Квадратичный набор - Quadratic set

В математике квадратичное множество набор точек в проективное пространство обладающая теми же существенными свойствами инцидентности, что и квадрика (коническая секция в проективной плоскости, сфера или же конус или же гиперболоид в проективном пространстве).

Определение квадратичного множества

Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {P}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {G}},\in )}$ - проективное пространство. А квадратичное множество непустое подмножество ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ из ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ для которого выполняются два условия:

(QS1) Каждая строка ${\displaystyle g}$ из ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ пересекает ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ не более чем в двух точках или содержится в ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$.

(${\displaystyle g}$ называется внешний вид к ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ если ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=0}$, касательная к ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ если либо ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=1}$ или же ${\displaystyle g\cap {\mathcal {Q}}=g}$, и секущий к ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ если ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=2}$.)

(QS2) Для любой точки ${\displaystyle P\in {\mathcal {Q}}}$ Союз ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{P}}$ всех касательных через ${\displaystyle P}$ это гиперплоскость или все пространство ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$.

Квадратичное множество ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ называется невырожденный если за каждую точку ${\displaystyle P\in {\mathcal {Q}}}$, набор ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{P}}$ это гиперплоскость.

А Паппово проективное пространство - проективное пространство, в котором Теорема Паппа о шестиугольнике держит.

Следующий результат, благодаря Фрэнсис Бюкенхаут, является удивительным утверждением для конечных проективных пространств.

Теорема: Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{n}}$ а конечный проективное пространство измерения ${\displaystyle n\geq 3}$ и ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ невырожденное квадратичное множество, содержащее прямые. Потом: ${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{n}}$ папский и ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ это квадрика с индексом ${\displaystyle \geq 2}$.

Определение овала и яйцевида

Овалы и овоиды - это особые квадратичные множества:
Позволять ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ быть проективным пространством размерности ${\displaystyle \geq 2}$. Невырожденное квадратичное множество ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ не содержащий строк называется яйцевидный (или же овал в корпусе самолета).

Следующее эквивалентное определение овала / овоида более распространено:

Определение: (овал)Непустой набор точек ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$ проективной плоскости называется овал если выполняются следующие свойства:

(o1) Любая линия соответствует ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$ не более чем в двух точках.

(o2) Для любой точки ${\displaystyle P}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$ есть одна и только одна линия ${\displaystyle g}$ такой, что ${\displaystyle g\cap {\mathfrak {o}}=\{P\}}$.

Линия ${\displaystyle g}$ это внешний вид или же касательная или же секущий линия овала, если ${\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=0}$ или же ${\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=1}$ или же ${\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=2}$ соответственно.

За конечный На плоскости следующая теорема дает более простое определение.

Теорема: (овал в конечной плоскости) Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ проективная плоскость порядка ${\displaystyle n}$.Множество ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$ точек - это овал если ${\displaystyle |{\mathfrak {o}}|=n+1}$ и если нет трех точек ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$ коллинеарны.

Согласно этой теореме Бениамино Сегре, за Папский проективные плоскости странный Закажите овалы как коники:

Теорема:Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ а Папский проективная плоскость странный заказ.Любой овал в ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ овал конический (невырожденный квадрика ).

Определение: (яйцевидное)Непустой набор точек ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ проективного пространства называется яйцевидный если выполняются следующие свойства:

(O1) Любая линия соответствует ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ не более чем в двух точках.

(${\displaystyle g}$ называется внешний, касательный и секущий линия, если ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {O}}|=0,\ |g\cap {\mathcal {O}}|=1}$ и ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {O}}|=2}$ соответственно.)

(O2) Для любой точки ${\displaystyle P\in {\mathcal {O}}}$ Союз ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{P}}$ всех касательных через ${\displaystyle P}$ это гиперплоскость (касательная плоскость на ${\displaystyle P}$).

Пример:

а) Любая сфера (квадрика индекса 1) - яйцевид.

б) В случае реальных проективных пространств можно построить овоиды, комбинируя половинки подходящих эллипсоидов, так что они не являются квадриками.

За конечный проективные пространства размерности ${\displaystyle n}$ через поле ${\displaystyle K}$ у нас есть:
Теорема:

а) В случае ${\displaystyle |K|<\infty }$ яйцо в ${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{n}(K)}$ существует только если ${\displaystyle n=2}$ или же ${\displaystyle n=3}$.

б) В случае ${\displaystyle |K|<\infty ,\ \operatorname {char} K\neq 2}$ яйцо в ${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{n}(K)}$ является квадрикой.

Контрпримеры (яйцевидная форма Титса – Судзуки) показывают, что, например, утверждение б) теоремы выше неверно для ${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$:

Рекомендации

• Альбрехт Бойтельшпахер И Уте Розенбаум (1998) Проективная геометрия: от основ до приложений, Глава 4: Квадратичные множества, страницы 137–179, Издательство Кембриджского университета ISBN  978-0521482776
• Ф. Бюкенхаут (ред.) (1995) Справочник по Геометрия падения, Эльзевир ISBN  0-444-88355-X
• П. Дембовский (1968) Конечная геометрия, Springer-Verlag ISBN  3-540-61786-8, п. 48

внешняя ссылка

• Эрик Хартманн Лекция Геометрия плоского круга, введение в плоскости Мебиуса, Лагерра и Минковского, из Technische Universität Darmstadt