K-топология - K-topology

В математика, особенно топология, то K-топология это топология что можно наложить на множество всех действительных чисел, которые обладают некоторыми интересными свойствами. Относительно набора всех действительных чисел, несущих стандартная топология, набор K = {1 / п | п - это положительное число } не является закрыто поскольку он не содержит своей (единственной) предельной точки 0. Однако относительно K-топологии множество K автоматически объявляется закрытым путем добавления "еще" базовые элементы к стандартной топологии на р. По сути, K-топология на р строго тоньше стандартной топологии на р. Это в основном полезно для контрпримеров в базовой топологии.

Формальное определение

Позволять р - множество всех действительных чисел, и пусть K = {1 / п | n - положительное целое число}. Создать топологию на р принимая основа так как все открытые интервалы (а, б) и все множества вида (а, б) – K (набор всех элементов в (а, б), которых нет в K). В топология сгенерированный известен как K-топология на р.

Наборы, описанные в определении, образуют основу (они удовлетворяют условиям, чтобы быть базисом).

Свойства и примеры

В этом разделе Т будем обозначать K-топологию и (р, Т) будем обозначать множество всех действительных чисел с K-топологией как топологическое пространство.

1. Топология Т на р строго тоньше стандартной топологии на р но не сравнимо с топология нижнего предела на р

2. Из предыдущего примера следует, что (р, Т) не является компактный

3. (р, Т) является Хаусдорф но нет обычный. То, что оно хаусдорфово, следует из первого свойства. Это не регулярно, так как замкнутое множество K и точка {0} не имеют непересекающихся окрестности о них

4. Как ни странно, (р, Т) это связное топологическое пространство. Тем не мение, (р, Т) не является путь подключен; у него ровно два компоненты пути: (−∞, 0] и (0, + ∞)

5. (р, Т) не является локально путь подключен (поскольку его компоненты пути не равны его составные части ). Это тоже не локально связанный в {0}, но он подключен локально везде

6. Отрезок [0,1] не компактен как подпространство в (р, Т) так как это даже не предельная точка компактная (K - бесконечное подпространство в [0,1], не имеющее предельной точки в [0,1])

7. Фактически, нет подпространства (R, T) содержащий K может быть компактным. Если А были подпространством (R, T) содержащий K, K не будет иметь предела в А так что А не может быть предельно компактным. Следовательно, А не может быть компактным

8. Программа факторное пространство из (р, Т) полученный сворачиванием K в точку не Хаусдорф. K отличен от 0, но не может быть отделен от 0 непересекающимися открытыми множествами.

Смотрите также

Рекомендации

  • Джеймс Мункрес (1999). Топология (2-е изд.). Prentice Hall. ISBN  0-13-181629-2.