Самолет Минковского - Minkowski plane

Эта статья про самолет Benz. Не следует путать с Пространство Минковского.

В математике Самолет Минковского (названный в честь Герман Минковски ) один из Самолеты Benz (остальные Самолет Мебиуса и Самолет Лагерра ).

Классический настоящий самолет Минковского

классический самолет Минковского: 2d / 3d-модель

Применяя псевдоевклидов расстояние ${displaystyle d(P_{1},P_{2})=(x'_{1}-x'_{2})^{2}-(y'_{1}-y'_{2})^{2}}$ по двум пунктам ${displaystyle P_{i}=(x'_{i},y'_{i})}$ (вместо евклидова расстояния) мы получаем геометрию гиперболы, потому что псевдоевклидов круг ${displaystyle {Pin mathbb {R} ^{2} | d(P,M)=r}}$ это гипербола с серединой ${displaystyle M}$.

Преобразованием координат ${displaystyle x_{i}=x'_{i}+y'_{i}}$, ${displaystyle y_{i}=x'_{i}-y'_{i}}$, псевдоевклидово расстояние можно переписать как ${displaystyle d(P_{1},P_{2})=(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{2})}$. Тогда гиперболы имеют асимптоты параллельно осям координат без штриховки.

Следующее пополнение (см. Плоскости Мёбиуса и Лагерра) гомогенизирует геометрия гипербол:

${displaystyle {mathcal {P}}:=(mathbb {R} cup {infty })^{2}=mathbb {R} ^{2}cup ({infty } imes mathbb {R} )cup (mathbb {R} imes {infty }) cup {(infty ,infty )} , infty otin mathbb {R} }$, набор точки,

${displaystyle {mathcal {Z}}:={{(x,y)in mathbb {R} ^{2} | y=ax+b}cup {(infty ,infty )} | a,bin mathbb {R} ,aeq 0}}$

${displaystyle cup {{(x,y)in mathbb {R} ^{2} |y={frac {a}{x-b}}+c,xeq b}cup {(b,infty ),(infty ,c)} | a,b,cin mathbb {R} ,aeq 0},}$ набор циклы.

В структура заболеваемости ${displaystyle ({mathcal {P}},{mathcal {Z}},in )}$ называется классический настоящий самолет Минковского.

Набор точек состоит из ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$, две копии ${displaystyle mathbb {R} }$ и точка ${displaystyle (infty ,infty )}$.

Любая линия ${displaystyle y=ax+b,aeq 0}$ завершается по пунктам ${displaystyle (infty ,infty )}$, любая гипербола${displaystyle y={frac {a}{x-b}}+c,aeq 0}$ по двум точкам ${displaystyle (b,infty ),(infty ,c)}$ (см. рисунок).

Две точки ${displaystyle (x_{1},y_{1})eq (x_{2},y_{2})}$ не могут быть связаны циклом тогда и только тогда, когда${displaystyle x_{1}=x_{2}}$ или ${displaystyle y_{1}=y_{2}}$.

Мы определяем: две точки ${displaystyle P_{1},P_{2}}$ находятся (+) - параллельно (${displaystyle P_{1}parallel _{+}P_{2}}$) если ${displaystyle x_{1}=x_{2}}$ и (-) - параллельно (${displaystyle P_{1}parallel _{-}P_{2}}$) если ${displaystyle y_{1}=y_{2}}$.
Оба эти отношения отношения эквивалентности по набору точек.

Две точки ${displaystyle P_{1},P_{2}}$ называются параллельно (${displaystyle P_{1}parallel P_{2}}$) если${displaystyle P_{1}parallel _{+}P_{2}}$ или ${displaystyle P_{1}parallel _{-}P_{2}}$.

