d_б = d_c = ½ точка Микеля - это окружность (cos α: cos β: cos γ).

Обращение теоремы Микеля

Теорема может быть изменена, чтобы сказать: для трех кругов, пересекающихся в M, линию можно провести из любой точки А на одном круге, через его пересечение C´ с другим, чтобы дать B (на втором перекрестке). B тогда аналогично связан через пересечение в A´ второго и третьего кругов, давая точку C. Точки C, А и оставшаяся точка пересечения, B´, тогда будет коллинеарным, а треугольник ABC всегда будет проходить через пересечения кругов A´, B´ и C´.

Микель и Штайнер Теорема о четырехугольнике

Теорема Микеля о пятиугольнике

Теорема Микеля о шести кругах утверждает, что если пять кругов имеют четыре тройные точки пересечения, то оставшиеся четыре точки пересечения лежат на шестом круге

Подобный вписанный треугольник

Если вписанный треугольник XYZ похож на контрольный треугольник ABC, то точка M совпадения трех кругов фиксируется для всех таких XYZ.^{[6]:п. 257}

Теорема Микеля и Штейнера о четырехугольнике

Описанные окружности всех четырех треугольников полный четырехугольник встретиться в точке M.^[7] На диаграмме выше это ∆ABF, ∆CDF, ∆ADE и ∆BCE.

Этот результат был объявлен двумя строчками Якоб Штайнер в выпуске 1827/1828 г. Жергонна Annales de Mathématiques,^[8] но подробное доказательство было дано Микелем.^[7]

Теорема Микеля о пятиугольнике

Пусть ABCDE - выпуклый пятиугольник. Вытяните все стороны, пока они не встретятся в пяти точках F, G, H, I, K, и начертите описанные окружности пяти треугольников CFD, DGE, EHA, AIB и BKC. Тогда вторые точки пересечения (кроме A, B, C, D, E), а именно новые точки M, N, P, R и Q, совпадают (лежат на окружности).^[9] См. Диаграмму.

Обратный результат известен как Теорема пяти кругов.

Теорема Микеля о шести кругах

Учитывая баллы, А, B, C, и D на окружности и окружности, проходящие через каждую смежную пару точек, чередующиеся пересечения этих четырех окружностей в W, Икс, Y и Z затем лягте на общий круг. Это известно как теорема шести кругов.^[10] Он также известен как теорема о четырех кругах и хотя обычно приписывается Якоб Штайнер единственное известное опубликованное доказательство было дано Микелем.^[11] Уэллс называет это Теорема Микеля.^[12]

Трехмерная версия теоремы Микеля

Трехмерный случай: четыре сферы пересекают другие сферы на черных кругах.

Существует также трехмерный аналог, в котором четыре сферы, проходящие через точку тетраэдра, и точки на ребрах тетраэдра пересекаются в общей точке.^[3]

Смотрите также

• Круговые теоремы Клиффорда
• Теорема расслоения
• Конфигурация микеля

Примечания

1. Учитель средней школы во французской деревне (Нантуа) по словам Остерманн и Ваннер 2012, п. 94
2. Микель, Огюст (1838), "Mémoire de Géométrie", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 1: 485–487, архивировано с оригинал на 2013-02-13
3. Уэллс 1991, п. 184 - Уэллс называет теорему Микеля теоремой поворота.
4. Кокстер и Грейцер 1967, п. 62
5. Смарт 1997, п. 177
6. Франсиско Хавьер Гарсия Капитан, «Локус центроидов подобных вписанных треугольников», Форум Geometricorum 16, 2016, 257–267.http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf
7. Остерманн и Ваннер 2012, п. 96
8. Штайнер, Дж. (1827/1828), "Предлагаемые вопросы. Завершенная теория о квадрилатере", Annales de Mathématiques, 18: 302–304
9. Остерманн и Ваннер 2012, стр. 96–97
10. Педое 1988, п. 424
11. Остерманн и Ваннер 2012, п. 352
12. Уэллс 1991, стр. 151–2

Рекомендации

• Coxeter, H.S.M .; Грейцер, С. (1967), Возвращение к геометрии, Новая математическая библиотека, 19, Вашингтон, округ Колумбия.: Математическая ассоциация Америки, ISBN  978-0-88385-619-2, Zbl  0166.16402
• Фордер, Х.Г. (1960), Геометрия, Лондон: Хатчинсон
• Остерманн, Александр; Ваннер, Герхард (2012), Геометрия по ее истории, Спрингер, ISBN  978-3-642-29162-3
• Педо, Дэн (1988) [1970], Геометрия / Комплексный курс, Дувр, ISBN  0-486-65812-0
• Смарт, Джеймс Р. (1997), Современная геометрия (5-е изд.), Брукс / Коул, ISBN  0-534-35188-3
• Уэллс, Дэвид (1991), Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin, Нью-Йорк: Penguin Books, ISBN  0-14-011813-6, Zbl  0856.00005

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Микеля». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Микеля о пяти кругах". MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Микеля о пентаграмме». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема вращения». MathWorld.
• Теорема Микельса как частный случай обобщения теоремы Наполеона в Эскизы динамической геометрии