Из определения выше мы находим:

Лемма:

• Для любой пары непараллельных точек ${displaystyle A,B}$ есть ровно одна точка ${displaystyle C}$ с ${displaystyle Aparallel _{+}Cparallel _{-}B}$.
• Для любой точки ${displaystyle P}$ и любой цикл ${displaystyle z}$ есть ровно две точки ${displaystyle A,Bin z}$ с ${displaystyle Aparallel _{+}Pparallel _{-}B}$.
• По любым трем точкам ${displaystyle A}$, ${displaystyle B}$, ${displaystyle C}$, попарно непараллельно, существует ровно один цикл ${displaystyle z}$ который содержит ${displaystyle A,B,C}$.
• Для любого цикла ${displaystyle z}$, любая точка ${displaystyle Pin z}$ и любой момент ${displaystyle Q,Pot parallel Q}$ и ${displaystyle Qotin z}$ существует ровно один цикл ${displaystyle z'}$ такой, что ${displaystyle zcap z'={P}}$, т.е. ${displaystyle z}$ касается ${displaystyle z'}$ в точке P.

Подобно классическим плоскостям Мёбиуса и Лагерра, плоскости Минковского можно описать как геометрию плоских сечений подходящей квадрики. Но в этом случае квадрика живет в проективный 3-пространство: классическая реальная плоскость Минковского изоморфна геометрии плоских сечений гиперболоид одного листа (невырожденная квадрика индекса 2).

Аксиомы плоскости Минковского

Позволять ${displaystyle left({mathcal {P}},{mathcal {Z}};parallel _{+},parallel _{-},in ight)}$ - структура инцидентности с множеством ${displaystyle {mathcal {P}}}$ точек, множество ${displaystyle {mathcal {Z}}}$ циклов и два отношения эквивалентности ${displaystyle parallel _{+}}$ ((+) - параллельно) и ${displaystyle parallel _{-}}$ ((-) - параллельно) на множестве ${displaystyle {mathcal {P}}}$. За ${displaystyle Pin {mathcal {P}}}$ мы определяем:${displaystyle {overline {P}}_{+}:=left{left.Qin {mathcal {P}} ight| Qparallel _{+}Pight}}$ и${displaystyle {overline {P}}_{-}:=left{left.Qin {mathcal {P}} ight| Qparallel _{-}Pight}}$.Класс эквивалентности ${displaystyle {overline {P}}_{+}}$ или ${displaystyle {overline {P}}_{-}}$ называется (+) - генератори (-) - генераторсоответственно. (Для пространственной модели классической плоскости Минковского образующей является линия на гиперболоиде.)
Две точки ${displaystyle A,B}$ называются параллельно (${displaystyle Aparallel B}$) если ${displaystyle Aparallel _{+}B}$ или ${displaystyle Aparallel _{-}B}$.

Структура заболеваемости ${displaystyle {mathfrak {M}}:=({mathcal {P}},{mathcal {Z}};parallel _{+},parallel _{-},in )}$ называется Самолет Минковского если верны следующие аксиомы:

Минковский-аксиомы-c1-c2

Минковский-аксиомы-c3-c4

• C1: Для любой пары непараллельных точек ${displaystyle A,B}$ есть ровно одна точка ${displaystyle C}$ с ${displaystyle Aparallel _{+}Cparallel _{-}B}$.
• C2: Для любой точки ${displaystyle P}$ и любой цикл ${displaystyle z}$ есть ровно две точки ${displaystyle A,Bin z}$ с ${displaystyle Aparallel _{+}Pparallel _{-}B}$.
• C3: Для любых трех точек ${displaystyle A,B,C}$, попарно непараллельно, существует ровно один цикл ${displaystyle z}$ который содержит ${displaystyle A,B,C}$.
• C4: Для любого цикла ${displaystyle z}$, любая точка ${displaystyle Pin z}$ и любой момент ${displaystyle Q,Pot parallel Q}$ и ${displaystyle Qotin z}$ существует ровно один цикл ${displaystyle z'}$ такой, что ${displaystyle zcap z'={P}}$, т.е. ${displaystyle z}$ касается ${displaystyle z'}$ в точке ${displaystyle P}$.
• C5: Любой цикл содержит не менее 3 точек. Есть хотя бы один цикл ${displaystyle z}$ и точка ${displaystyle P}$ не в ${displaystyle z}$.

Для исследований полезны следующие утверждения о параллельных классах (эквивалентные C1, C2 соответственно).

C1 ′: Для любых двух точек ${displaystyle A,B}$ у нас есть ${displaystyle left|{overline {A}}_{+}cap {overline {B}}_{-}ight|=1}$.

C2 ′: Для любой точки ${displaystyle P}$ и любой цикл ${displaystyle z}$ у нас есть: ${displaystyle left|{overline {P}}_{+}cap zight|=1=left|{overline {P}}_{-}cap zight|}$.

Первые следствия аксиом:

Лемма: Для самолета Минковского ${displaystyle {mathfrak {M}}}$ следующее верно

а) Любая точка содержится хотя бы в одном цикле.

б) Любой генератор содержит не менее 3-х точек.

в) Две точки могут быть соединены циклом тогда и только тогда, когда они не параллельны.

Аналогично плоскостям Мёбиуса и Лагерра мы получаем связь с линейной геометрией через вычеты.

Для самолета Минковского ${displaystyle {mathfrak {M}}=({mathcal {P}},{mathcal {Z}};parallel _{+},parallel _{-},in )}$ и ${displaystyle Pin {mathcal {P}}}$ мы определяем локальную структуру

${displaystyle {mathfrak {A}}_{P}:=({mathcal {P}}setminus {overline {P}},{zsetminus {{overline {P}}} | Pin zin {mathcal {Z}}}cup {Esetminus {overline {P}} | Ein {mathcal {E}}setminus {{overline {P}}_{+},{overline {P}}_{-}}},in )}$

и назовите это остаток в точке P.

Для классического самолета Минковского ${displaystyle {mathfrak {A}}_{(infty ,infty )}}$ это настоящая аффинная плоскость ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$.

Непосредственным следствием аксиом от C1 до C4 и C1 ′, C2 ′ являются следующие две теоремы.

Теорема: Для самолета Минковского ${displaystyle {mathfrak {M}}=({mathcal {P}},{mathcal {Z}};parallel _{+},parallel ,in )}$ любой вычет является аффинной плоскостью.

Теорема:Пусть ${displaystyle {mathfrak {M}}=({mathcal {P}},{mathcal {Z}};parallel _{+},parallel _{-},in )}$ структура инцидентности с двумя отношениями эквивалентности ${displaystyle parallel _{+}}$ и ${displaystyle parallel _{-}}$ на съемочной площадке ${displaystyle {mathcal {P}}}$ точек (см. выше).

${displaystyle {mathfrak {M}}}$ является плоскостью Минковского тогда и только тогда, когда для любой точки ${displaystyle P}$ остаток ${displaystyle {mathfrak {A}}_{P}}$ аффинная плоскость.

Минимальная модель

Самолет Минковского: минимальная модель

В минимальная модель плоскости Минковского можно установить над множеством${displaystyle {overline {K}}:={0,1,infty }}$ из трех элементов:

${displaystyle {mathcal {P}}:={overline {K}}^{2}qquad }$

${displaystyle {mathcal {Z}}:={{(a_{1},b_{1}),(a_{2},b_{2}),(a_{3},b_{3})}|}$

${displaystyle |{a_{1},a_{2},a_{3}}={b_{1},b_{2},b_{3}}={overline {K}}}=}$

${displaystyle {{(0,0),(1,1),(infty ,infty )},}$ ${displaystyle {(0,0),(1,infty ),(infty ,1)},}$ ${displaystyle {(0,1),(1,0),(infty ,infty )},}$ ${displaystyle {(0,1),(1,infty ),(infty ,0)},}$ ${displaystyle {(0,infty ),(1,1),(infty ,0)},}$ ${displaystyle {(0,infty ),(1,0),(infty ,1)}}}$

Параллельные точки:

${displaystyle (x_{1},y_{1})parallel _{+}(x_{2},y_{2})}$ если и только если ${displaystyle x_{1}=x_{2}}$

${displaystyle (x_{1},y_{1})parallel _{-}(x_{2},y_{2})}$ если и только если ${displaystyle y_{1}=y_{2}}$.

Отсюда: ${displaystyle left|{mathcal {P}}ight|=9}$и ${displaystyle left|{mathcal {Z}}ight|=6}$.

Конечные самолеты Минковского

Для конечных плоскостей Минковского получаем из C1 ′, C2 ′:

Лемма:Пусть ${displaystyle {mathfrak {M}}=({mathcal {P}},{mathcal {Z}};parallel _{+},parallel _{-},in )}$ конечная плоскость Минковского, т.е. ${displaystyle left|{mathcal {P}}ight|<infty }$. Для любой пары циклов ${displaystyle z_{1},z_{2}}$ и любая пара генераторов ${displaystyle e_{1},e_{2}}$ у нас есть:${displaystyle left|z_{1}ight|=left|z_{2}ight|=left|e_{1}ight|=left|e_{2}ight|}$.

Это порождает определение:
Для конечной плоскости Минковского ${displaystyle {mathfrak {M}}}$ и цикл ${displaystyle z}$ из ${displaystyle {mathfrak {M}}}$ мы называем целое число ${displaystyle n=left|zight|-1}$ то порядок из ${displaystyle {mathfrak {M}}}$.

Простые комбинаторные соображения дают

Лемма: Для конечной плоскости Минковского ${displaystyle {mathfrak {M}}=({mathcal {P}},{mathcal {Z}};parallel _{+},parallel _{-},in )}$ верно следующее:

а) Любой вычет (аффинная плоскость) имеет порядок ${displaystyle n}$.

б) ${displaystyle left|{mathcal {P}}ight|=(n+1)^{2}}$,

в) ${displaystyle left|{mathcal {Z}}ight|=(n+1)n(n-1)}$.

Самолеты Микелиана Минковского

Мы получаем наиболее важные примеры самолетов Минковского, обобщая классическую реальную модель: просто замените ${displaystyle mathbb {R} }$ произвольно поле ${displaystyle K}$ тогда мы получаем в любом слючае самолет Минковского ${displaystyle {mathfrak {M}}(K)=({mathcal {P}},{mathcal {Z}};parallel _{+},parallel _{-},in )}$.

Аналогично плоскостям Мёбиуса и Лагерра теорема Микеля является характеристическим свойством плоскости Минковского. ${displaystyle {mathfrak {M}}(K)}$.

Теорема Микеля

Теорема (Микель): Для самолета Минковского ${displaystyle {mathfrak {M}}(K)}$ верно следующее:

Если для любых 8 попарно не параллельных точек ${displaystyle P_{1},...,P_{8}}$ который может быть назначен вершинам куба таким образом, что точки на 5 гранях соответствуют конциклическим четверкам, тогда как шестая четверка точек также является конциклической.

(Для лучшего обзора на рисунке вместо гипербол нарисованы круги.)

Теорема (Чен): Только самолет Минковского ${displaystyle {mathfrak {M}}(K)}$ удовлетворяет теореме Микеля.

В силу последней теоремы ${displaystyle {mathfrak {M}}(K)}$ называется микелианский самолет Минковского.

Замечание: В минимальная модель плоскости Минковского является микелевой.

Он изоморфен плоскости Минковского. ${displaystyle {mathfrak {M}}(K)}$ с ${displaystyle K=operatorname {GF} (2)}$ (поле ${displaystyle {0,1}}$).

Поразительный результат

Теорема (Хайзе): Любой самолет Минковского даже порядок микелевский.

Замечание: Подходящий стереографическая проекция показывает: ${displaystyle {mathfrak {M}}(K)}$ изоморфна геометрии плоских сечений на гиперболоиде одного листа (квадрика индекса 2) в проективном трехмерном пространстве над полем ${displaystyle K}$.

Замечание: Есть много самолетов Минковского, которые не микелианский (см. ссылку ниже). Но в отличие от самолетов Мёбиуса и Лагерра "овоидальных" самолетов Минковского нет. Потому что любой квадратичное множество индекса 2 в проективном 3-пространстве является квадрикой (см. квадратичное множество ).

Смотрите также

• Конформная геометрия

использованная литература

• В. Бенц, Vorlesungen über Geomerie der Algebren, Springer (1973)
• Ф. Бюкенхаут (ред.), Справочник по Геометрия падения, Эльзевир (1995) ISBN  0-444-88355-X

внешняя ссылка

• Самолет Benz в SpringerLink
• Лекция Плоские окружности геометрии, Введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского